جديد ما هو قانون المستطيل

قوانين المستطيل

قوانين حساب محيط المستطيل

يُمكن تعريف محيط المستطيل (بالإنجليزية: Rectangle Perimeter) على أنه المسافة الإجمالية حول سطح المستطيل، ويُقاس المحيط باستخدام إحدى وحدات قياس الطول، ويتم حسابه بعدّة طرق هي كما يأتي:^[١]

• حساب المحيط باستخدام الطول والعرض، وهو القانون الأكثر شيوعاً، ويساوي ضعفي مجموع الطول والعرض؛ حيث:
  • محيط المستطيل=2×(الطول+العرض)، وبالرموز: ح=2(أ+ب)؛ حيث:
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.

• حساب المحيط باستخدام القطر والطول أو العرض، حيث:
  • محيط المستطيل=2×الطول+2×(القطر²- الطول²)√، وبالرموز: ح=2أ+2(ق²-أ²)√، أو محيط المستطيل=2×العرض+2×(القطر²- العرض²)√، وبالرموز: ح=2ب+2(ق²-ب²)√؛ حيث:^[٢]
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.
    • ح: محيط المستطيل.
    • ق: قطر المستطيل.

• حساب المحيط باستخدام المساحة والطول أو العرض، حيث:
  • محيط المستطيل=2×الطول+2×(المساحة/الطول)، وبالرموز: ح=2أ+2(م/أ)، أو محيط المستطيل=2×العرض+2×(المساحة/العرض)، وبالرموز: ح=2ب+2(م/ب)، حيث:^[٢]
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.
    • م: مساحة المستطيل.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول محيط المستطيل يُمكنك قراءة المقالات الآتية: قانون محيط المستطيل.

قوانين حساب مساحة المستطيل

يُمكن تعريف مساحة المستطيل (بالإنجليزية: Rectangle Area) على أنها مقدار الحيّز أو الفراغ المحصور داخل المستطيل، وتقاس بوحدة الطول المربعة، ويتم حسابها بعدّة طرق هي كما يأتي:^[١]

• باستخدام الطول والعرض، وهو القانون الأكثر شيوعاً ويساوي طول المستطيل مضروباً في عرضه؛ حيث:
  • مساحة المستطيل=الطول×العرض، وبالرموز: م=أ×ب؛ حيث:
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.

• حساب المساحة باستخدام المحيط والطول أو العرض، حيث:
  • مساحة المستطيل=(محيط المستطيل×الطول-2×الطول²)/2، وبالرموز: م=(ح أ -2أ²)/2، أو مساحة المستطيل=(محيط المستطيل×العرض-2×العرض²)/2، وبالرموز: م=(ح ب -2ب²)/2؛ حيث:^[٣]
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.
    • ح: محيط المستطيل.
    • م: مساحة المستطيل.

• حساب المساحة باستخدام القطر والطول أو العرض، حيث:
  • مساحة المستطيل=الطول×(القطر²-الطول²)√، وبالرموز: م=أ(ق²-أ²)√، أو مساحة المستطيل=العرض×(القطر²-العرض²)√، وبالرموز: م=ب(ق²- ب²)√؛ حيث:^[٣]
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.
    • ق: قطر المستطيل.
    • م: مساحة المستطيل.

• حساب المساحة باستخدام القطر وجيب الزاوية الحادّة المحصورة بين القطرين، عن طريق ضرب مربع القطر في جيب الزاوية الحادّة، ثمّ قسمة المقدار على 2، حيث:
  • مساحة المستطيل=القطر²× جيب الزاوية الحادّة/2، وبالرموز: م=ق²×(جا(β)/ 2)؛ حيث:^[٣]
    • β: الزاوية الحادة المحصورة بين قطري المستطيل.
    • ق: قطر المستطيل.
    • م: مساحة المستطيل.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول مساحة المستطيل يُمكنك قراءة المقالات الآتية: كيف نحسب مساحة المستطيل، قانون مساحة ومحيط المستطيل.

