جديد قانون التباين

نظرة عامة حول التباين

يُعرف التباين (بالإنجليزية: Variance) بأنه أحد مقاييس التشتت بين القيم لعينة ما، وهو يقيس مقدار تشتت القيم عن الوسط الحسابي، وعن بعضها البعض، ويُرمز له عادة بالرمز (²σ)، وإذا كانت قيمة التباين كبيرة فإن هذا يعني أن القيم متباعدة عن بعضها، وعن الوسط الحسابي، وفي المقابل إذا كانت قيمته صغيرة فإن هذا يعني أن القيم متقاربة من بعضها، ومن الوسط الحسابي، أما إذا كانت قيمته صفر فإنّ هذا يعني أن القيم متماثلة، ومن الجدير بالذكر أن قيمة التباين تكون دائماً موجبة، وذلك لأن التباين يُمثّل دائماً مربع الانحراف المعياري.^[١]

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول الانحراف المعياري يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية حساب الانحراف المعياري.

كيفية حساب التباين

يساعد التباين في معرفة مدى ابتعاد القيم لعينة ما عن بعضها البعض، وعن الوسط الحسابي لها كما ذُكر سابقاً؛ حيث تمثّل العينة المجموعة التي تم أخذها من المجتمع بأكمله؛ فمثلاً إذا أراد شخص معرفة القيمة التي تمثّل معظم كتل الشعب الأمريكي، فإن عملية قياس كتل جميع الأشخاص تعتبر صعبة جداً، وتحتاج إلى وقت كبير، بل وشبه مستحيلة، لذلك يمكن حل هذه المشكلة بأخذ عينة من المجتمع تتكوّن من 1,000 شخص مثلاً، وقياس كتلهم، ثم حساب قيمة المتوسط الحسابي لها؛ لمعرفة القيمة التي تمثل كتل معظم الأشخاص في المجتمع، إضافة لحساب التباين لمعرفة مدى ابتعاد هذه القيم عن بعضها وعن المتوسط الحسابي لهذا المجتمع.^[٢]

يمكن كذلك إيجاد التباين لمجموعة القيم في العينة سواء كانت هذه القيم منفردة، أو على شكل مجموعات كما في الجداول التكرارية، وتجدر الإشارة إلى أن هناك نوعين من التباين، وهما: التباين للعينة (Sample Variance)، وفي هذه الحالة فإن عدد القيم المُراد إيجاد التباين لها يكون صغيراً نسبياً ويمثّل جزءاً من المجتمع، ويُرمز له بالرمز (s²)، والتباين للمجتمع (Population Variance)، وفي هذه الحالة فإن عدد القيم يكون كبيراً عادة، ويمثّل المجتمع بأكمله، ويرمز له بالرمز (σ²)، ويمكن بشكل عام إيجاد التباين باستخدام أحد القوانين الآتية:^[٣]

• التباين للعينة (s²) = (س-ل)²∑ / (ن-1)، حيث:
  • ل: هو الوسط الحسابي للعينة.
  • س: هي كل قيمة من القيم.
  • ن: عدد القيم.
• التباين للمجتمع (σ²) = (س-ل)²∑/ن، حيث:
  • ل: هو الوسط الحسابي للمجتمع بأكمله.
  • س: هي كل قيمة من القيم.
  • ن: عدد القيم.

ملاحظة: يساوي التباين دائماً مربع الانحراف المعياري؛ أي: التباين= (الانحراف المعياري)²، وبالرموز: التباين (σ²) = σ×σ.^[٤]

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول الوسط الحسابي يمكنك قراءة المقالات الآتية: ما هو الوسط الحسابي، كيفية حساب المتوسط الحسابي، خصائص الوسط الحسابي.

أمثلة متنوعة حول حساب التباين

حساب التباين للبيانات غير المبوّبة

• المثال الأول: ما هو التباين للمجتمع المكوّن من القيم الآتية: 28، 29، 30، 31، 32؟^[٢]
  • الحل:
  • التباين للمجتمع (σ²) = (س-ل)²∑/ن
  • الخطوة الأولى هي إيجاد الوسط الحسابي، وذلك كما يلي:
    • الوسط الحسابي = مجموع القيم/عددها = (28+29+30+31+32)/5= 30.
  • الخطوة الثانية هي عمل جدول لتسهيل الحل، علماً أن الرمز ل يعني الوسط الحسابي للمجتمع، وذلك كما يلي:

القيمة (س)	(س-ل)	(س-ل)²
28	2- =28-30	4
29	1-=29-30	1
30	0=30-30	0
31	1=31-30	1
32	2=32-30	4
المجموع	—	10

• • التباين = 10/5 = 2، وذلك لأن (ن) وهي عدد القيم تساوي 5.

