قانون ميل الخط المستقيم

تعريف ميل المستقيم

يُعرف الخط المستقيم (بالإنجليزية: Straight Line) بأنه مجموعة من النقاط التي تمتلك ميلاً ثابتاً بين أي نقطتين منها، ويصف ميل المستقيم (بالإنجليزية: Gradient of a Straight line) عادة انحدار أو ميلان الخط الواصل بين نقطتين ما على طوله،^[١][٢] ويُشير الميل القليل للخط المستقيم إلى أن هذا الخط قليل الانحدار، أما الميل الكبير فيُشير إلى أنه شديد الانحدار، ويمكن تمثيل الميل على أنه معدل تغيّر الصّادات بالنسبة للسينات؛ فمثلاً إذا كان الميل مساوياً للعدد 3 فهذا يعني أنه عند زيادة السينات بمقدار (1) فإن قيمة الصادات ستزداد بمقدار (3).^[٣]

لمزيد من المعلومات حول الخط المستقيم يمكنك قراءة المقال الآتي: تعريف الخط المستقيم.

كيفية حساب ميل المستقيم

يمكن حساب ميل المستقيم عن طريق إحدى الطرق الآتية:

• قانون ميل المستقيم: للخط المستقيم الميل ذاته في كل مكان؛ لذلك يمكن تحديد ميله من خلال استخدام أي نقطتين واقعتين عليه،^[٤] وذلك باتباع الخطوات الآتية:^[٥]
  • تحديد نقطتين على الخط المستقيم.
  • اختيار إحداهما لتمثل (س₁،ص₁)، والأخرى لتكون (س₂،ص₂).
  • حساب الميل باستخدام قانون حساب ميل المستقيم عن طريق تعويض قيم النقطتين السابقتين فيه، وهو:
    • ميل المستقيم (م)= الفرق في الصادات/الفرق في السينات=(ص₂-ص₁)/(س₂-س₁).^[٥]

• معادلة الخط المستقيم: يعد الرسم البياني الممثّل للخط المستقيم نوعاً خاصاً من المنحنيات، وهو يمتلك المعادلة الآتية: (ص= م×س+ ب)، التي يمثل الرمز (م) فيها ميل الخط المستقيم، والرمز (ب) القيمة الصادية عند تقاطع الخط المستقيم مع محور الصادات، ويمكن إيجاد الميل من خلال المعادلة بسهولة وذلك بالنظر إلى معامل (س).^[٤]

• حساب الميل من خلال ظل الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم ومحور السينات، وذلك وفق القانون الآتي:
  • ميل المستقيم=ظا (α)؛ حيث α هي الزاوية المحصورة بين الخط المستقيم ومحور السينات.^[٦]

لمزيد من المعلومات حول معادلة الخط المستقيم يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هي معادلة الخط المستقيم

ملاحظات عامة حول ميل المستقيم

من الملاحظات العامة حول ميل الخط المستقيم ما يأتي:^[٢]

• الخط الموازي لمحور السينات يُعرف بالخط الأفقي، ويساوي ميله القيمة صفر.
• الخط الموازي لمحور الصادات يُعرف بالخط العمودي، ويمتلك ميله دائماً قيمة غير معرّفة.
• الخطان المتوازيان يمتلكان دائماً ميلاً متساوياً.
• حاصل ضرب ميلي الخطين المتعامدين يساوي دائماً القيمة (1-).
• إذا كان الخط المستقيم يرتفع إلى الأعلى عند التحرك من اليسار إلى اليمين فإن الميل يكون موجباً، وإذا كان ينخفض عند التحرك من اليسار إلى اليمين فإن الميل يكون سالباً.^[٧]

أمثلة حول حساب ميل المستقيم

حساب الميل من خلال معادلة الخط المستقيم

• المثال الأول: ما هو ميل المستقيم الذي معادلته: 4س – 16ص = 24.^[٧]
  • الحل:
    • المعادلة التي تكون على الصورة: ص= م×س+ ب، يكون فيها الميل = م، وهو معامل س؛ لذلك يجب ترتيب المعادلة: 4س – 16ص = 24، لتصبح: -16ص = -4س + 24.
    • القسمة على -16 لجعل معامل ص مساوياً للعدد واحد: ص = (-4س)/(- 16) + 24 / (–16)، ومنه: ص= (1/4) س – 1.5، وبالتالي فإن الميل يساوي: م=1/4، وهو معامل س.

• المثال الثاني: ما هو الميل في المعادلة: 2س + 4ص = -7.^[٧]
  • الحل:
    • لحل هذا السؤال يجب تحويل هذه المعادلة إلى الصورة م س + ب= ص، وبالتالي ينتج الآتي:
    • 2س + 4ص = -7، وبترتيب أطراف المعادلة ينتج أن: 2س+7=-4ص، وبقسمة الطرفين على (-4) ينتج أن ص=(1/2-)س + (7/4-)، وبالتالي فإن ميل هذا المستقيم يساوي: م= 1/2-، وهو معامل (س).

