قانون حجم الكرة في الرياضيات

• ذات صلة
• قانون مساحة وحجم الكرة
• ما هو قانون محيط الكرة

يُمكن تعريف حجم الكرة (بالإنجليزية: Sphere Volume) أو الجسم الصلب ثلاثي الأبعاد بأنها كمية الفراغ الموجودة داخل الجسم، ويُقاس بالوحدات المكعّبة، ويُمكن إيجاد حجم الكرة عن طريق العلاقة الآتية:^[١]

حجم الكرة= 4/3×π×مكعب نصف القطر، وبالرموز:

ح=4/3×π×نق³

حيث إنّ:

• ح: حجم الكرة.
• نق: هو نصف قطر الكرة.
• π: الثابت باي وتعادل قيمته تقريباً 3.14.

من الجدير بالذكر هنا أيضاً هو أنّ حاصل الضرب (4/3×π) يساوي تقريباً القيمة: 4.19، لذلك يمكن كتابة القانون السابق على شكل حجم الكرة= 4.19×نق³.^[٢]

كما يمكن عند معرفة مساحة الكرة السطحية استخدام قانون مساحة سطح الكرة لمعرفة طول نصف قطرها، ثم تعويض قيمة نصف القطر في العلاقة السابقة، حيث قانون مساحة سطح الكرة هو:^[٣]

مساحة سطح الكرة= 4×π×مربع نصف القطر.

• المثال الأول: جسم كروي الشكل، طول نصف قطره يساوي 5سم، احسب حجم الجسم.^[٤]

الحل:

• باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(5)³= 524سم³.

• المثال الثاني: ما هو حجم الكرة التي يساوي نصف قطرها 8م.^[٥]

الحل:

• باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(8)³= 2145م³.

• المثال الثالث: كرة نصف قطرها 10سم، فما هو حجمها.^[٦]

الحل:

• باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(10)³= 4188سم³.

• المثال الرابع: كرة قطرها 10م، فما هو حجمها.^[٧]

الحل:

• حساب نصف قطر الكرة، بقسمة القطر على 2، لينتج أن نصف قطر هذه الكرة= 10/2=5م، ثم وباستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(5)³= 523.8م³.

• المثال الخامس: إذا كان قطر كرة قدم 24سم، فما هو حجم الهواء الموجود بداخلها.^[٨]

الحل:

• حساب نصف قطر الكرة، بقسمة القطر على 2، لينتج أن نصف قطر هذه الكرة= 24/2=12سم، ثم وباستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ينتج أن حجم الكرة= 4/3×3.14×(12)³= 7,234.6سم³ ، وهو ذاته حجم الهواء الموجود بداخلها.

• المثال السادس: كم يعادل حجم الكرة التي يبلغ نصف قطرها 3سم، بالنسبة لحجم الكرة التي يبلغ قياس نصف قطرها 3√.^[٩]

الحل:

• حساب حجم الكرة الأولى باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة الأولى= 4/3×3.14×(3)³= 113.04سم³.
• حساب حجم الكرة الثانية باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة الثانية= 4/3×3.14×(3√)³= 21.75سم³.
• حساب النسبة بين حجم الكرتين لينتج أن: حجم الكرة الأولى/حجم الكرة الثانية= 113.04/21.75= 5.2، ومنه ينتج أن حجم الكرة الأولى يعادل تقريباً خمسة أضعاف حجم الكرة الثانية.

• المثال السابع: إذا كانت مساحة سطح الكرة 256πم²، جد حجمها.^[١٠]

الحل:

• حساب نصف القطر باستخدام قانون مساحة سطح الكرة وهو: مساحة سطح الكرة=4×π×مربع نصف القطر، 256π=مربع نصف القطر×π×4، ومنه نصف قطر الكرة= 8م.
• حساب حجم الكرة باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(8)³= 2,144م³.

