ما هو قطر المستطيل

• ذات صلة
• ما هو قطر المربع
• قانون محيط المستطيل

يحتوي المستطيل على قُطرين، ويُعرف قطر المستطيل (بالإنجليزية: Rectangle Diagonal) بأنه خط مستقيم يصل بين رؤوس المستطيل المُتقابلة، وتتميز أقطار المستطيل بالخصائص الآتية:^[١]

• أقطار المستطيل مُتطابقة؛ أي أن لها نفس الطول.
• أقطار المستطيل تنصف بعضها البعض إلى قسمين مُتساويين، وذلك في النقطة التي يتقاطع فيها القطران.
• كل قطر يقسم المستطيل إلى مثلثين متطابقين، ونظراً لأن المثلثات مُتطابقة فإن لها نفس المساحة، كما أن لكل مثلث نصف مساحة المستطيل.

يمكن حساب قطر المستطيل باستخدام قوانين عدة كما يأتي:

بما أن القطرين يقسمان المستطيل إلى مثلثين متطابقين لهما زاوية قائمة، يمثّل كل قطر فيها الوتر في هذا المثلث، فإنّه يمكن حساب طول قطر المستطيل باستخدام نظرية فيثاغورس كما يأتي:^[١]

طول قطر المستطيل = الجذر التربيعي للقيمة (العرض²+الطول²)

وبالرموز:

ق=(أ²+ب²)√

حيث أن:

• ق: قطر المستطيل.
• أ: طول المستطيل.
• ب: عرض المستطيل.

يمكن حساب قطر المستطيل عند معرفة مساحته وأحد أبعاده باستخدام القانون التالي:^[٢]

طول قطر المستطيل = الجذر التربيعي للقيمة (مربع المساحة+الطول أو العرض ⁴)/الطول أو العرض

وبالرموز:

ق=(م²+أ⁴)√/أ، أو ق=(م²+ب⁴)√/ب

حيث أن:

• ق: قطر المستطيل.
• أ: طول المستطيل.
• ب: عرض المستطيل.
• م: مساحة المستطيل.

يمكن حساب قطر المستطيل عند معرفة محيطه وأحد أبعاده باستخدام القانون التالي:^[٢]

طول قطر المستطيل = الجذر التربيعي للقيمة (مربع المحيط-4×المحيط×الطول أو العرض+8×مربع الطول أو العرض)/2

وبالرموز:

ق=(ح²-4×ح×أ+8×أ²)√/2، أو ق=(ح²-4×ح×ب+8×ب²)√/2

حيث أن:

• ق: قطر المستطيل.
• أ: طول المستطيل.
• ب: عرض المستطيل.
• ح: محيط المستطيل.

يمكن حساب طول القطر عند معرفة قياس الزاوية المحصورة بينه وبين الضلع المجاور له، والضلع المقابل لها، وذلك باستخدام القوانين الآتية:^[٢]

طول قطر المستطيل= الضلع المقابل للزاوية المجاورة له/جا(الزاوية المجاورة للقطر)

وبالرموز:

ق=أ/جا(α)

أو

طول قطر المستطيل= الضلع المجاور للزاوية المجاورة له/جتا(الزاوية المجاورة للقطر)

وبالرموز:

ق=ب/جتا(α)

حيث أن:

• ق: قطر المستطيل.
• α: الزاوية المحصورة بين القطر، وبين الضلع المجاور له.
• أ: الضلع المقابل للزاوية المحصورة بين القطر، وبين الضلع المجاور له.
• ب: الضلع المجاور للزاوية المحصورة بين القطر، وبين الضلع المجاور له.

يمكن حساب طول القطر عند معرفة الزاوية الحادة بين القطرين ومساحة المستطيل، وذلك باستخدام القانون التالي:^[٢]

طول قطر المستطيل= الجذر التربيعي للقيمة (2×مساحة المستطيل×جا(الزاوية الحادة المحصورة بين القطرين))

وبالرموز:

ق=(2×م×جا(β))√

حيث أن:

• ق: قطر المستطيل.
• β: الزاوية الحادة المحصورة بين القطرين.
• م: مساحة المستطيل.

فيما يأتي بعض الأمثلة على حساب طول قطر المستطيل:

• المثال الأول: ما هو طول قطر المستطيل الذي طوله 3م، وعرضه 4م.^[٣]
  • الحل: بتطبيق القانون مباشرة: ق=(أ²+ب²)√، ق=(3²+4²)√=5م.

• المثال الثاني: ما هو طول قطر المستطيل إذا كانت أطوال أضلاعه 8سم، 15سم.^[٣]
  • الحل: بتطبيق القانون مباشرة: ق=(أ²+ب²)√، ق=(8²+15²)√=17سم.

• المثال الثالث: ما هو طول قطر المستطيل إذا كان طوله 11سم، وعرضه 9 سم.
  • الحل: بتطبيق القانون مباشرة: ق=(أ²+ب²)√، ق=(9²+11²)√=14.2سم.

