أهم قوانين الرياضيات

أهم قوانين المحيط والمساحة والحجم

• قوانين المحيط: يمكن إيجاد المحيط لأشهر الأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد باستخدام القوانين الآتية:^[١]
  • محيط المربع = 4×طول ضلع المربع.
  • محيط المستطيل = 2×(طول المستطيل+عرض المستطيل).
  • محيط المثلث = مجموع أطوال أضلاعه.
  • محيط الدائرة = 2×π×نصف قطر الدائرة.

لمزيد من المعلومات حول المحيط يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون محيط المربع، ما محيط متوازي الاضلاع، قانون محيط المعين، قانون محيط شبه المنحرف، قانون محيط المستطيل، ما هو قانون محيط الدائرة.

• قوانين المساحة: يمكن إيجاد المساحة لأشهر الأشكال الهندسية ثنائية الأبعاد باستخدام القوانين الآتية:^[٢]
  • مساحة المربع = مربع طول الضلع
  • مساحة المستطيل = الطول×العرض
  • مساحة المثلث = 1/2×طول القاعدة×الارتفاع.
  • مساحة الدائرة = π×(نصف قطر الدائرة).²
  • مساحة شبه المنحرف = ((طول القاعدة العلوية+طول القاعدة السفلية)×الارتفاع)/2.

لمزيد من المعلومات حول مساحة الأشكال ثنائية الأبعاد يمكنك قراءة المقالات الآتية: ما هي مساحة المربع، قانون مساحة متوازي الأضلاع، قانون حساب مساحة المعين، مساحة الشبه المنحرف، كيف نحسب مساحة المستطيل، كيف أحسب مساحة الدائرة، ، كيف نحسب المساحة.

• يمكن إيجاد المساحة لمجموعة من أشهر الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد باستخدام القوانين الآتية:^[٢]
  • مساحة سطح المكعب = 6×طول ضلع المكعب².
  • مساحة سطح الأسطوانة = 2×π×نصف قطر قاعدة الأسطوانة×ارتفاع الأسطوانة.
  • مساحة سطح المخروط = π×نصف قطر قاعدة المخروط×الارتفاع الجانبي للمخروط
  • مساحة سطح الكرة = 4×π×نصف قطر الكرة²

لمزيد من المعلومات حول مساحة الأشكال ثلاثية الأبعاد يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون مساحة سطح الكرة، قانون مساحة متوازي المستطيلات، قانون مساحة المخروط، مساحة سطح الهرم، قانون مساحة الإسطوانة، مساحة سطح المنشور الرباعي.

• قوانين الحجم: يمكن إيجاد الحجم لأشهر الأشكال الهندسية ثلاثية الأبعاد باستخدام القوانين الآتية:^[٢][٣]
  • حجم الأسطوانة = مساحة القاعدة×الارتفاع
  • حجم المخروط = (مساحة القاعدة×الارتفاع)/3.
  • حجم الدائرة = (4×π×نصف قطر الدائرة³)/3.
  • حجم المكعب = طول ضلع المكعب³.
  • حجم متوازي المستطيلات = الطول×العرض×الارتفاع.

لمزيد من المعلومات حول حجم الأشكال ثلاثية الأبعاد يمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون حجم الكرة في الرياضيات، قانون حجم متوازي المستطيلات، قانون حجم المكعب، قانون حساب حجم المخروط، كيفية حساب حجم الاسطوانة.

أهم قوانين حساب المثلثات

• هناك مجموعة من القوانين الخاصة بعلم المثلثات، ومن أشهرها:^[٣]
  • جيب الزاوية = جا (الزاوية) = الضلع المقابل للزاوية/الوتر.
  • جيب تمام الزاوية = جتا (الزاوية) = الضلع المجاور للزاوية/الوتر.
  • ظل الزاوية = ظا (الزاوية) = الضلع المقابل للزاوية/ الضلع المجاور للزاوية.

