كيفية حساب المنوال

نظرة عامة حول مفهوم المنوال

يعتبر المنوال (بالإنجليزية: Mode) أحد مقاييس النزعة المركزية الثلاث المستخدمة لتحليل البيانات في الإحصاء، والتي هي عبارة عن قيم يمكن من خلالها وصف القيمة المركزية لمجموعة من البيانات؛ حيث يعبّر المنوال عن العدد الأكثر تِكراراً في مجموعة من البيانات، وهو يعتمد بشكل أساسي خلافاً لمقاييس النزعة المركزية الأخرى وهي: المعدّل أو الوسط الحسابي، والوسيط على مدى التكرار في العينة؛ فمثلاً المنوال في مجموعة الأعداد الآتية: (3، 3، 8، 9، 15، 15، 15، 17، 17، 27، 40، 44، 44) هو العدد 15؛ لأنه العدد الأكثر تكراراً فيها،^[١][٢] أمّا المنوال في مجموعة الأعداد الآتية (3، 7، 5، 13، 20، 23، 39، 23، 40، 23، 14، 12، 56، 23، 29) فهو العدد 23.^[٣]

كيفية حساب المنوال

يتم حساب المنوال وفقاً لنوع البيانات باستخدام عدة طرق كالآتي:

عند وجود منوال واحد فقط

يمكن حساب المنوال من خلال هذه الطريقة عن طريق ترتيب الأعداد تصاعدياً أو تنازلياً لتسهيل عملية البحث عنه، ثم إيجاد العدد الأكثر تكراراً من بينها؛ ليكون هو المنوال؛ فمثلاً لإيجاد المنوال لمجموعة الأعداد الآتية: (19, 8, 29, 35, 19, 28, 15) يجب أولاً ترتيبها (8, 15, 19, 19, 28, 29, 35) ليكون المنوال هو العدد 19، المتكرر مرتين هنا.^[٣]

عند وجود منوالين أو أكثر

في بعض الأحيان قد تضم بعض العينات منوالين أو أكثر، ففي الأعداد الآتية مثلاً بعد ترتيبها (1، 3، 3، 3، 4، 4، 6، 6، 6، 9) تكرر ظهور العدد 3 ثلاث مرات، كما تكرر ظهور العدد 6 ثلاث مرات أيضاً؛ وعليه يتم اعتبار أن مجموعة الأعداد هذه تضم منوالين هما العددان: 3، 6؛ حيث تُعرف هذه الحالة باسم (العينات ثنائية المنوال) (بالإنجليزية: Bimodal)، أما عند وجود أكثر من منوالين في البيانات فتُعرف الحالة باسم (العينات متعددة المنوال) (بالإنجليزية: Multimodal).^[٣]

التجميع

تُستخدم هذه الطريقة في بعض الحالات وذلك عندما تظهر جميع القيم بنفس عدد المرات، ففي هذه الحالة يجب تجميع القيم ضمن مجموعات لتقدير قيمة المنوال، ويوضح المثال الآتي هذه الطّريقة:^[٣]

• جد المنوال للأعداد الآتية: (4، 7، 11، 16، 20، 22، 25، 26، 33).
  • يجب أولاً تجميع الأعداد في مجموعات من 10، وذلك كما يأتي:
    • الأعداد من 0-9 تضم قيمتان هما: 4، 7.
    • الأعداد من 10-19 تضم قيمتان هما: 11، 16.
    • الأعداد من 20-29 تضم أربع قيم هي: 20، 22، 25، 26.
    • الأعداد من 30-39 تضم قيمة واحدة هي: 33.
  • ممّا سبق يتضح ظهور القيم العشرينية أكثر من غيرها؛ لذا يتم هنا اختيار الرقم 25 وهو العدد الواقع في منتصف هذه المجموعة تماماً كقيمة لمنوال هذه البيانات، ومن الجدير بالذكر هنا أنه يمكن الحصول على إجابات مختلفة عند اختيار مجموعات مختلفة لتجميع هذه الأعداد.

