جديد طرق حل المعادلة الأسية

طرق حل المعادلات الأسية

• المعادلات الأُسيّة التي لها نفس الأساس: هي المعادلة التي يكون فيها الأساس متساوياً على طرفي إشارة التساوي، ومن الأمثلة على ذلك 4^س = 4 ⁹،^[١] ويتم حلها من خلال استخدام الحقيقة التي تنص على أنه عندما تتساوى الأساسات فإن الأسس تتساوى تلقائياً، وبالرموز:
  • إذا كانت المعادلة على الصورة أ^س = ب ^ص، وكان أ=ب، فإن س=ص.^[٢]
    • ما هو ناتج حل المعادلة الأسية الآتية: 5 ^3س =5 ^{7س – 2}؟^[٢]
    • بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس تتساوى، وعليه: 3س=7س-2، وبحلها كالمعادلات الخطية بطرح (3س) من الطرفين، ينتج أن: 2 = 4س، ومنه: س= 1/2، ويمكن التحقق من الحل بتعويض قيمة س بطرفي المعادلة.

في بعض الأحيان إذا كانت الأساسات غير متساوية فإنه يمكن إعادة كتابة المعادلة الأسية لتصبح الأساسات متساوية فيها، وذلك إذا اشتركت فيما بينها بعامل مشترك، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[٣]

مثال: جد قيمة س في المعادلة الآتية: 27 ^{(4س + 1)} = 9 ^(2س).

يُلاحظ من المثال السابق أن الأساسات غير متساوية، ولكن العددين 27، و9 بينهما عامل مشترك، وهو 3، حيث إن: 27 = 3³ ،9 = 3².

بتعويض هذه القيم في المعادلة الأسية فإن: (³3)^{(4س + 1)} = (3²)^(2س)، وبتوزيع الأسس على القوس فإن: 3 ^{(12س + 3)} = 3 ^(4س).

بما أن الأساسات أصبحت متساوية فإن الأسس تتساوى كما يلي: 12س+3 =4س، وبحل المعادلة الخطية ينتج أن: 8س=-3، س = 3/8-.

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات الخطية يمكنك قراءة المقال الآتي: حل معادلة من الدرجة الأولى

• المعادلات الأُسيّة التي ليس لها نفس الأساس: هي المعادلة التي تختلف في أساساتها، ويُصعب إعادة كتابتها لتصبح الأساسات متساوية فيها؛ مثل 7^س = 9، أي لا يمكن فيها إعادة كتابة الأساس بشكل آخر ليصبح متساوياً في النهاية، وعليه فإننا نحتاج إلى طريقة أخرى جديدة حتى نتمكن من حلها، والتي تتمثل باستخدام اللوغاريتمات، وذلك كما يلي:^[٢]
  • إذا كانت المعادلة الأُسيّة على صورة: أ^س =جـ، فإنه يمكن حلها بإخال اللوغاريتم على الطرفين كما يلي: لو أ^س = لو جـ؛ حيث: أ، جـ: ثوابت، س: متغير.
  • ووفق خصائص اللوغارتيمات فإن: لو أ^س = س لو أ = لو جـ ، ومن الجدير بالذكر أنه قد يختلف أساس اللوغاريتم فقد يكون العدد 10، أو قد يكون العدد النيبيري هـ فيصبح لو_هـ، أو ما يعرف باللوغاريتم الطبيعي، ولتوضيح هذه الطريقة نطرح المثال الآتي:
    • مثال: ما هو حل المعادلة الأسية الآتية: 4 ^{(3 + س)} =25 ؟^[٤]
      • يصعب إعادة كتابة المعادلة السابقة لتصبح الأساسات فيها متساوية، وبالتالي يتم إدخال اللوغاريتم على الطرفين كما يلي: لو 4^(3+س)=لو25، ووفق خاصية: لو أ^س = س لو أ فإن: (س+3) لو 4 = لو 25.
      • جعل المتغير س على طرف لوحده، وذلك بقسمة الطرفين على لو4 لينتج أن: 3+س = لو25/ لو4، ثم بطرح العدد 3 من الطرفين لينتج أن: س= لو25/ لو4 – 3.
      • باستخدام الآلة الحاسبة فإن: لو25= 1.3979، لو4 = 0.602، وبتعويض هذه القيم يمكن حساب قيمة س كما يلي: س = 1.3979/0.602-3= 2.322 – 3= -0.678.

