يُعد طول القوس (بالإنجليزية: Arc Length) جزءًا من محيط الدائرة وهو المسافة التي تمر عبر الخط المنحني لجزء من محيط الدائرة،[١] ويُسمى الخط المستقيم الواصل بين طرفي قوس الدائرة بالوتر،[٢] ويُمكن إيجاد نصف قطر الدائرة من القوس بطريقتين وهما كما يأتي:
يُمكن حساب نصف قطر الدائرة بمعلومية ارتفاع القوس وطول الوتر من خلال المعادلة الآتية:[٢]
نصف القطر= (ارتفاع القوس/2) + (الوتر² / 8× ارتفاع القوس)
وبالرموز:
نق= (ل/2) + (و² / 8 ل)
حيث إنّ:
- نق: نصف قطر الدائرة.
- ل: ارتفاع قوس الدائرة، وهو المسافة الواصلة بين منتصف الوتر وقمة القوس.
- و: طول وتر الدائرة.
يُمكن حساب نصف قطر الدائرة بمعلومية طول القوس كما يأتي:
تُستخدم المعادلة الآتية لحساب طول القوس إذا كان الزاوية مُعطاة بالراديان:[١]
طول القوس= نق × θ
وبإعادة كتابة المعادلة يُمكن حساب نصف القطر على النحو الآتي:[١]
نصف القطر = طول القوس / θ
وبالرموز:
نق = ق / θ
حيث إنّ:
- ق: طول قوس الدائرة.
- نق: نصف قطر الدائرة، ويُعرّف بأنه المسافة بين مركز الدائرة وبين أي نقطة على محيطها.
- θ: الزاوية المركزية المقابلة للقوس، وتُقاس بالراديان.
تُستخدم المعادلة الآتية لحساب طول القوس إذا كان الزاوية مُعطاة بالدرجات:[١]
طول القوس= (2×π×نق×θ) / 360
وبإعادة كتابة المعادلة يُمكن حساب نصف القطر على النحو الآتي:[٣]
نصف القطر = (طول القوس×360) / (2 ×π×θ)
وبالرموز:
نق = (ق×360) / (2 ×π×θ)
نق = (ق×180) / (π×θ)
حيث إنّ:[١]
- ق: طول قوس الدائرة.
- نق: نصف قطر الدائرة، ويُعرّف بأنه المسافة بين مركز الدائرة وبين أي نقطة على محيطها.
- θ: الزاوية المركزية المقابلة للقوس، وتُقاس بالدرجات.
- π: الثابت باي، وقيمته تساوي 3.14.
ندرج فيما يأتي أمثلة على حساب نصف قطر الدائرة من القوس:
جد نصف قطر الدائرة التي فيها قوس له وتر طوله 4 سم، والمسافة الواصلة من منتصف الوتر إلى قمة القوس تساوي 1.5 سم.
الحل:
تُعوض المعطيات في القانون كالآتي:
- نصف القطر= (ارتفاع القوس/2) + (الوتر² / 8× ارتفاع القوس)
- نصف القطر= (2/1.5) + (4² / 8×1.5)
- نصف القطر = 0.75 + 1.33
- نصف القطر = 2.08 سم.
احسب نصف قطر الدائرة التي فيها طول القوس يساوي 6 سم، والزاوية المركزية المقابلة للقوس تساوي 40 درجة.
الحل:
تُعوض المعطيات في القانون كالآتي:
- نصف القطر = (طول القوس×360) / (2 ×π×θ)
- نصف القطر = (6×360) / (2 ×3.14×40)
- نصف القطر = 2160 / 251.2
- نصف القطر = 8.6 سم.
- ^ أ ب ت ث ج “Arc Length Formula”, BYJU’S, Retrieved 1/1/2022. Edited.
- ^ أ ب Michael O. Smathers (24/4/2017), “How to Find the Radius of an Arc”, SCIENCING, Retrieved 1/1/2022. Edited.
- ↑ Konstantinos Michailidis (29/11/2015), “How do you find the radius of a circle given the length of an arc?”, Socratic Q&A, Retrieved 1/1/2022. Edited.
