تعريف زاوية الميل

نظرة عامة حول زاوية الميل

يُمكن تعريف الميل (بالإنجليزية: Slope) على أنّه مقياس لمقدار التغيّر في الارتفاع، وهو يعتبر من المقاييس المُهمّة في العديد من النماذج التنبؤية المستخدمة في الإدارة البيئية،^[١] ويصف ميل الخطّ المستقيم عادة اتجاهه وانحداره، ويُمكن التعبير عن مقداره بعدة طرق هي: مقدار زاوية الميل (بالإنجليزية: Angles)، والتدرّج (بالإنجليزية: Gradients)، أو الدرجات (بالإنجليزية: Grades).^[٢] حيث يُمكن تعريف زاوية الميل (بالإنجليزية: Slope Angle) والتي يُرمز لها بالرمز (هـ) على أنّها الزاوية المحصورة بين أي خط ثنائي الأبعاد ومحور السينات، وفي حال كان الخط مُتناقصاً فإن الزاوية تكون سالبة القيمة؛ أي أنّ: 90-<هـ ≤90، ويجدر بالذكر أنه يمكن التعبير عن ميل جميع الخطوط غير العموديّة وحسابه عند معرفة قيمة زاوية الميل باستخدام العلاقة الآتية:^[٣]

• زاوية الميل (هـ) = ظا^-1 (الميل)، أو الميل = ظا (زاوية الميل (هـ)).

يكون ميل الخط موجباً أو سالباً بناءً على قياس زاوية الميل ومقداره؛ أي إن كانت حادة أو مُنفرجة، وإذا كان الخط موازٍ لِمحور السينات فإنّ الزاوية التي يصنعها مع هذا المحور هي صفر، وبالتالي فإنّ: ميل هذا الخطّ = ظا (صفر)= صفر، أمّا إذا كان الخط موازٍ لِمحور الصادات أي عمودياً على محور السينات فإنّ زاوية ميله هي 90°، وبالتالي فإنّ ميل هذا الخطّ = ظا (90)= اللانهاية، كما أنّ قيمة الميل للمستقيم الذي يصنع زاوية 45° أو 135° مع محور السينات هي 1 و -1 على التوالي.^[٤]

للمزيد من المعلومات حول ميل الخطّ المستقيم يُمكنك قراءة المقال الآتي: قانون ميل الخط المستقيم.

حساب الميل وزاوية الميل

• التعبير عن الميل كنسبة مئوية: يُمكن التعبير عن الميل كنسبة مئوية عن طريق إيجاد الفرق في الارتفاع بين نقطتين واقعتين على الخط أو السطح المُراد حساب الميل له، ثمّ قسمة الناتج على المسافة الأفقيّة بينهما، قبل ضرب الناتج في 100%، كما في القانون الآتي:
  • الميل كنسبة مئوية= (فرق الارتفاع/المسافة الأفقيّة)×100%.

فمثلاً إذا كان فرق الارتفاع بين نقطتين واقعتين على أحد المنحدرات = 50م، والمسافة الأفقية بينهما = 100م فإنّ نسبة ميل هذا المنحدر = (50/100)×100%=50%.

• التعبير عن الميل باستخدام زاوية الميل: يمكن التعبير عن الميل أيضاً كما ذُكر سابقاً باستخدام طريقة أخرى وهي زاوية الميل، فإذا تمّ تصوّر فرق الارتفاع والمسافة الافقيّة بين أي نقطتين واقعتين على أحد المنحدرات أو الخطوط كضلعي مُثلث قائم الزاوية، فإنّ زاوية الميل تكون هي الزاوية المُقابلة لفرق الارتفاع بينهما، وعليه فإنّ قيمة ظا (زاوية الميل) = فرق الارتفاع/المسافة الأفقية = الميل، ومنه:^[١]
  • زاوية الميل = ظا^-1 (فرق الارتفاع/المسافة الأفقية).

فمثلاً إذا كان فرق الارتفاع= 50م، والمسافة الأفقية بين إحدى النقطتين = 100م؛ فإنّ زاوية الميل= ظا^-1 (50/100)= 26.6º.^[١]

• حساب الميل باستخدام إحداثيات نقطتين واقعتين على الخط المستقيم: إذا كانت هناك النقطة أ: (س1، ص1) والنقطة ب: (س2، ص2) تقعان على أحد الخطوط المستقيمة، و س1 ≠ س2، فإنّ ميل الخطّ أب يُعطى بالعلاقة الآتي:
  • الميل= ظا(هـ)= (ص1-ص2)/(س1-س2)، حيث إنّ:^[٥]
    • هـ: الزاوية المحصورة بين الخط ومحور السينات الموجب وهي تنحصر بين 0 º و 180 º.

أمثلة على حساب الميل وزاوية الميل

• المثال الأول: إذا كان فرق الارتفاع بين نقطتين واقعتين على أحد المنحدرات هو 100م، والمسافة الأفقيّة بينهما 100م، فاحسب الميل كنسبة مئويّة لذلك المنحدر؟^[١]
  • الحل:
  • بتعويض فرق الارتفاع والمسافة الأفقيّة: 100م، 100م على التوالي في قانون الميل كنسبة مئوية = (فرق الارتفاع/المسافة الأفقيّة)×100%، ينتج أنّ نسبة ميل هذا المنحدر = (100/100)×100%= 100%.