• حل المعادلات الأسية التي تتضمن أعداداً صحيحة: في بعض الأحيان يمكن أن تحتوي المعادلة الأسية على أعداد صحيحة منفردة، تفصل بينها وبين التعابير الأسية إشارة طرح أو جمع، ولحلها يجب أولاً إعادة ترتيبها بجعل الأعداد الصحيحة لوحدها على طرف، والتعابير الأسية لوحدها على الطرف الآخر، وذلك ينطبق على الحالتين السابقتين؛ أي في حال حل المعادلات التي تتشابه في الأساس أو التي تختلف فيه؛ حيث يجب دائماً البدء بحل المعادلة بعد التأكد من أن التعابير الأسية تقع لمفردها على طرف، والثوابت الأخرى التي لا تحمل أسساً تقع على طرف آخر، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[٤]
  • مثال: ما هو حل المعادلة الأسية 3^(س-5)-2 = 79؟
    • لحل هذه المعادلة يجب أولاً طرح العدد 2 من الطرفين لينتج أن: 3^(س-5)= 79+2، 3^(س-5)=81.
    • بما أن العدد 81 هو عبارة 3×3×3×3؛ أي 3⁴، فإنه يمكن حل المعادلة عن طريق توحيد الأساس، وذلك كما يلي: 3^(س-5)=3 ⁴، وبالتالي بما أن الأساسات أصبحت متساوية فإن الأسس تتساوى كما يلي: س-5 = 4، وبحل هذه المعادلة فإن س= 9.

أمثلة متنوعة على حل المعادلات الأسية

• المثال الأول: ما هو حل المعادلة الأسية: 3^{(2 س-1)}=27؟^[٥]
  • الحل:
  • يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة لتصبح الأساسات فيها متساوية، وذلك كما يلي: 3 ^{(2س – 1)} = ³3
  • بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية أيضاً، وبالتالي: 2س-1 = 3، 2س = 4، س = 2

• المثال الثاني: ما هو حل المعادلة الأسية: 4 ^(2س²+2س) = 8؟^[٥]
  • الحل:
  • إعادة كتابة المعادلة لتصبح الأساسات متساوية، وذلك كما يلي:
    • بما أن 2² = 4، فإن 2 ^2(2س²+2س) = 8، وبما أن 2³ = 8 فإن: 2 ^2(2س²+2س) = ³2، وبتوزيع الأس على القوس فإن 2^{(4س² + 4س)}=3.
  • بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية، وبالتالي: 4س²+4س= 3، ثم وبترتيب المعادلة التربيعية كما يلي 4س²+4س-3= 0، ثم حلّها بطريقة التحليل إلى عواملها فإن (2س-1)(2س+1) = 0، ينتج أن س لها قيمتان هما: س= 1/2، س= -1/2.

• المثال الثالث: ما هو حل المعادلة الأسية: 2 ^{(4ص + 1)} – 3^ص = 0؟^[٢]
  • الحل:
  • إعادة ترتيب المعادلة كما يلي: 2^{(4ص + 1)} = 3^ص.
  • إدخال اللوغاريتم الطبيعي لو_هـ على الطرفين، وذلك لأن الأساسات غير متساوية كما يلي:
    • لو_هـ 2 ^{(4ص + 1)} = لو_هـ 3^ص، ووفق خاصية: لو أ^س = س لو أ ، فإن: (4ص+1)لو_هـ 2 = ص لو_هـ 3، 4ص لو_هـ 2 + لو_هـ 2 = ص لو _هـ 3.
  • بإعادة ترتيب هذه المعادلة، وإخراج ص عامل مشترك ينتج أن:
    • ص = – لو _هـ 2 / (4لو _هـ 2 – لو _هـ 3)، وباستخراج قيم لو_هـ 2، لو_هـ 3 من الآلة الحاسبة، ينتج أن: ص= -0.6931/ (4×(0.6931)-(1.0986))، ومنه: ص = -0.4140.

• المثال الرابع: ما هو حل المعادلة الأسية: هـ ^(س+6) = 2؟^[٢]
  • الحل:
  • بإدخال لو_هـ على الطرفين فإن:
    • لو_هـ هـ ^{(س + 6)} = لو_هـ 2، ولأن لو أ^س = س لو أ، ولو_هـهـ = 1؛ فإن: س+6= لو_هـ(2)، ومنه: س = -5.306.

• المثال الخامس: ما هو حل المعادلة الأسية: 1/2 (10 ^{س -1}) ^س + 3 = 53؟^[٦]
  • الحل:
  • إعادة توزيع الأس (س) على القوس ينتج ما يلي:
    • 1/2 (10 ^{س² – س}) + 3 = 53
  • ترتيب المعادلة الأسية وجعل الأس على طرف لوحده، وذلك بطرح العدد 3 من الطرفين لينتج أن: 1/2 (10 ^س²-س)=50، وبضرب الطرفين بالعدد 2 ينتج أن: 10^س²-س=100.
  • جعل الأساسات متساوية كما يلي:
    • 10²=10(^س²-س)، وبما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية أيضاً، وبالتالي 2 = س²-س.
    • إعادة ترتيب المعادلة التربيعية، وإيجاد عواملها كما يلي: س²- س-2 = 0، (س-2)(س+1) = 0، وبالتالي فإن س لها قيمتان هما: س= 2، أو س= -1.