طريقة بيرسون

تستخدم هذه الطريقة عادة للبيانات المجمّعة أو المبوبة على شكل فئات في الجداول التكرارية، وفي هذه الطريقة يُحسب المنوال عن طريق القانون الآتي:

• المنوال= أ+(ف1)/ (ف1+ف2)×ل؛ حيث:^[٤]
• أ: الحد الأدنى للفئة المنوالية؛ أي بدايتها.
• ف1=ك-ك1؛ حيث ك: تكرار الفئة المنوالية، ك1: تكرار الفئة التي تسبقها.
• ف2=ك-ك2؛ حيث ك: تكرار الفئة المنوالية، ك1: تكرار الفئة التي تليها.
• ل: طول الفئة المنوالية.

ولتوضيح ذلك يوضح المثال الآتي طريقة حساب المنوال بطريقة بيرسون:^[٥]

• احسب المنوال للبيانات الآتية التي تمثل الوقت المستغرق للذهاب إلى العمل لخمسين شخصاً:

الوقت المستغرق	التكرار
1-10	8
11-20	14
21-30	12
31-40	9
41-50	7
المجموع	50

• يتطلب حل هذا السؤال تحديد قيمة البيانات الآتية:
  • تحديد الفئة المنوالية عن طريق تحديد الفئة الأكثر تكراراً ضمن عمود التكرارات، وهي الفئة 11-20 لأن عدد تكراراتها يساوي 14، وهو العدد الأكبر.
  • تحديد الحد الأدنى للفئة المنوالية وهو 10.5.
  • حساب قيمة ف1، ف2؛ حيث ف1= تكرار الفئة المنوالية- تكرار الفئة التي تسبقها، ف1=14-8=6، ف2= تكرار الفئة المنوالية – تكرار الفئة التي تليها، ف2=14-12=2.
  • حساب قيمة ل وهو طول الفئة، ل= 10.
  • تعويض القيم في القانون، كالآتي:

المنوال= أ+((ف1)/ (ف1+ف2))×ل=10.5+(6)/(6+2)×10=18.

أمثلة متنوعة حول المنوال

• المثال الأول: جد المنوال لمجموعة الأعداد الآتية: 8,12,25,8,8,12,25,25,8.^[٦]
  • الحل: يتطلب حل هذا السؤال ترتيب الأعداد أولاً لتسهيل البحث عن المنوال؛ لتصبح كالآتي: 8,8,8,8,12,12,25,25,25، وعليه يتّضح أن القيمة الأكثر تكراراً هي العدد: 8، وبالتالي فهو المنوال.

• المثال الثاني: تقدم تسع طلاب لأداء أحد الامتحانات، وكانت نتائجهم كالآتي:^[٦]

النتيجة	عدد الطلاب
0	2
4	3
8	4

• جد النتيجة التي تمثل المنوال لهذه البيانات.
  • الحل: النتيجة الأكثر تكراراً هي (8)، وعليه فهي تعتبر المنوال؛ أي أن أكثر الطلاب قد حصلوا على هذه النتيجة.

• المثال الثالث: جد المنوال لمجموعة الأعداد الآتية: (3,7,10,19,19).^[٦]
  • الحل: يتضح من الأعداد أعلاه أن القيمة الأكثر تكراراً هي العدد: 19، وبالتالي فهو المنوال.

• المثال الرابع: جد المنوال لمجموعة الأعداد الآتية: 8, 9, 10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 13.^[٧]
  • الحل: يتضح من الأعداد أعلاه أن القيمتان الأكثر تكراراً هي العددان: 10,11؛ حيث تكرر كل منهما ثلاث مرات، وبالتالي فيمثل كل منهما قيمة للمنوال.

• المثال الخامس: سأل أحد الأساتذة طلابه عن عدد إخوة كل واحد منهم، وكانت الإجابات كما يأتي: 0,0,1,1,1,1,1,1,2,2,2,3,5، جد قيمة المنوال لهذه الأعداد.^[٨]
  • الحل: يتضح من الأعداد أعلاه أن القيمة الأكثر تكراراً هي العدد: 1، وبالتالي فإن المنوال هو: 1، وهذا يعني أن أكثر طلاب الصف يمتلكون أخاً واحداً فقط.