لمزيد من المعلومات حول حساب المثلثات يمكنك قراءة المقال الآتي: قوانين حساب المثلثات.

• أهم المتطابقات المثلثية (حيث: س تمثل قياس الزاوية):^[٣]
  • جا²(س)+ جتا²(س) =1.
  • ظا (س) = جا(س)/جتا(س).
  • 1 + ظا(س)² = 1/جتا²(س).

• قانون جيب التمام (قانون الجتا): إذا كان هناك مثلث مهما اختلف نوعه أطوال أضلاعه أ، ب، جـ فإن طول الضلع أ يعطى بالعلاقة الآتية:^[٣]
  • أ² = ب²+جـ²- 2×ب×جـ×جتا أَ، حيث أَ هي الزاوية المقابلة للضلع أ.

لمزيد من المعلومات حول قانون جيب التمام يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هو قانون جيب التمام.

• قانون الجيب : مثلث أطوال أضلاعه أ، ب، جـ فإنّ: جا(أَ)/(أ) = جا(بَ)/ب = جا(جـَ)/جـ، حيث:^[٣]
  • أَ: الزاوية المقابلة للضلع أ.
  • بَ: الزاوية المقابلة للضلع ب.
  • جـَ: الزاوية المقابلة للضلع جـ.

لمزيد من المعلومات حول قانون الجيب يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون الجيب في الرياضيات.

• قوانين ضعف الزاوية؛ حيث س تمثل قياس الزاوية:^[٣]
  • جا (2س) = 2×جا(س)×جتا(س).
  • جتا(2س)= جتا²(س) – جا²(س).
  • ظا(2س)= (2 × ظا(س))/(1 – ظا²(س)).

لمزيد من المعلومات حول قانون ضعف الزاوية يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون ضعف الزاوية.

أهم قوانين اللوغارتيمات

هناك مجموعة من القوانين الخاصة باللوغاريتم، ومنها:^[٤]

• إذا كان أ^س = م؛ فإنّ لو_أ م = س.
• لو_أ 1 = 0.
• لو_أ أ = 1.
• لو_أ (م×ن) = لو_أ م + لو_أ ن.
• لو_أ (م/ن) = لو_أ م – لو_أ ن.
• لو_أ م ^ن = ن×لو_أ م.
• لو_أ م = لو_ب م×لو_أ ب.
• لو_ب أ×لو_أ ب = 1.

لمزيد من المعلومات حول اللوغاريتمات يمكنك قراءة المقال الآتي: خصائص اللوغاريتمات.

أهم قوانين الجذور

هناك مجموعة من القوانين المتعلقة بالجذور، ومنها:^[٥]

• (أ×ب)√^ن = أ√^ن × ب√^ن، حيث دليل الجذر هو ن، وهذا يتضمن جميع الأعداد.
• أ√^ن × ب√^م = (أ ^م×ب ^ن)√ ^م×ن
• (أ/ب)√^ن = أ√^ن / ب√^ن، بشرط أن تكون ب لا تساوي صفر.
• ( أ√^ن) ^ن= أ.
• أ^م√^ن = أ ^(م/ن).
• ( أ√^ن )^م= أ^م√^ن.

أهم قوانين الأسس

هناك مجموعة من القوانين المتعلقة بالأسس، وهي:^[٣]

• في حالة الضرب:
  • أ ^م×أ ^ن = أ ^(م+ن)
  • أ ^م×ب ^م = (أ×ب) ^م
• في حالة القسمة:
  • أ^م÷أ^ن = أ ^(م-ن)
  • أ ^م÷ب ^م = (أ÷ب)^م
• الأس المرفوع لأس آخر:
  • (أ ^م)^ب = أ ^(م×ب)
• الأس المرفوع لقوة تساوي صفر:
  • أ ⁰ = 1
• الأس السالب:
  • أ ^-ن = (1/أ)^ن
• الأس المرفوع لكسر:
  • أ ^(ب/جـ) = أ^ب√^جـ

لمزيد من المعلومات حول الأسس والقوى يمكنك قراءة المقال الآتي: خواص القوى في الرياضيات.