• المثال الثامن: إذا تمت مضاعفة قطر إحدى الكرات، فكم سيزيد حجمها.^[١١]

الحل:

• نفترض أن قطر الكرة قبل الزيادة هو (ق)، وأن نصف قطرها قبل الزيادة هو: نق= ق/2، وأن حجمها قبل الزيادة هو: 4/3×3.14×(ق/2)³=0.52×ق³.
• نفترض أن قطر الكرة بعد الزيادة هو (2ق)، وأن نصف قطرها بعد الزيادة هو: نق=2/(2ق)=ق، وأن حجمها بعد الزيادة هو: 4/3×3.14×(ق)³= 4.19×ق³.
• قسمة حجم الكرة بعد الزيادة على حجمها قبل الزيادة لينتج أن: 4.19×ق³÷0.52×ق³=8، وهذا يعني أن حجم الكرة بعد الزيادة يعادل ثمانية أضعاف حجم الكرة قبل الزيادة.

• المثال التاسع: إذا كان معدل تسرب الهواء من بالون دائري الشكل هو 0.7م³/دقيقة، جد الوقت اللازم لتفريغ البالون بالكامل إذا كان طول نصف قطره 2م.^[٨]

الحل:

• حساب حجم البالون والهواء الموجود بداخلها باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الهواء الموجود داخل البالون= 4/3×3.14×(2)³= 33.49م³.
• حسب الوقت اللازم لتفريغ البالون عن طريق قسمة حجم البالون كاملاً على معدل تفريغ الهواء منه، لينتج أن الوقت اللازم لتفريغ البالون هو=33.49/0.7=48 دقيقة تقريباً.

• المثال العاشر: إذا كانت مساحة سطح الكرة 36πم²، جد حجمها.^[١٠]

الحل:

• حساب نصف القطر باستخدام قانون مساحة سطح الكرة وهو: مساحة سطح الكرة=4×π×مربع نصف القطر، 36π=مربع نصف القطر×π×4، ومنه نصف قطر الكرة= 3م.
• حساب حجم الكرة باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه حجم الكرة= 4/3×3.14×(3)³= 113.04م³.

• المثال الحادي عشر: إذا كان حجم الكرة 36πم³، جد قياس قطرها.^[١٠]

الحل:

• حساب نصف القطر باستخدام قانون حجم الكرة وهو: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه
• 4/3×π×نق³ =36π، وعليه نق=3م، وطول القطر=2×نصف القطر=2×3=6م.

• المثال الثاني عشر: إذا كان نصف قطر وعاء نصف كروي الشكل 3.5سم، جد حجم هذا الوعاء.^[١٢]

الحل:

• استخدام قانون حجم الكرة لحساب ضعف حجم الوعاء؛ لأن الوعاء يمثّل نصف كرة: حجم الكرة = 4/3×π×نق³، ومنه ضعف حجم الوعاء=4/3×3.14×(3.5)³=179.5سم³، أما حجم الوعاء فيساوي=179.5/2= 90سم³.

• المثال الثالث عشر: أوجد حجم الكرة بالأمتار المكعبة إذا علمت أنّ قطرها 12 سم .

الحل:

• نصف قطر الكرة = القطر/2 = 12/2 = 6 سم.
• حجم الكرة = 4/3×π×نق³
• حجم الكرة = 4/3×3.14×6³
• حجم الكرة = 4/3×3.14×6³
• حجم الكرة = 905.04 سم³
• تحويل الوحدة من سم³ إلى م³:
• 1 سم³ = 1×10 ^6- م³
• وبالتالي:
• 905.04 سم³ = 905.04×10 ^6- م³
• حجم الكرة = 905.04 ×10 ^6- م³ ويمكن كتابتها 0.0009054 م³.

• المثال الرابع عشر: احسب قطر الكرة التي يبلغ حجمها 4187 سم³.