• المثال الثاني: ما هو التباين للعينة الآتية التي تمثّل أطوال الأشجار في كاليفورنيا: 3، 21، 98، 203، 17، 9؟^[٥]
  • الحل:
  • التباين للعينة (s²) = (س-ل)²∑ / (ن-1).
  • الخطوة الأولى هي إيجاد الوسط الحسابي كما يلي:
    • الوسط الحسابي = (3+9+17+21+98+203)/ 6 = 351/6 = 58.5.
  • إنّ أفضل طريقة لإيجاد التباين هي عمل جدول كما يلي؛ حيث ل: يمثّل الوسط الحسابي:

القيمة (س)	س-ل	(س-ل)²
3	3 -58.5 = -55.5	3,080.25
9	9 – 58.5 = -49.5	2,450.25
17	17 – 58.5 = -41.5	1,722.25
21	21 – 58.5 = -37.5	1,406.25
98	98 – 58.5 = 39.5	1,560.25
203	203 – 58.5 = 144.5	20,880.25
المجموع	—	31,099.5

• • التباين = 31,099.5/(6-1) = 6,219.9.

حساب التباين للبيانات المبوبة

في بعض الأحيان تكون القيم على شكل جدول تكراري، وفي هذه الحالة يمكن إيجاد التباين باستخدام القانون الآتي: التباين (σ²) = ت×(س-ل)²∑ / ن، حيث:^[٦]

• ت: تمثل عدد التكرارت لكل مجموعة من المجموعات، ومجموع التكرارات يساوي الحجم الكلي للعينة (ن).
• س: تمثّل مركز كل فئة من الفئات.
• ل: تمثّل الوسط الحسابي، ويساوي مجموع القيم/عددها؛ أي: (ت×س)∑/ن.
• ملاحظة: يمكن التعبير عن قانون التباين بالصيغة الآتية والتي تعتبر مماثلة للصيغة الأولى: (σ²) = (ت×(س)²∑ /ن)-ل².

المثال الأول: الجدول الآتي يمثّل علامات 88 طالباً في إحدى المدارس؛ حيث حصرت المعلّمة العلامات على شكل فترات كما يلي لتقدير مستوى أداء الطلبة، فما هو التباين لهذه العلامات:^[٦]

العلامات	عدد الطلاب
(0-10)	6
(10-20)	16
(20-30)	24
(30-40)	25
(40-50)	17

• الحل:
  • لتسهيل حل هذا السؤال يتم استخدام الجدول كما يلي:

العلامات على شكل فترات	مركز الفئة (س)=(الحد الأدنى+الحد الأعلى/2)	التكرار	التكرار×مركز الفئة (ت×س)	(مركز الفئة)²	التكرار×(مركز الفئة)² أي (ت×س²)
(0 – 10)	5	6	30	25	150
(10 – 20)	15	16	240	225	3,600
(20 – 30)	25	24	600	625	15,000
(30 – 40)	35	25	875	1,225	30,625
(40 – 50)	45	17	765	2,025	34,425
المجموع	—	88	2,510	—	83,800

• الوسط الحسابي (ل) = (ت×س)∑/ن = 2,510/88 = 28.52.
• التباين = (σ²) = (ت×(س)²∑ / ن) – ل²، وبالتالي: التباين = 83,800/88 – (28.52)² = 952.273 – 813.39 = 138.73.

• المثال الثاني: ما هو التباين للقيم في الجدول التكراري الآتي:^[٧]

القيم على شكل فترات	التكرار
10-12	4
13-15	12
16-18	20
19-21	14
مجموع التكرارت	50

• الحل: إن أسهل طريقة لإيجاد التباين هي عمل جدول كما يلي:

القيم على شكل فترات	التكرار (ت)	مركز الفئة (س)	مركز الفئة×التكرار (ت×س)	التكرار×(مركز الفئة)² أي (ت×س²)
(10-12)	4	11	44	484
(13-15)	12	14	168	2,352
(16-18)	20	17	340	5,780
(19-21)	14	20	280	5,600
المجموع	ن = 50	—	832	14,216

• الوسط الحسابي (ل) = (ت×س)∑/ن = 832/50 = 16.64.
• التباين = (ت×(س)²∑ / ن) – ل² = (14,216/50)- (16.64²) = 284.32-276.89 = 7.43.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول الوسيط والمنوال يمكنك قراءة المقالات الآتية: كيفية حساب الوسيط، كيفية حساب المنوال.

المراجع

1. ↑ ADAM HAYES (2-9-2016), “Variance”، www.investopedia.com, Retrieved 12-6-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب} “Variance: Simple Definition, Step by Step Examples”, www.statisticshowto.com, Retrieved 12-6-2020. Edited.
3. ↑ “Variance Formula”, byjus.com, Retrieved 12-6-2020. Edited.
4. ↑ “Variance and Standard Deviation”, www.toppr.com, Retrieved 12-6-2020. Edited.
5. ↑ “Sample Variance: Simple Definition, How to Find it in Easy Steps”, www.statisticshowto.com, Retrieved 12-6-2020. Edited.
6. ^ ^{أ ب} “Variance and standard deviation (grouped data)”, www.lboro.ac.uk, Retrieved 13-6-2020 (page 1). Edited.
7. ↑ “Grouped Data Calculation”, people.umass.edu, Retrieved 13-6-2020.