• المثال الرابع: إذا كان طول قطري المستطيل: 3س+5، 50-6س، جد طول القطرين.^[٤]
  • الحل:
    • وفقاً لخصائص المستطيل فإن طول القطرين متساوٍ، وعليه: 3س+5=50-6س، وبتبسيط ما سبق ينتج أن: 9س=45، ومنه س=5.
    • تعويض قيمة س فيما سبق لينتج أن: طول القطرين=3س+5=3×5+5=20سم

• المثال الخامس: إذا كان محيط طاولة مستطيلة الشكل=28م، ومساحتها 48م²، جد طول قطريه.^[٤]
  • الحل:
    • باستخدام قانون محيط المستطيل=2×(الطول+العرض)، وقانون مساحة المستطيل=الطول×العرض، وتعويض القيم ينتج أن:
    • محيط المستطيل=2×(الطول×العرض)، 28=2×(الطول+العرض)؛ ومنه: (الطول+العرض)=14م، ومنه العرض=(14-الطول).
    • مساحة المستطيل=الطول×العرض=48، وبحل المعادلتين ينتج أن:
    • 48=الطول×(14-الطول)، 14×الطول-الطول²-48=0، وبحل المعادلة التربيعية ينتج أن الطول=8م، أو 6م.
    • إذا كان الطول=8، فإن العرض=(14-الطول)=(14-8)=6م، وإذا كان الطول=6م، فإن العرض=(14-الطول)=(14-6)=8م؛ أي أن أبعاد المستطيل: 6,8سم.
    • باستخدام قانون طول القطر ينتج أن: ق=(أ²+ب²)√، ق=(8²+6²)√=10سم.

• المثال السادس: جد طول قطر المستطيل إذا كان محيطه 46م، وطوله 15م.^[٤]
  • الحل: بتطبيق القانون مباشرة: ق=(ح²-4×ح×أ+8×أ²)√/2، ق=(46²-4×46×15+8×15²)√/2=(2116-2760+1800)√/2=17م.

• المثال السابع: إذا كان طول المستطيل 8سم، وطول قطريه 10سم، جد عرضه.^[٥]
  • الحل: بتطبيق القانون مباشرة: ق=(أ²+ب²)√، فإن 10=(8²+ب²)√، وبتربيع الطرفين وحل المعادلة ينتج أن: ب=6سم

• المثال الثامن: جد طول قطر المستطيل إذا كان قياس الزاوية المحصورة بين هذا القطر وبين الضلع المجاور له 30 درجة، وطول ضلع المستطيل المجاور للزاوية=5سم.
  • الحل: بتطبيق القانون مباشرة: ق=ب/جتا(α)، ق=5/جتا(30)، ومنه ق=5.77سم

• المثال التاسع: جد طول قطر المستطيل إذا كانت مساحته 48سم²، وقياس الزاويا المحصوررة بين القطرين: 74,106 درجة.
  • الحل: بتطبيق القانون مباشرة: ق=(2×م×جا(β))√، ق=(2×48×جا(74))√=9.6سم.

• المثال العاشر: إذا كان طول قطر أحد الملاعب يزيد عن ضلعه الأقصر بنحو 60م، وكان طول ضلعه الأطول يزيد بمقدار 30م عن ضلعه الأقصر، جد أبعاد هذا المستطيل، وطول قطره.^[٦]
  • الحل:
    • نفترض أن طول الضلع الأقصر=ب، وطول الضلع الأطول (أ)=60+ب، وطول القطر (ق)=30+ب.
    • بالتعويض في قانون ق=(أ²+ب²)√، ينتج أن: 60+ب=((30+ب)²+ب²)√، وبتربيع الطرفين وتبسيط المعادلة ينتج أن: ب=90م، ب=-30م، وباستبعاد القيمة السالبة ينتج أن: ب=90م، وهو طول الضلع الأقصر.
    • بالتعويض في القيمة: أ=30+ب=30+90=120م، وهو طول الضلع الأطول: أ=120م.
    • بالتعويض في القيمة: ق=60+ب=60+90=150م، وهو طول القطر: ق=150م.

1. ^ ^{أ ب} “Diagonals of a rectangle”, www.mathopenref.com, Retrieved 15-5-2019. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت ث} “Rectangle. Formulas and Properties of a Rectangle”, onlinemschool.com, Retrieved 4-3-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب} “How to find the length of the diagonal of a rectangle”, www.varsitytutors.com, Retrieved 15-5-2019. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت} “MATHS”, www.toppr.com, Retrieved 4-3-2020. Edited.
5. ↑ ” Olympiad-Math “, clay6.com, Retrieved 4-3-2020. Edited.
6. ↑ “MATHS”, www.toppr.com, Retrieved 3-4-2020. Edited.