قوانين حساب أقطار المستطيل

يُمكن حساب أطوال أقطار (بالإنجليزية: Diagonal) المستطيل بعدّة طرق هي كما يأتي:^[١]

• باستخدام نظريّة فيثاغورس: وذلك بأحذ الجذر التربيعي لمجموع مربعي الطول والعرض، لينتج أن:
  • قطر المستطيل=(الطول²+العرض²)√، وبالرموز: ق=(أ²+ب²)√؛ حيث:
    • ق: قطر المستطيل.
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.

• حساب القطر باستخدام المساحة والطول أو العرض حيث:
  • قطر المستطيل=(المساحة²/الطول²+الطول²)√، وبالرموز: ق=(م²/أ² +أ²)√، أو قطر المستطيل=(المساحة²/العرض²+العرض²)√، وبالرموز: ق=(م²/ب²+ب²)√؛ حيث:^[٤]
    • ق: قطر المستطيل.
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.
    • م: مساحة المستطيل.

• حساب القطر باستخدام المحيط والطول أو العرض: حيث:
  • قطر المستطيل=(2×الطول²-المحيط×الطول+(المحيط²)/4)√، وبالرموز: ق=(2×أ²-ح×أ+(ح²)/4)√، أو قطر المستطيل=(2×العرض²-المحيط×العرض+(المحيط²)/4)√، وبالرموز: ق=(2×ب²-ح×ب+(ح²)/4)√؛ حيث:^[٤]
    • ق: قطر المستطيل.
    • أ: طول المستطيل.
    • ب: عرض المستطيل.
    • ح: محيط المستطيل.

• حساب القطر باستخدام جيب الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل والضلع المقابل للزاوية، حيث:
  • قطر المستطيل=الضلع المقابل/جيب الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل، وبالرموز: ق=أ/جاα؛ حيث:^[٣]
    • ق: قطر المستطيل.
    • أ: طول ضلع المستطيل المقابل للزاوية (α).
    • α: الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل.

• باستخدام جيب التمام للزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل والضلع المجاور للزاوية، حيث:^[٣]
  • قطر المستطيل=الضلع المجاور/جيب الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل، وبالرموز: ق=ب/جتاα؛ حيث:
    • ق: قطر المستطيل.
    • ب: طول ضلع المستطيل المجاور للزاوية (α).
    • α: الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل .

• باستخدام جيب الزاوية الحادة بين القطرين ومساحة المستطيل: حيث:^[٣]
  • قطر المستطيل= (2×المساحة×جيب الزاوية الحادة)√، وبالرموز: ق=(2×م×جاβ)√؛ حيث:
    • ق: قطر المستطيل.
    • م: مساحة المستطيل.
    • β: الزاوية الحادة المحصورة بين قطري المستطيل.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول قطر المستطيل يُمكنك قراءة المقالات الآتية: ما هو قطر المستطيل.

قوانين حساب أبعاد المستطيل

يُمكن حساب أطوال أضلاع المستطيل بعدّة طرق هي كما يأتي:^[٣]

• حساب طول الضلع باستخدام القطر وطول الضلع الآخر:
  • طول الضلع=(القطر²- طول الضلع الآخر²)√، وبالرموز: أ=(ق²- ب²)√.

• حساب طول الضلع باستخدام المساحة وطول الضلع الآخر:
  • طول الضلع=المساحة/طول الضلع الآخر، وبالرموز: أ=م/ب.

• حساب طول الضلع باستخدام المحيط وطول الضلع الآخر:
  • طول الضلع=(المحيط- 2×طول الضلع الآخر)/2، وبالرموز: أ= (ح- 2ب)/2.

• حساب طول الضلع باستخدام القطر والزاوية المحصورة بين القطر والضلع المطلوب قياسه:
  • طول المستطيل= القطر×جيب تمام الزاوية α، أو عرض المستطيل= القطر×جيب الزاوية α، وبالرموز: أ=ق×جتاα، ب=ق×جاα؛ حيث:
    • أ: طول المستطيل، وهو الضلع الأطول فيه والضلع المجاور للزاوية α.
    • α: الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل .
    • ب: عرض المستطيل، وهو الضلع المقابل للزاوية α، والضلع الأقصر في المستطيل.

لمزيد من المعلومات والأمثلة حول كيفية إيجاد أبعاد المستطيل يُمكنك قراءة المقالات الآتية: كيفية إيجاد طول وعرض المستطيل.