الحل:

• حجم الكرة = 4/3×π×نق³
• 4187 = 4/3×π×نق³
• نق³ = 1000
• أخذ الجذر التكعيبي للطرفين وبالتالي: نق = 10 سم
• قطر الكرة = نق×2 = 10×2 = 20 سم.
• قطر الكرة = 20 سم.

• المثال الخامس عشر: إذا علمتَ أنّ مساحة كرة السلة تساوي 1810 سم²، احسب حجمها.

الحل:

• لإيجاد الحجم يجب إيجاد نصف القطر من قانون مساحة الكرة:
• مساحة سطح الكرة= 4×π×نق²
• 1810 = 4×3.14×نق²
• نق² √ = 144 √
• نق = 12 سم.
• تعويض نصف القطر في قانون الحجم:
• حجم الكرة = 4/3×π×نق³
• حجم الكرة = 4/3×3.14×12³
• حجم الكرة = 7240.32 سم³

• المثال السادس عشر: إذا علمتَ أنّ هناك كرة حجمها 1450 سم³، احسب مساحة سطح هذه الكرة.

الحل:

• لإيجاد المساحة يجب إيجاد نصف القطر من قانون حجم الكرة:
• حجم الكرة = 4/3×π×نق³
• 1450 = 4/3×3.14×نق³
• نق³ = 346
• نق = 7 سم
• تعويض نصف القطر في قانون المساحة لإيجاد مساحة الكرة:
• مساحة سطح الكرة= 4×π×نق²
• 4×3.14×7²
• مساحة سطح الكرة= 615.44 سم²

المثال السادبع عشر: احسب ثلثي حجم كرة يبلغ نصف قطرها 4 سم.

الحل:

• حجم الكرة = 4/3×π×نق³
• حجم الكرة = 4/3×3.14×4³
• حجم الكرة = 268 سم³
• ثلثي حجم الكرة = 2/3 × (حجم الكرة)
• 2/3 × 268
• ثلثي حجم الكرة = 178.66 سم³

يُعرف حجم الكرة بأنّه الفراغ الذي يشغله جسم ثلاثي الأبعاد، ويُقاس بوحدة مكعبة، مثل: م³ أو سم³ ، ويُمكن حساب حجم الكرة بواسطة المعادلة: (4/3×π×نق³) حيث أنّ نق هو نصف قطر الكرة، ويُشار إلى أنّه إذا عُرفت المساحة السطحية للكرة فإنّه يُمكن إيجاد نصف قطر الكرة ، ثمّ التعويض في قانون الحجم لإيجاد حجم الكرة.

1. ↑ “Sphere”, www.wolfram.com, Retrieved 23-2-2018. Edited.
2. ↑ “Volume of a sphere”, www.mathopenref.com, Retrieved 24-3-2018. Edited.
3. ↑ “Sphere Volume Calculator”, www.omnicalculator.com, Retrieved 8-5-2019. Edited.
4. ↑ “Sphere”, www.mathsisfun.com, Retrieved 15-1-2018. Edited.
5. ↑ “Volume of a Sphere”, www.varsitytutors.com, Retrieved 9-5-2019. Edited.
6. ↑ “Volume of a sphere”, www.mathopenref.com, Retrieved 9-5-2019. Edited.
7. ↑ “Volume Of Sphere”, byjus.com, Retrieved 19-3-2020. Edited.
8. ^ ^{أ ب} “VOLUME OF A SPHERE WORD PROBLEMS WORKSHEET “, www.onlinemath4all.com, Retrieved 19-3-2020. Edited.
9. ↑ “Example Questions”, www.varsitytutors.com, Retrieved 19-3-2020. Edited.
10. ^ ^{أ ب ت} “How to find the volume of a sphere”, www.varsitytutors.com, Retrieved 19-3-2020. Edited.
11. ↑ “How to find the volume of a sphere”, www.varsitytutors.com, Retrieved 19-3-2020. Edited.
12. ↑ “surface area and volume”, www.teachoo.com, Retrieved 19-3-2020. Edited.