جديد ما هو قطر المستطيل

تعريف قطر المستطيل وخصائصه

يحتوي المستطيل على قُطرين، ويُعرف قطر المستطيل (بالإنجليزية: Rectangle Diagonal) بأنه خط مستقيم يصل بين رؤوس المستطيل المُتقابلة، وتتميز أقطار المستطيل بالخصائص الآتية:^[١]

• أقطار المستطيل مُتطابقة؛ أي أن لها نفس الطول.
• أقطار المستطيل تنصف بعضها البعض إلى قسمين مُتساويين، وذلك في النقطة التي يتقاطع فيها القطران.
• كل قطر يقسم المستطيل إلى مثلثين متطابقين، ونظراً لأن المثلثات مُتطابقة فإن لها نفس المساحة، كما أن لكل مثلث نصف مساحة المستطيل.

حساب قطر المستطيل

يمكن حساب قطر المستطيل باستخدام قوانين عدة كما يأتي:^[٢]

• عند معرفة الطول والعرض: بما أن القطرين يقسمان المستطيل إلى مثلثين متطابقين لهما زاوية قائمة، يمثّل كل قطر فيها الوتر في هذا المثلث، فإنّه يمكن حساب طول قطر المستطيل باستخدام نظرية فيثاغورس كما يأتي:^[١]
  • طول قطر المستطيل = الجذر التربيعي للقيمة (العرض²+الطول²)، وبالرموز:
  • ق=(أ²+ب²)√، حيث:
    • ق: قطر المستطيل.
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.
• عند معرفة مساحة المستطيل وأحد أبعاده:
  • طول قطر المستطيل = الجذر التربيعي للقيمة (مربع المساحة+الطول أو العرض ⁴)/الطول أو العرض، وبالرموز:
  • ق=(م²+أ⁴)√/أ، أو ق=(م²+ب⁴)√/ب؛ حيث:
    • ق: قطر المستطيل.
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.
    • م: مساحة المستطيل.
• عند معرفة محيط المستطيل وأحد أبعاده:
  • طول قطر المستطيل = الجذر التربيعي للقيمة (مربع المحيط-4×المحيط×الطول أو العرض+8×مربع الطول أو العرض)/2، وبالرموز:
  • ق=(ح²-4×ح×أ+8×أ²)√/2، أو ق=(ح²-4×ح×ب+8×ب²)√/2؛ حيث:
    • ق: قطر المستطيل.
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.
    • ح: محيط المستطيل.
• عند معرفة الزاوية المجاورة للقطر، والضلع المقابل لها: يمكن حساب طول القطر عند معرفة قياس الزاوية المحصورة بينه وبين الضلع المجاور له، والضلع المقابل لها، وذلك باستخدام القوانين الآتية:
  • طول قطر المستطيل= الضلع المقابل للزاوية المجاورة له/جا(الزاوية المجاورة للقطر)، وبالرموز:
  • ق=أ/جا(α).
  • أو طول قطر المستطيل= الضلع المجاور للزاوية المجاورة له/جتا(الزاوية المجاورة للقطر)، وبالرموز:
  • ق=ب/جتا(α)، حيث:
    • ق: قطر المستطيل.
    • α: الزاوية المحصورة بين القطر، وبين الضلع المجاور له.
    • أ: الضلع المقابل للزاوية المحصورة بين القطر، وبين الضلع المجاور له.
    • ب: الضلع المجاور للزاوية المحصورة بين القطر، وبين الضلع المجاور له.
• عند معرفة الزاوية الحادة بين القطرين، ومساحة المستطيل:
  • طول قطر المستطيل= الجذر التربيعي للقيمة (2×مساحة المستطيل×جا(الزاوية الحادة المحصورة بين القطرين))، وبالرموز:
  • ق=(2×م×جا(β))√، حيث:
    • ق: قطر المستطيل.
    • β: الزاوية الحادة المحصورة بين القطرين.
    • م: مساحة المستطيل.

لمزيد من المعلومات حول محيط ومساحة المستطيل يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون مساحة ومحيط المستطيل.
لمزيد من المعلومات حول محيط المستطيل يمكنك قراءة المقال الآتي: قانون محيط المستطيل.
لمزيد من المعلومات حول مساحة المستطيل يمكنك قراءة المقال الآتي: كيف نحسب مساحة المستطيل.

أمثلة على حساب طول قطر المستطيل

• المثال الأول: ما هو طول قطر المستطيل الذي طوله 3م، وعرضه 4م.^[٣]
  • الحل: بتطبيق القانون مباشرة: ق=(أ²+ب²)√، ق=(3²+4²)√=5م.

• المثال الثاني: ما هو طول قطر المستطيل إذا كانت أطوال أضلاعه 8سم، 15سم.^[٣]
  • الحل: بتطبيق القانون مباشرة: ق=(أ²+ب²)√، ق=(8²+15²)√=17سم.

• المثال الثالث: ما هو طول قطر المستطيل إذا كان طوله 11سم، وعرضه 9 سم.
  • الحل: بتطبيق القانون مباشرة: ق=(أ²+ب²)√، ق=(9²+11²)√=14.2سم.