قوانين أخرى متعلقة بالمستطيل

من القوانين الأخرى المتعلقة بالمستطيل ما يأتي:

• يُمكن إيجاد الزاوية المحصورة بين قطر المستطيل والقاعدة بعدّة طرق هي كما يأتي:^[٣]
  • باستخدام القطر وأحد الأضلاع: جيب الزاوية المحصورة بين القطر والقاعدة=الضلع المقابل/ القطر، وبالرموز: جاα=ب/ق، أو جيب تمام الزاوية المحصورة بين القطر والقاعدة=الضلع المجاور/القطر، وبالرموز: جتاα=أ/ق؛ حيث:
    • أ: طول المستطيل، وهو الضلع الأطول فيه والضلع المجاور للزاوية α.
    • α: الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل (قاعدته).
    • ب: عرض المستطيل، وهو الضلع المقابل للزاوية α، والضلع الأقصر في المستطيل.
  • باستخدام الزاوية الحادة بين الأقطار: الزاوية المحصورة بين القطر والقاعدة= الزاوية الحادة بين القطرين/2، وبالرموز: α=β/2؛ حيث:
    • α: الزاوية المحصورة بين القطر وطول المستطيل (قاعدته).
    • β: الزاوية الحادة المحصورة بين القطرين.

• يُمكن إيجاد الزاوية الحادة بين قطري المستطيل (β) بعدّة طرق هي كما يأتي:^[٣]
  • باستخدام الزاوية المحصورة بين القطر والقاعدة: وهي بإعادة ترتيب القانون السابق: الزاوية الحادة بين قطري المستطيل=2×الزاوية المحصورة بين القطر والقاعدة، وبالرموز: (β=2×α).
  • باستخدام المساحة والقطر: جيب الزاوية الحادة بين قطري المستطيل=(2×المساحة)/ القطر²، وبالرموز: (جاβ)= 2م/ق²؛ حيث:
    • م: مساحة المستطيل.
    • ق: قطر المستطيل.
    • β: الزاوية الحادة المحصورة بين القطرين.

طريقة رسم المستطيل

يُمكن رسم مستطيل بطريقة سهلة عن طريق استخدام المنقلة والمسطرة وذلك باتباع الخطوات الآتية:^[٥]

• رسم قطعة مستقيمة أفقية باستخدام المسطرة بالطول المطلوب على الورق لتشكّل قاعدة المستطيل.
• وضع المنقلة على نقطة بداية القطعة المستقيمة، بحيث تكون علامة وسط المنقلة فوق نقطة البداية، ويكون الخط المستقيم الخاصّ بالمنقلة منطبقاً فوق القطعة المستقيمة المرسومة على الورقة تماماً.
• وضع إشارة بالقلم في المكان الذي يكوّن الزاوية القائمة ͦ 90 أعلى المنقلة.
• رسم خط مستقيم بالطول المطلوب يصل بين بداية القطعة المستقيمة ومكان الإشارة الذي تم تعيينه لتشكيل أول زاوية قائمة للمستطيل.
• تكرار الخطوات 2،3،4 عند نقطة نهاية القطعة المستقيمة لتشكيل ثاني زاوية قائمة للمستطيل، لرسم ثلاثة أضلاع للمستطيل.
• الوصل بين نهاية كلٍّ من الخطين المستقيمين الناتجين من الخطوتين السابقتين للحصول على مستطيل قائم الزوايا ذي أربعة أضلاع.

أمثلة متنوعة حول المستطيل

• المثال الأول: مستطيل أطوال أضلاعه 8سم، و12سم، ما هو محيط المستطيل، ومساحته، وطول قطره؟^[١]
  • الحل:
  • تعويض قيمة الطول والعرض في قانون محيط المستطيل: ح=2(أ+ب)، لينتج أن: ح=2(12+8)، ومنه محيط المستطيل:ح=40سم.
  • تعويض قيمة الطول والعرض في قانون مساحة المستطيل: م=أ×ب، لينتج أن: م=12×8، ومنه مساحة المستطيل: م=96سم².
  • تعويض قيمة الطول والعرض في قانون طول القطر: ق=(أ²+ب²)√، لينتج أن: ق=(12²+8²)√، ومنه قطر المستطيل: ق= 14.4سم.