أهم قوانين الجمع والضرب

فيما يلي أهم القوانين المتعلقة بعملية الجمع؛ حيث أ، ب، جـ تمثل أعداداً حقيقية:^[٦]

• العنصر المحايد لعملية الجمع: ويساوي صفر، وهذا يعني أن إضافة أي عدد للعدد صفر يعطي العدد نفسه؛ أي أ+0 = أ.
• النظير أو المعكوس الجمعي: وهو معكوس العدد الذي ينتج عن إضافته للعدد ناتجاً يساوي صفر؛ أي النظير أو المعكوس الجمعي للعدد أ هو -أ؛ وذلك لأنّ (أ)+(-أ) = 0.
• الخاصية التجميعية: وتعني أن (أ+ب)+جـ تساوي أ+(ب+جـ)؛ أي أن تغيير ترتيب الأقواس لا يؤثر على نتيجة عملية الجمع.
• الخاصية التبديلية لعملية الجمع: وتعني أنّ أ+ب = ب+أ؛ أي تغيير ترتيب الأعداد لا يؤثر على ناتج عملية الجمع.

ملاحظة: عملية الطرح (أ-ب) تعني: أ+(-ب).

لمزيد من المعلومات حول عملية الجمع يمكنك قراءة المقالات الآتية: خصائص الجمع، ماهي خصائص الجمع والطرح.

فيما يلي أهم القوانين المتعلقة بعملية الضرب؛ حيث أ، ب، جـ تمثل أعداداً حقيقية:^[٦]

• العنصر المحايد لعملية الضرب: يساوي 1، وهذا يعني أن ضرب أي عدد في العدد 1 يُعطي العدد نفسه؛ أي أنّ: أ×1 = أ.
• النظير أو المعكوس الضربي: يتمثّل بمقلوب العدد، وهذا يعني أن النظير الضربي للعدد أ يساوي 1/أ بشرط أن تكون أ لا تساوي صفراً؛ وذلك لأن الإجابة في هذه الحالة تصبح قيمة غير معرّفة، وحاصل ضرب العدد بمعكوسه يُطعي دائماً القيمة 1؛ أي أنّ: أ×(1/أ) = 1.
• الضرب في العدد صفر: إنّ ضرب أي عدد في صفر يُعطي إجابة صفر؛ أي أنّ: أ×0 = 0.
• الخاصية التجميعية: وهذا يعني أنّ: (أ×ب)×جـ تساوي أ×(ب×جـ)؛ أي أنّ تغيير ترتيب الأقواس لا يؤثّر على نتيجة عملية الضرب.
• الخاصية التبديلية: وهذا يعني أنّ: أ×ب = ب×أ؛ أي تغيير ترتيب الأعداد لا يؤثر على ناتج عملية الضرب.
• قانون التوزيع: وهو ينصّ على أنّ: أ×(ب+جـ) = أ×ب+أ×جـ.

ملاحظة: يمكن التعبير عن عملية القسمة من خلال عملية الضرب كما يلي: أ/ب = أ×(1/ب).

لمزيد من المعلومات حول عملية الضرب يمكنك قراءة المقالات الآتية: خصائص عملية الضرب، قانون التوزيع في الضرب.

فيما يلي أهم القوانين المتعلقة بعملية ضرب، وجمع، وطرح، وقسمة الكسور:^[٧]

• جمع الكسور: أ/ب + جـ/د = (أ×د + ب×جـ)/(ب×د).
• طرح الكسور: أ/ب – جـ/د = (أ×د – ب×جـ)/(ب×د).
• ضرب الكسور: أ/ب × جـ/د = (أ×جـ)/(ب×د).
• قسمة الكسور: أ/ب ÷ جـ/د = (أ×د)/(ب×جـ).