لمزيد من المعلومات حول كيفية حل المعادلة التربيعية يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلة التربيعية

• المثال السادس: ما هو حل المعادلة الأسية: 7^س = 20؟^[٧]
  • الحل: بما أن الأساسات غير متساوية، وبالتالي فإنه يمكن حل هذه المعادلة عن طريق إدخال اللوغاريتم على الطرفين، وذلك كما يلي:
    • 7^س = 20، لو 7 ^س = لو 20، ولأن لو أ^س = س لو أ فإن: س لو 7 = لو 20، ومنه: س = لو20/ لو7
    • استخراج قيمة كل من لو20، ولو7 باستخدام الآلة الحاسبة لينتج أن س= 1.539 تقريباً.

• المثال السابع: ما هو حل المعادلة الأسية (1/25)^{(3س – 4)} – 1 = 124؟^[١]
  • الحل:
  • لحل هذه المعادلة يجب ترتيبها أولاً كما يلي:
    • إضافة العدد واحد إلى الطرفين لينتج أن: (1/25)^(3س-4)=125
  • إعادة كتابة المعادلة (1/25)^(3س-4)=125 لتصبح الأساسات متساوية كما يلي:
    • 5^(-2)(3س-4)=5³
    • بتوزيع العدد -2 على القوس فإن: 5 ^(-6س+8)=5³.
  • بما أن الأساسات أصبحت متساوية فإنه الأسس متساوية كما يلي:
    • -6س+8 = 3، ومنه: -6س=-5، ومنه: س = 5/6.

• المثال الثامن: ما هو حل المعادلة الأسية هـ^2س-7هـ ^س+10=0؟^[٦]
  • الحل:
  • يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة كما يلي:
    • (هـ ^س)²-7 (هـ ^س)+10=0
    • نفرض أن هـ ^س = م، وبتعويضها في المعادلة فإنها تُصبح معادلة تربيعية: م²-7م+10= 0.
    • بحل هذه المعادلة فإن: (م-5)(م-2) = 0، وهذا يعني أن م=5، أو م= 2.
  • لكن المراد هو إيجاد قيمة س في هـ ^س، ويتم إيجادها كما يلي:
    • هـ ^س = 5، وبإدخال لو هـ على الطرفين فإن: لو_هـ هـ ^س = لو _هـ 5، ومنه:
    • س = لو_هـ 5= 1.6097 تقريباً.
    • هناك قيمة أخرى ل هـ ^س، وهي هـ ^س = 2، ويتم حلها كما يلي:
    • بإدخال لو _هـ على الطرفين فإن لو _هـ هـ ^س = لو_هـ 2، ومنه:
    • س = لو_هـ 2= 0.6932 تقريباً.

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات يمكنك قراءة المقالات الآتية: حل جملة معادلتين، كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة، طرق حل المعادلات بالمصفوفات.

نظرة عامة حول المعادلات الأسية

يمكن تعريف المعادلة الأسية (بالإنجليزية: Exponential Equation) بأنها حالة خاصة من المعادلات، وهي المعادلة التي يكون فيها الأُس عبارة عن متغير، وليس ثابتاً،^[١] والصورة العامة لها هي:^[٨]
أ^س = ب ^ص، حيث:

• س، وص: هي الأُسس في المعادلة الأسية، وتضم المتغيرات التي يكون حل المعادلة الأسية عادة بإيجاد قيمها؛ حيث تضم المعادلة الأسية عادة متغيراً واحداً فقط.
• أ، وب: هي عبارة عن ثوابت، وتُمثّل الأساس في المعادلة الأسية.

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلات الجبرية

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت} “How to solve exponential equations”, www.mathwarehouse.com, Retrieved 24-4-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت ث ج} “Solving Exponential Equations”, tutorial.math.lamar.edu, Retrieved 24-4-2020. Edited.
3. ↑ “Solving Exponential Equations”, www.shmoop.com, Retrieved 24-4-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب} “How to Solve Exponential Equations”, www.wikihow.com, Retrieved 24-4-2020. Edited.
5. ^ ^{أ ب} “Solving Exponential Equations from the Definition”, www.purplemath.com, Retrieved 24-4-2020. Edited.
6. ^ ^{أ ب} “How to Solve Exponential Equations using Logarithms”, www.chilimath.com, Retrieved 24-4-2020. Edited.
7. ↑ “Solving Exponential Equations with Different Bases”, www.onlinemathlearning.com, Retrieved 24-4-2020. Edited.
8. ↑ “Solving Exponential Equations”, www.varsitytutors.com, Retrieved 24-4-2020. Edited.