• المثال الثاني: مسطيل طوله 24م، وعرضه 12م، ما هي مساحته ومحيطه؟^[٦]
  • الحل:
  • تعويض قيمة الطول والعرض في قانون محيط المستطيل: ح=2(أ+ب)، لينتج أن: ح=2(24+12)، ومنه محيط المستطيل:ح=72م.
  • تعويض قيمة الطول والعرض في قانون مساحة المستطيل: م=أ×ب، لينتج أن: م=24×12، ومنه مساحة المستطيل: م=288م².

• المثال الثالث: سجادة مستطيلة الشكل طولها 9م، وعرضها 6م، ما هي مساحتها؟^[٦]
  • الحل:
  • تعويض قيمة الطول والعرض في قانون مساحة المستطيل: م=أ×ب، لينتج أن: م=9×6، ومنه مساحة السجادة: م=54 م².

• المثال الرابع: ما هو محيط مستطيل أطوال أضلاعه هي 10سم، و5سم؟^[١]
  • الحل:
  • تعويض قيمة الطول والعرض في قانون محيط المستطيل: ح=2(أ+ب)، لينتج أن: ح=2(10+5)، ومنه محيط المستطيل:ح=30سم.

• المثال الخامس: مسطيل مساحته 96 سم²، إذا كان عرضه 16سم فما هو طوله؟^[٧]
  • الحل:
  • تعويض قيمة المساحة والطول في قانون مساحة المستطيل: م=أ×ب، 96=أ×16، أ=96/16، ومنه طول المستطيل: أ=6سم.

• المثال السادس: سلك طوله 42سم، تم ثنيه على شكل مستطيل عرضه ضعفي طوله، ما هي أبعاد هذا المستطيل؟^[٨]
  • الحل:
  • العرض =2×الطول وفق معطيات السؤال، وبالرموز: ب=2×أ.
  • تعويض قيمة المحيط والعرض في قانون محيط المستطيل: ح=2(أ+ب)، 42=2(أ+2×أ)، 42=6×أ، ومنه طول المستطيل:أ=7سم.
  • تعويض قيمة الطول لإيجاد قيمة العرض، ب=2×أ، ب=2×7، ومنه عرض المسطيل: ب=14سم.

• المثال السابع: المستطيل (دهـ وز) له قطر يمتد من د إلى و ليشكّل المثلث قائم الزاوية دزو، إذا كان قياس الزاوية زد و: (20+2س)، وقياس الزاوية د وز: (3س)، ما هي قيمة س؟^[٩]
  • الحل:
  • قطرا المستطيل يقسماه إلى مثلثين متطابقين قائمين هما: (دزو)، (دهـ و)، ومجموع زوايا المثلث=180، ومنه 90+(20+2س)+ (3س)=180، 5س=70، ومنه قيمة س=14.

• المثال الثامن: المستطيل (دهـ وز) له قطران يتقاطعان في النقطة ج، يمتد القطرالأول من د إلى و وطوله 26سم، ويمتد الآخر من هـ إلى ز، ما هو طول القطر هـ ز، وما هو طول نصف القطرهـ ج؟^[١٠]
  • الحل:
  • طول القطر هـ ز= طول القطر د و= 26سم.
  • أقطار المستطيل تنصّف بعضها البعض عند نقطة التقاطع، ومنه هـ ج=ج ز= 26/2، ومنه طول نصف القطر هـ ج= 13سم.

• المثال التاسع: المستطيل (دهـ وز)، طول دهـ= 12سم، وطول هـ و= 5سم، ما هو طول د ز، ز و؟^[١٠]
  • الحل:
  • أضلاع المستطيل المتقابلة متوازية ومتساوية في الطول، ومنه دهـ= ز و= 12سم، هـ و= د ز= 5سم.

• المثال العاشر: مستطيل طول قطره 5سم ما هو طول قطره الثاني؟^[١٠]
  • الحل:
  • أقطار المستطيل متساوية في الطول، ومنه طول القطر الأول=طول القطر الثاني=5سم.