• المثال الثاني: إذا كان فرق الارتفاع بين نقطتين واقعتين على أحد المنحدرات هو 100م، والمسافة الأفقيّة بينهما 100م، فاحسب قيمة زاوية الميل لذلك المنحدر؟^[١]
  • الحل:
  • بتعويض فرق الارتفاع والمسافة الأفقيّة: 100م، 100م على التوالي في قانون زاوية الميل= ظا^-1 (فرق الارتفاع/المسافة الأفقية)، ينتج أن: ظا^-1 (100/100)= 45 º = زاوية الميل.

• المثال الثالث: جد ميل الخط المستقيم الذي يصل بين نقطتين هما: (-4،-1) و (2،-5) ؟^[٦]
  • الحل:
  • بتعويض النقطتين (-4،-1) و (2،-5) في قانون الميل= (ص1-ص2)/(س1-س2)، ينتج أن ميل الخط المستقيم = (-5-(-1))/(2-(-4))= -4/6= -2/3، ومن الجدير بالذكر أنّ الإشارة السالبة للميل تعني أنّ الخط المستقيم يتجه للأسفل عند الاتجاه من اليسار إلى اليمين.

• المثال الرابع: جد زاوية الميل للخط المستقيم الذي يساوي ميله 1/3√ ؟^[٧]
  • الحل:
  • بتعويض الميل= 1/3√ في قانون زاوية الميل: زاوية الميل = ظا^-1 (الميل)، ينتج أنّ: زاوية الميل = ظا^-1 (1/3√)= 30 º.

• المثال الخامس: إذا كانت زاوية الميل لأحد الخطوط المستقيمة تساوي 45º، جد ميل هذا الخطّ ؟^[٤]
  • الحل:
  • بتعويض هـ= 45º في قانون الميل: الميل = ظا(زاوية الميل)، ينتج أن الميل = ظا(45 º)=1.

• المثال السادس: جد ميل الخط المستقيم الذي يصنع زاوية مع محور السينات الموجب مقدارها 30 º ؟^[٤]
  • الحل:
  • بتعويض قيمة زاوية الميل = 30 º في قانون الميل: الميل = ظا(زاوية الميل)، ينتج أنّ: الميل = ظا(30 º)= 1/3√.

• المثال السابع: جد زاوية الميل للخط المستقيم عندما يساوي فرق الارتفاع 1م، والمسافة الافقيّة 2م بين نقطتين واقعتين عليه؟^[٢]
  • الحل:
  • بتعويض فرق الارتفاع والمسافة الأفقيّة: 1م، 2م على التوالي في قانون زاوية الميل = ظا^-1 (فرق الارتفاع/المسافة الأفقية)، ينتج أنّ: ظا^-1 (1/2)= 26.6 º.

• المثال الثامن: جد الميل كنسبة مئويّة لخطّ مُستقيم إذا كان فرق الارتفاع هو 1م والمسافة الأفقيّة 2م؟^[٢]
  • الحل:
  • بتعويض فرق الارتفاع والمسافة الأفقيّة: 1م، 2م على التوالي في قانون الميل كنسبة مئوية= (فرق الارتفاع/المسافة الأفقيّة)×100%، ينتج أنّ: الميل = (1/2)×100% = 50%.

• المثال التاسع: إذا كان ميل أحد المنحدرات كنسبة مئويّة = 60%، جد زاوية الميل لهذا المنحدر؟^[٨]
  • الحل:
  • التعويض في قانون الميل كنسبة مئوية = (فرق الارتفاع/المسافة الأفقيّة)×100%، لينتج أنّ: فرق الارتفاع/المسافة الأفقيّة = 0.6.
  • بتعويض القيمة = 0.6 في قانون زاوية الميل =ظا^-1 (فرق الارتفاع/المسافة الأفقية)، ينتج أنّ: ظا^-1 (0.6)= 31 º

• المثال العاشر: تلة صغيرة يساوي ميلها كنسبة مئوية 8%، فإذا كان فرق الارتفاع بين أعلى وأقل نقطة فيها يساوي 15م، جد المسافة الأفقيّة التي تمتد عليها هذه التلّة؟^[٨]
  • الحل:
  • بتعويض ميل التلّة= 8%، وفرق الارتفاع = 15م في قانون الميل كنسبة مئوية = (فرق الارتفاع/المسافة الأفقيّة)×100%، لينتج أنّ: 8% = (15/المسافة الأفقيّة)×100%، ثمّ قسمة الطرفين على 100%، لينتج أنّ: 0.08 = (15/المسافة الأفقيّة)، ومنه ينتج أنّ: المسافة الأفقية التي تمتد عليها هذه التلّة = 187.5م.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت ث ج} “Slope”, www.e-education.psu.edu, Retrieved 10-7-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} “Slope – Degree, Gradient and Grade Converter”, www.engineeringtoolbox.com, Retrieved 10-7-2020. Edited.
3. ↑ “slope angle”, www.planetmath.org, Retrieved 10-7-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت} “slope-of-a-straight-line”, www.math-only-math.com, Retrieved 10-7-2020. Edited.
5. ↑ “slope-of-line”, www.byjus.com, Retrieved 10-7-2020. Edited.
6. ↑ “Gradient (or slope) of a Line, and Inclination”, www.intmath.com, Retrieved 10-7-2020. Edited.
7. ↑ “angle-of-inclination-and-slope-of-a-line”, www.onlinemath4all.com, Retrieved 10-7-2020. Edited.
8. ^ ^{أ ب} “slope”, www.nwcg.gov, Retrieved 10-7-2020. Edited.