• المثال الثالث:ما هو ميل المستقيم المتعامد مع المستقيم الذي معادلته 4س + 2ص =88.^[٧]
  • الحل:
    • لحل هذا السؤال يجب تحويل هذه المعادلة إلى الصورة م س + ب= ص، وبالتالي ينتج الآتي:
    • 4س + 2ص = 88، وبترتيب أطراف المعادلة ينتج أن: 4س-88=-2ص، وبقسمة الطرفين على (-2) ينتج أن ص=(2-)س + 44، وبالتالي فإن ميل هذا المستقيم يساوي: م= 2-، وهو معامل (س).
    • إيجاد ميل المستقيم المتعامد معه من خلال معرفة أن: ميل المستقيم×ميل المستقيم المتعامد معه=1-، وعليه: 2-×ميل المستقيم المتعامد معه=1-، ومنه ميل المستقيم المتعامد معه= 1/2.

حساب الميل من خلال قانون الميل

• المثال الأول: ما هو ميل المستقيم المار بالنقطتين (15,8)، و(10,7).^[٥]
  • الحل:
    • اعتبار النقطة (8,15) لتكون (س2,ص2)، والنقطة (7,10) لتكون (س1,ص1).
    • استخدام قانون الميل لحساب ميل المستقيم؛ ومنه ميل المستقيم= (ص2-ص1)/ (س2-س1)= (8-7)/(15-10)=5/1.
    • وفي حال اختيار النقطة (8,15) لتكون (س1,ص1)، والنقطة (7,10) لتكون (س2,ص2)، وحساب ميل المستقيم تكون الإجابة كالآتي: 7-10/8-15=-1/-5=5/1 وهي تساوي الإجابة السابقة.

ملاحظة: قد يتطلب الأمر استخراج النقطتين من الرسم البياني للخط المستقيم في حال الحصول على رسمه، بدلاً من إعطائها مباشرة في السؤال، وفي هذه الحال يتم اختيار أي نقطتين على الخط، ثمّ إكمال الحل تماماً كما في المثال السابق.^[٥]

• المثال الثاني: ما قيمة الميل للخط المستقيم الذي يمر بالنقاط الآتية (2,5) و (1,3).^[٧]
  • الحل: يتم إيجاد الميل من خلال الخطوات الآتية:
    • اعتبار النقطة (2,5) لتكون (س2,ص2)، والنقطة (1,3) لتكون (س1,ص1).
    • استخدام قانون الميل لحساب ميل المستقيم؛ ومنه: ميل المستقيم= (ص2-ص1)/ (س2-س1)= (2-1)/(5-3)=2/1.

• المثال الثالث: ما قيمة الميل للخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين (3,7)، (8,-4).^[٧]
  • الحل: يتم إيجاد الميل من خلال الخطوات الآتية:
    • اعتبار النقطة (3,7) لتكون (س2,ص2)، والنقطة (8,-4) لتكون (س1,ص1).
    • استخدام قانون الميل لحساب ميل المستقيم؛ ومنه: ميل المستقيم= (ص2-ص1)/ (س2-س1)= (3-(-4))/(7-8)=7-.

• المثال الرابع: ما هو ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين (1,2)، (7,4)؟^[٨]
  • الحل: يتم إيجاد الميل من خلال الخطوات الآتية:
    • اعتبار النقطة (7,4) لتكون (س2,ص2)، والنقطة (1,2) لتكون (س1,ص1).
    • استخدام قانون الميل لحساب ميل المستقيم؛ ومنه: ميل المستقيم= (ص2-ص1)/ (س2-س1)= (7-1)/(4-2)=3.

• المثال الخامس:ما هو ميل المستقيم الذي يمر بالنقطتين (-3،-2) و (2،2).^[٩]
  • الحل: يتم إيجاد الميل من خلال الخطوات الآتية:
    • اعتبار النقطة (2,2) لتكون (س2,ص2)، والنقطة (-3,-2) لتكون (س1,ص1).
    • استخدام قانون الميل لحساب ميل المستقيم؛ ومنه: ميل المستقيم= (ص2-ص1)/ (س2-س1)= (2-(-2))/(2-(-3))=4/5.

• المثال السادس: إذا كان المستقيم (أب) متعامداً على المستقيم (دو)، جد قيمة ص، إذا كانت أ (3,2-)، ب (2-,6)، د(3,4)، و(7,ص).^[٢]
  • الحل:
    • حساب الميل للمستقيم الأول (أب) أولاً من خلال اتباع الخطوات الآتية:
    • اعتبار النقطة (2-,6) لتكون (س2,ص2)، والنقطة (3,2-) لتكون (س1,ص1).
    • استخدام قانون الميل لحساب ميل المستقيم (أب)؛ ومنه: ميل المستقيم (أب)= (ص2-ص1)/ (س2-س1)= (6-(3-))/((2-)-(2))=4/-9.
    • حساب الميل للمستقيم الثاني (دو) أولاً من خلال اتباع الخطوات الآتية:
    • اعتبار النقطة (7,ص) لتكون (س2,ص2)، والنقطة (3,4) لتكون (س1,ص1).
    • استخدام قانون الميل لحساب ميل المستقيم (دو)؛ ومنه: ميل المستقيم (أب)= (ص-3)/ (7-4)= 3/(ص-3).
    • وفق النظرية فإن حاصل ميلي المستقيمين المتعامدين=1-، ومنه ميل (أب) × ميل (دو)=1-، وعليه: (4/-9)×3/(ص-3)=1-، وبحل المعادلة ينتج أن ص=13/3.