• المثال الرابع: إذا كان طول قطري المستطيل: 3س+5، 50-6س، جد طول القطرين.^[٤]
  • الحل:
    • وفقاً لخصائص المستطيل فإن طول القطرين متساوٍ، وعليه: 3س+5=50-6س، وبتبسيط ما سبق ينتج أن: 9س=45، ومنه س=5.
    • تعويض قيمة س فيما سبق لينتج أن: طول القطرين=3س+5=3×5+5=20سم

• المثال الخامس: إذا كان محيط طاولة مستطيلة الشكل=28م، ومساحتها 48م²، جد طول قطريه.^[٤]
  • الحل:
    • باستخدام قانون محيط المستطيل=2×(الطول+العرض)، وقانون مساحة المستطيل=الطول×العرض، وتعويض القيم ينتج أن:
    • محيط المستطيل=2×(الطول×العرض)، 28=2×(الطول+العرض)؛ ومنه: (الطول+العرض)=14م، ومنه العرض=(14-الطول).
    • مساحة المستطيل=الطول×العرض=48، وبحل المعادلتين ينتج أن:
    • 48=الطول×(14-الطول)، 14×الطول-الطول²-48=0، وبحل المعادلة التربيعية ينتج أن الطول=8م، أو 6م.
    • إذا كان الطول=8، فإن العرض=(14-الطول)=(14-8)=6م، وإذا كان الطول=6م، فإن العرض=(14-الطول)=(14-6)=8م؛ أي أن أبعاد المستطيل: 6,8سم.
    • باستخدام قانون طول القطر ينتج أن: ق=(أ²+ب²)√، ق=(8²+6²)√=10سم.

• المثال السادس: جد طول قطر المستطيل إذا كان محيطه 46م، وطوله 15م.^[٤]
  • الحل: بتطبيق القانون مباشرة: ق=(ح²-4×ح×أ+8×أ²)√/2، ق=(46²-4×46×15+8×15²)√/2=(2116-2760+1800)√/2=17م.

• المثال السابع: إذا كان طول المستطيل 8سم، وطول قطريه 10سم، جد عرضه.^[٥]
  • الحل: بتطبيق القانون مباشرة: ق=(أ²+ب²)√، فإن 10=(8²+ب²)√، وبتربيع الطرفين وحل المعادلة ينتج أن: ب=6سم

• المثال الثامن: جد طول قطر المستطيل إذا كان قياس الزاوية المحصورة بين هذا القطر وبين الضلع المجاور له 30 درجة، وطول ضلع المستطيل المجاور للزاوية=5سم.
  • الحل: بتطبيق القانون مباشرة: ق=ب/جتا(α)، ق=5/جتا(30)، ومنه ق=5.77سم

• المثال التاسع: جد طول قطر المستطيل إذا كانت مساحته 48سم²، وقياس الزاويا المحصوررة بين القطرين: 74,106 درجة.
  • الحل: بتطبيق القانون مباشرة: ق=(2×م×جا(β))√، ق=(2×48×جا(74))√=9.6سم.

• المثال العاشر: إذا كان طول قطر أحد الملاعب يزيد عن ضلعه الأقصر بنحو 60م، وكان طول ضلعه الأطول يزيد بمقدار 30م عن ضلعه الأقصر، جد أبعاد هذا المستطيل، وطول قطره.^[٦]
  • الحل:
    • نفترض أن طول الضلع الأقصر=ب، وطول الضلع الأطول (أ)=60+ب، وطول القطر (ق)=30+ب.
    • بالتعويض في قانون ق=(أ²+ب²)√، ينتج أن: 60+ب=((30+ب)²+ب²)√، وبتربيع الطرفين وتبسيط المعادلة ينتج أن: ب=90م، ب=-30م، وباستبعاد القيمة السالبة ينتج أن: ب=90م، وهو طول الضلع الأقصر.
    • بالتعويض في القيمة: أ=30+ب=30+90=120م، وهو طول الضلع الأطول: أ=120م.
    • بالتعويض في القيمة: ق=60+ب=60+90=150م، وهو طول القطر: ق=150م.

لمزيد من المعلومات حول قوانين المستطيل يمكنك قراءة المقال الآتي: ما هو قانون المستطيل.

المراجع

1. ^ ^{أ ب} “Diagonals of a rectangle”, www.mathopenref.com, Retrieved 15-5-2019. Edited.
2. ↑ “Rectangle. Formulas and Properties of a Rectangle”, onlinemschool.com, Retrieved 4-3-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب} “How to find the length of the diagonal of a rectangle”, www.varsitytutors.com, Retrieved 15-5-2019. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت} “MATHS”, www.toppr.com, Retrieved 4-3-2020. Edited.
5. ↑ ” Olympiad-Math “, clay6.com, Retrieved 4-3-2020. Edited.
6. ↑ “MATHS”, www.toppr.com, Retrieved 3-4-2020. Edited.