قوانين مهمّة مختلفة

فيما يلي بعض القوانين المهمة التي تُستخدم بشكل كبير في علم الرياضيات:

• قوانين حساب الفائدة: يمكن حساب الفائدة حسب نوعها باستخدام القوانين الآتية:^[٨]
  • قانون الفائدة المركّبة: م=ب×(1+ف/ت)^ن×ت، حيث:
  • ب: المبلغ الأصلي الذي تم اقتراضه، أو استثماره.
  • م: المبلغ بعد إضافة الفائدة المركبة إليه بعد مرور مدة القرض، أو الاستثمار.
  • ف: نسبة الفائدة المركبة السنوية، ويجب كتابتها على شكل عدد عشري.
  • ت: عدد مرات تحصيل الفائدة في السنة الواحدة.
  • ن: مدة القرض، أو الاستثمار بالسنوات.
  • قانون الفائدة البسيطة: قيمة الفائدة البسيطة = المبلغ المقترض×نسبة الفائدة السنوية×عدد السنوات.^[٩]

لمزيد من المعلومات حول حساب الفائدة يمكنك قراءة المقالات الآتية: كيفية احتساب الفائدة المركبة، كيف تحسب فائدة البنك.

• أهم قوانين الإحصاء: تُستخدم هذه القوانين لمعرفة مدى ابتعاد القيم في عينة ما عن القيمة الصحيحة، أو عن بعضها البعض، وفيما يلي أهم القوانين المستخدمة في علم الإحصاء:^[١٠]
  • الوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها.
  • الانحراف المعياري = ((القيمة – الوسط الحسابي)²∑/(عدد القيم-1))√
  • المدى = أعلى قيمة – أقل قيمة.
  • التباين = مربع الانحراف المعياري.

لمزيد من المعلومات حول الإحصاء، والوسط، والتباين يمكنك قراءة المقالات الآتية: تعريف الإحصاء، كيفية حساب المتوسط الحسابي، قانون التباين، كيفية حساب الانحراف المعياري.

• قانون نظرية فيثاغورس: يُستخدم هذا القانون في المثلث قائم الزاوية، وينص على أنّ: مربع الوتر يساوي مجموع مربعي ضلعي القائمة أي: الوتر² = ضلع القائمة الأول² + ضلع القائمة الثاني²، ويشكّل أحد ضلعي القائمة قاعدة المثلث، أما الضلع الآخر فيتمثل بالضلع الآخر العمودي عليها.^[١١]

لمزيد من المعلومات حول نظرية فيثاغورس يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون نظرية فيثاغورس.

• قانون ميل المستقيم: يعبّر الميل عن مدى انحراف الخط المستقيم عن محور السينات الموجب، ويمكن التعبير عنه باستخدام مجموعة من القوانين، وهي:^[٧]
  • الميل = ظاθ؛ حيث θ تمثّل الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم، ومحور السينات الموجب.
  • لأي نقطتين إحداثياتهما (س1، ص1)، و (س2، ص2) تقعان على الخط المستقيم فإنّ الميل = فرق الصادات/فرق السينات أي؛ الميل= (ص2-ص1) / (س2-س1).
  • المعادلة التي تكون على صورة: ص=أس+ب، فإنّ الميل يساوي معامل س؛ أي: الميل=أ.

لمزيد من المعلومات حول ميل المستقيم يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون ميل الخط المستقيم.