• المثال السابع: إذا كانت معادلة الخط المستقيم هي: 5س+وص-1=0، وكان ميله مساوياً للعدد 5، جد قيم (و).^[١٠]
  • الحل: لحل هذا السؤال يجب تحويل هذه المعادلة إلى الصورة م س + ب= ص، وبالتالي ينتج الآتي:
    • 5س+وص-1=0، وبترتيب أطراف المعادلة ينتج أن: -5س+1=وص، وبقسمة الطرفين على (و) ينتج أن ص=(و/-5)س + (و/1)، وبما أن ميل هذا المستقيم يساوي: م= 5، وهو معامل (س) فإن قيمة (و/-5)=5، ومنه و=-1.

حساب الميل بطرق متنوعة

• المثال الأول: أثبت أن المستقيم المار بالنقطتين (2,0)، (6,2) هو مستقيم موازٍ للمستقيم الذي معادلته: 2س-ص=2.^[٢]
  • الحل:
    • حساب الميل للمستقيم الأول أولاً من خلال اتباع الخطوات الآتية:
    • اعتبار النقطة (6,2) لتكون (س2,ص2)، والنقطة (2,0) لتكون (س1,ص1).
    • استخدام قانون الميل لحساب ميل المستقيم؛ ومنه ميل المستقيم= (ص2-ص1)/ (س2-س1)= (6-(2))/(2-(0))=2.
    • حساب الميل للمستقيم الثاني عن طريق تحويل معادلته إلى الصورة م س + ب= ص، وبالتالي ينتج الآتي:
    • 2س -ص = 2، وبترتيب أطراف المعادلة ينتج أن: 2س-2=ص، وبالتالي فإن ميل هذا المستقيم يساوي: م= 2، وهو معامل (س).
    • مما سبق يتبين أن ميل المستقيم الأول= ميل المستقيم الثاني، ووفق النظرية فإن هذان المستقيمان متوازيان؛ لأن المستقيمان المتوازيان يتساويان في الميل دائماً.

• المثال الثاني: إذا كان المستقيم (أب) مواز للمستقيم (دو) الذي معادلته ص=-س+4.5، وكانت إحداثيات النقطة أ (1-,2.5)، جد معادلة المستقيم (أب).^[٢]
  • الحل:
    • حساب الميل للمستقيم (دو) أولاً من خلال معادلته المكتوبة على الصورة م س + ب= ص، وهي: ص=-س+4.5، ومنه ينتج أن ميل هذا المستقيم= 1-، وهو معامل س.
    • ميل المستقيم (أب)=ميل المستقيم (دو)=1-؛ لأنهما متوازيان.
    • كتابة الصورة القياسية لمعادلة الخط المستقيم ، وهي: ص=(-1)س+ب، وتعويض النقطة أ فيها لينتج أن: 2.5=-1(-1)+ب، ومنه ب=1.5، وعليه فإن معادلة المستقيم (دو) هي: ص=-س+1.5.

• المثال الثالث: إذا كان ميل المستقيم مساوياً للقيمة 3√/1، جد زاوية ميلانه.^[١٠]
  • الحل: وفق القانون: ميل المستقيم=ظا(α)، فإن 3√/1=ظا (α)، ومنه فإن زاوية ميلانه=30درجة.

المراجع

1. ↑ Jack Gerard (24-4-2018), “What is the Definition of Slope in Algebra?”، sciencing.com, Retrieved 8-5-2019. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت ث ج} “Gradient of a line”, www.siyavula.com, Retrieved 15-10-2017. Edited.
3. ↑ “Gradients of Straight Line Graphs Worksheets, Questions and Revision”, mathsmadeeasy.co.uk, Retrieved 1-3-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب} “3: A straight line has only one slope”، www.mathbemch.org.au، Retrieved 10-10-2017. Edited.
5. ^ ^{أ ب ت ث} “Calculating the Slope”, www.cls.syr.edu, Retrieved 10-10-2017. Edited.
6. ↑ “Gradient (or slope) of a Line, and Inclination”, www.intmath.com, Retrieved 1-3-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب ت ث ج ح} “ACT Math : How to find the slope of a line”, www.varsitytutors.com, Retrieved 17-5-2019. Edited.
8. ↑ “Slope formula”, www.khanacademy.org, Retrieved 16-5-2019. Edited.
9. ↑ “The slope of a linear function”, www.mathplanet.com, Retrieved 16-5-2019. Edited.
10. ^ ^{أ ب} “gradient of a straight line”, www.onlinemath4all.com, Retrieved 1-3-2020. Edited.