• المثال الحادي عشر: مستطيل طوله يزيد 4سم عن ضعفي عرضه، ومحيطه 32سم، ما هي أبعاد هذا المستطيل؟^[١١]
  • الحل:
  • الطول=2×العرض+4، وبالرموز: أ=2ب+4 وفق معطيات السؤال.
  • تعويض قيمة الطول في قانون محيط المستطيل: ح=2(أ+ب)، 32=2((2ب+4)+ب)، 32= 6ب+8، وبترتيب المعادلة: 6ب=24، ومنه عرض المستطيل: ب=4سم.
  • تعويض قيمة العرض لإيجاد قيمة الطول، أ=2ب+4، أ=2×4+4، ومنه طول المستطيل أ=12سم.

تعريف المستطيل وخصائصه

يُمكن تعريف المستطيل (بالإنجليزية: Rectangle) على أنه شكل رباعي الأضلاع له أربع زوايا قائمة، وهو حالة خاصة من متوازي الأضلاع حيث تكون الأضلاع المتقابلة متوازية ومتساوية في الطول، ويمتلك المستطيل زوجين من الأضلاع المتقابلة وقد يختلف كل زوج عن الآخر في الطول، لكن أضلاع الزوج الواحد متساوية في الطول، أما بالنسبة لأقطار المستطيل فهي متساوية في الطول وتنصِّف بعضها البعض عند نقطة التقاطع، وتقسم المستطيل إلى مثلثين متطابقين،^[١٢] مشكّلة زوايا مختلفة إحداها حادّة والأخرى منفرجة، وإذا كانت الزوايا المتشكّلة بين القطرين هي زاويا قائمة فإن الشكل هو مربع، ويجدر بالذكر أن كل قطر للمستطيل يشكّل قطراً للدائرة المحيطة به تماماً.^[١]

لمزيد من المعلومات حول متوازي الأضلاع يُمكنك قراءة المقالات الآتية: خصائص متوازي الأضلاع، قانون متوازي الأضلاع.

حالات خاصة من المستطيل

من الحالات الخاصّة للمستطيل ما يأتي:^[١٢]

• المربع: وهو عبارة عن مستطيل لكن جميع أضلاعه متساوية في الطول.
• مستطيل فيبوناتشي: وهو مستطيل تكون نسبة طوله إلى عرضه هي 1.618، أي أن طوله أكبر من عرضه بـ 1.618 مرة؛ فمثلاً لو كان طول المستطيل 2 فإن عرضه هو: 1.618×2=3.236، ويُسمّى هذا المستطيل أيضاً بالمُستطيل الذهبي لأن نسبته هي النسبة الذهبية 1.618.

لمزيد من المعلومات حول المربع يُمكنك قراءة المقالات الآتية: تعريف المربع، ما هي مساحة المربع، قانون محيط المربع، قانون محيط المربع ومساحته، ما هو قطر المربع، ما هو قانون طول ضلع المربع.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت ث ج ح} “Properties of Rectangle”, www.byjus.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب} Dominik Czernia, “Perimeter of a Rectangle Calculator”، www.omnicalculator.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت ث ج ح خ د ذ} Dovzhyk Mykhailo, “Rectangle. Formulas and Properties of a Rectangle”، www.onlinemschool.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب} Dominik Czernia, “Diagonal of a Rectangle Calculator”، www.omnicalculator.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
5. ↑ Malcolm M., “What Is a Rectangle?”، www.tutors.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
6. ^ ^{أ ب} “Perimeter of a Rectangle”, www.web-formulas.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
7. ↑ “Rectangle Formula”, www.byjus.com, Retrieved 2-4-2020.
8. ↑ “Use algebra to calculate width and length”, www.freemathhelp.com, Retrieved 2-4-2020.
9. ↑ Mark Ryan, “Properties of Rhombuses, Rectangles, and Squares”، www.dummies.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
10. ^ ^{أ ب ت} “Rectangle: Shape and Properties A special kind of parallelogram “, www.mathwarehouse.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
11. ↑ “Using the Properties of Rectangles to Solve Problems”, www.courses.lumenlearning.com, Retrieved 2-4-2020. Edited.
12. ^ ^{أ ب} Yuanxin (Amy) Yang Alcocer, “Rectangle: Types, Properties & Formulas”، www.study.com, Retrieved 4-2-2020. Edited.