• قانون المسافة بين نقطتين: يمكن إيجاد المسافة بين نقطتين إحداثياتهما (س1، ص1)، و(س2، ص2) باستخدام القانون الآتي: المسافة بين نقطتين = [(س2-س1)²+(ص2-ص1)²]√

• أهم قوانين التكامل: فيما يلي أهم القوانين التي تُستخدم بكثرة في علم التكامل:^[٧]
  • ∫ س ^ن ءس = (س^(ن+1)/ (ن+1))+جـ؛ حيث جـ هو أي عدد ثابت، ويُكتب دائماً إذا كان التكامل غير محدود، ءس تعني أن التكامل بدلالة المتغير س، وتقرأ (دال السين).
  • ∫ (1/ س ^ن) ءس = -1/((ن-1)×س ^(ن-1))+جـ.
  • ∫(1/س) ءس = لوس+جـ
  • ∫هـ ^س ءس = هـ س + جـ، حيث هـ هو العدد النيبيري وهو عدد ثابت.
  • ∫ أ^س ءس = أ^س/ لوأ + جـ.
  • ∫جاس ءس = -جتاس+جـ، حيث س تمثل أي زاوية.
  • ∫ جتاس ءس = جاس + جـ، حيث س تمثل أي زاوية.

• أهم قوانين الاشتقاق: إن الاشتقاق يمثّل العملية العكسية للتكامل، وفيما يلي أهم القوانين المستخدمة في علم الاشتقاق:^[١٢]
  • اشتقاق الاقتران الثابت (ص= جـ) يساوي 0؛ أي أنّ: ءص/ءس (جـ) = 0، وهذه الإشارة (ءص/ءس) تدل على عملية الاشتقاق، وتعني أن اشتقاق الاقتران ص بدلالة س، وتُقرأ (دال الصاد على دال السين).
  • اشتقاق الاقتران الخطي مثل ق (س)= س، قَ(س)= 1، أو بشكل عام اشتقاق الاقتران الخطي يساوي معامل س.
  • اشتقاق الاقتران التربيعي مثل: ق(س) = س²، قَ(س)= 2س.
  • اشتقاق الجذر التربيعي مثل: ق(س)= (س)√، قَ(س) = (1/2)×س^(-1/2).
  • اشتقاق الأس مثل:
    • ق(س)=هـ ^س، قَ(س)= هـ ^س.
    • ق (س) = أ^س، قَ(س)= لو_هـ أ×أ^س.
  • اشتقاق اللوغاريتم مثل:
    • ق(س)= لو_هـ (س)، قَ(س)= 1/س.
    • ق(س)= لو_أ (س)، قَ(س)= 1/(س×لو_هـ (أ)).
  • اشتقاق الاقترانات المثلثية (جا، جتا، ظا)؛ حيث س تمثل أي زاوية:
    • ق(س)= جاس، قَ(س) = جتاس.
    • ق(س)= جتاس، قَ(س) = -جاس.
    • ق(س)= ظاس، قَ(س) = قا²س.
  • اشتقاق الأس:
    • ق(س)= س ^ن، قَ (س) = ن×س^(ن-1)؛ حيث ن: هي ن تمثل الأس.

المراجع

1. ↑ “Perimeter Formulas”, www.math.com, Retrieved 16-6-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} “Math Formulas”, byjus.com, Retrieved 16-6-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت ث ج ح خ} “List of math formulas”, www.matematica.pt, Retrieved 16-6-2020. Edited.
4. ↑ “Basic Math Formulas”, www.math-only-math.com, Retrieved 16-6-2020. Edited.
5. ↑ ” Math Formulas “, www.dxl.co.za, Retrieved 16-6-2020 (page 25). Edited.
6. ^ ^{أ ب} “Basic Identities”, www.math.com, Retrieved 16-6-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب ت} “MATH FORMULAS”, www.onlinemath4all.com, Retrieved 16-6-2020. Edited.
8. ↑ “The Compound Interest Equation”, www.math.com, Retrieved 17-6-2020. Edited.
9. ↑ “Interest (An Introduction)”, www.mathsisfun.com, Retrieved 17-6-2020. Edited.
10. ↑ “Maths Formula Sheets”, www.cuemath.com, Retrieved 17-6-2020.
11. ↑ “Pythagorean Theorem Formula”, byjus.com, Retrieved 17-6-2020. Edited.
12. ↑ “Derivative Rules”, www.mathsisfun.com, Retrieved 17-6-2020. Edited.