• المثال السادس: كانت البيانات المسجلة لدرجات الحرارة في إحدى المدن الأمريكية كما يأتي: -8, 0, -3, 4, 12, 0, 5, -1, 0، جد درجة الحرارة الأكثر تكراراً لهذه البيانات.^[٩]
  • الحل: لإيجاد درجة الحرارة الأكثر تكراراً أو المنوال يجب أولاً ترتيب الأعداد تصاعدياً، لتصبح: -8,-3,-,-1, 0 ,0,0, 4, 5 , 12، وعليه درجة الحرارة الأكثر تكراراً هي (0) وهي المنوال لهذه البيانات.

• المثال السابع: يوضح الجدول الآتي أوزان مجموعة من أكياس الأرز، وتكرار كل منها:^[١٠]

الوزن (كغ)	عدد الأكياس
45	8
50	11
55	7
60	10
65	9
70	10
75	12
80	8

• جد القيمة التي تمثل المنوال لهذه البيانات.
  • الحل: الوزن الأكثر تكراراً هو (75)؛ حيث تكرر 12 مرة، وعليه فهو يعتبر المنوال؛ أي أن أغلب الأكياس بلغ وزنها 75كغ.

• المثال الثامن: يوضح الجدول الآتي نتيجة الطلاب في أحد الامتحانات، جد أقل قيمة ممكنة للقيمة (س)، علماً أن العدد 4 هو المنوال في هذا المثال.^[١٠]

النتيجة	عدد الطلاب
1	7
2	9
3	10
4	س
5	9
6	11

• • الحل:: بما أن العدد 4 هو المنوال؛ فهذا يعني أنه القيمة الأكثر تكراراً في هذه البيانات، وعليه لا يمكن لقيمته أن تقل عن 12.

• المثال التاسع: احسب المنوال للبيانات الآتية التي تمثل العلامات التي حصل عليها الطلاب في إحدى المواد:^[١١]

العلامة	عدد الطلاب
10-20	5
20-30	12
30-40	8
40-50	5
المجموع	27

• الحل: يتطلب حل هذا السؤال تحديد قيمة البيانات الآتية:
  • تحديد الفئة المنوالية عن طريق تحديد الفئة الأكثر تكراراً ضمن عمود التكرارات، وهي الفئة 30-20 لأن عدد تكراراتها يساوي 12، وهو العدد الأكبر.
  • تحديد الحد الأدنى للفئة المنوالية وهو 20.
  • حساب قيمة ف1، ف2؛ حيث ف1= تكرار الفئة المنوالية- تكرار الفئة التي تسبقها، ف1=12-5=7، ف2= تكرار الفئة المنوالية – تكرار الفئة التي تليها، ف2=12-8=4.
  • حساب قيمة ل وهي طول الفئة، ل= 10.
  • تعويض القيم في القانون، كالآتي:

المنوال= أ+((ف1)/ (ف1+ف2))×ل=20+(7)/(7+4)×10=26.364؛ وهي القيمة الأكثر تكراراً لهذه البيانات.

المراجع

1. ↑ Deb Russell (11-3-2018), “How to Calculate the Mean, Median, and Mode”، www.thoughtco.com, Retrieved 4-3-2018. Edited.
2. ↑ “Central Tendency: Measures, Definition & Examples”, study.com, Retrieved 9-2-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت ث} “How to Find the Mode or Modal Value”, www.mathsisfun.com, Retrieved 4-3-2018. Edited.
4. ↑ استاذ قسم الرياضيات جامعة دمشق محمد مفيد القوصي، الكفايات المهنية في المؤسسات التربوية-الاحصاء الوصفي والاستدلالي، صفحة 133-134. بتصرّف.
5. ↑ “Lecture 2 – Grouped Data Calculation”, people.umass.edu, Retrieved 9-2-2020. Edited.
6. ^ ^{أ ب ت} “Data – Mode”, brilliant.org, Retrieved 9-2-2020. Edited.
7. ↑ “Mean, Median, Mode, and Range”, www.purplemath.com, Retrieved 5-2-2020. Edited.
8. ↑ “Mean, median, and mode review”, www.khanacademy.org, Retrieved 9-2-2020. Edited.
9. ↑ “The Mode of a Set of Data”, www.mathgoodies.com, Retrieved 9-2-2020. Edited.
10. ^ ^{أ ب} “Math Statistics: Mode, Median and Mean”, www.onlinemathlearning.com, Retrieved 9-2-2020. Edited.
11. ↑ “Mode”, byjus.com, Retrieved 9-2-2020. Edited.