طرق حل المعادلات - مجلة سفن زد

محتويات

١ حل المعادلات الجبرية
٢ طرق حل نظام من المعادلات الجبرية
٣ حل المعادلات المتسامية
٤ نظرة عامة حول المعادلات
٥ المراجع

حل المعادلات الجبرية

عند حل المعادلات الجبرية تجب مراعاة الأمور الآتية:^[١]

عند حل أي معادلة جبرية فإن الخطوة الأولى هي تجميع الحدود المتشابهة.
يجب الحرص دائماً على إضافة، أو طرح نفس القيمة للطرفين عند حل المعادلات.
للتخلص من الكسر فإنه يتم ضرب الطرفين بمقلوب الكسر.
يجب الحرص دائماً على قسمة طرفي المعادلة بنفس العدد شريطة أن لا يكون مساوياً للصفر.
في بعض الأحيان قد يتم تطبيق بعض الاقترانات على طرفي المعادلة لحلّها مثل تربيع الطرفين.
في حال وجود قوس فإنه يتم توزيع الحدود على القوس قبل البدء في حل المعادلة الجبرية.
لحل المعادلات الجبرية فإنه يتم تحليلها إلى عواملها بطرق مختلفة ثم إيجاد الحلول.
بعض المعادلات الجبرية قد يكون لها نمط مميز، ويمكن حلّها بشكل مباشر وبطرق خاصة باستخدام قواعد معيّنة مثل: الفرق بين مربعين، والفرق بين مكعبين.

حل المعادلات الخطية

تعرف المعادلات الخطية (بالإنجليزية: Linear Equations) بأنها المعادلات التي تكون على الصورة ص = أ س+ب؛ أي تحتوي على متغير واحد وهو س، ويكون مرفوعاً للقوة واحد، ولا تحتوي عادة على متغيرات أكثر تعقيداً مثل: س²، أو س/ص، ويتم حلها عن طريق جعل المتغير المجهول على طرف، ونقل جميع الأعداد الأخرى على الطرف الآخر، للحصول على حل المعادلة في النهاية على صورة: س = عدد؛ حيث يمثل العدد حل هذه المعادلة، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[٢]

مثال: ما هو حل المعادلة س-3 = -5؟
- الحل: يُقصد بحل المعادلة إيجاد قيمة س، ويمكن القيام بذلك كما يلي:
  - جعل العدد س على طرف، وباقي الأعداد على طرف آخر، وبالتالي فإنه يجب التخلص من العدد 3.
  - معكوس عملية الطرح هو الجمع، وبالتالي يجب إضافة العدد 3 للطرفين كما يلي: س-3+3 = -5+3
  - وبالتالي فإن حل المعادلة هو س = -2.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات الخطية يمكنك قراءة المقال الآتي: حل معادلة من الدرجة الأولى.

حل المعادلات التربيعية

تُعرف المعادلة التربيعية (بالإنجليزية: Quadratic Equation) بأنها المعادلة التي تكون على الصورة العامة أ س² +ب س+جـ =0؛ حيث أ لا تساوي صفر، ويمكن حل المعادلة التربيعية باستخدام مجموعة من الطرق:^[٣]

باستخدام القانون العام: يمكن استخدام القانون العام لحل أي معادلة تربيعية، وهو س = (-ب±المميز√)/ (2×أ)، حيث:
- أ هو معامل س²، وب هو معامل س، وجـ هو الحد الثابت.
- المميز = ب² – 4×أ×جـ، وإذا كان المميز سالباً فإن المعادلة التربيعية لا تحلّل؛ أي لا حلول لها، وإذا كان مساوياً للصفر فإن لها حلاً واحداً فقط، أما إن كان موجباً فللمعادلة التربيعية حلّان.
- يقصد بإشارة ± أن القانون العام يتم تطبيقه مرتين؛ مرة بالجمع، ومرة بالطرح، وذلك لأن المعادلة التربيعية لها حلان في معظم الأحيان.

مثال: ما هو حل المعادلة س² – 5س = -6 باستخدام القانون العام؟^[٣]

- الحل:
- ترتيب المعادلة بحيث تصبح جميع الحدود على طرف واحد؛ أي تصبح المعادلة على الصورة القياسية، وذلك كما يلي: س²-5س+6 =0.
- في هذه المعادلة إن أ = 1، و ب = -5، وجـ = 6، وبتطبيق القانون العام على المعادلة، ينتج ما يلي:
  - س = -(-5)±((-5)² – 4×1×6)√ / 2×1، ومنه: س = 5± (25-24)√/2، وهذا يعني أن س لها قيمتان:
    - إما س = (5+1)/ 2 = 6/2 = 3
    - أو س = (5-1)/ 2 = 4/2 = 2
- حلول هذه المعادلة هي إما: س= 2، أو س= 3.

باستخدام التحليل إلى العوامل: يمكن حل المعادلة التربيعية باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل، التي لا يمكن استخدامها لحل جميع المعادلات، ويمكن توضيح هذه الطريقة باستخدام المثال الآتي:^[٤]
جد حل المعادلة التربيعية: س²- 4س+4 = 0، باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل:
- الحل: الخطوة الأولى هي كتابة قوسين كما يلي:
  - ( س )( س ) = 0.
- تحليل الحد الأخير (4) إلى عوامله؛ أي كتابة جميع الأعداد التي يساوي حاصل ضربها العدد 4، وحساب مجموع كل عددين منها، وذلك كما يلي:
  - 4 : 2×2، مجموعهما 4.
  - 4 : 1×4، مجموعهما 4
  - 4 : -1×-4، مجموعهما -5.
  - 4 : -2×-2، مجموعهما 4-.
- اختيار العددين اللذين يساوي مجموعهما العدد الأوسط وهو (-4)، وهما: -2،-2.
- كتابة العددين اللذين تم اختيارهما في القوسين كما يلي:
  - (س-2)(س-2) =0.
- يمكن إيجاد حلول المعادلة التربيعية عن طريق مساواة كل قوس من القوسين بالصفر، وذلك كما يلي:
  - س-2 = 0، وبالتالي س = 2.
    - س-2 = 0، وبالتالي س = 2.
- هذا يعني أن لهذه المعادلة التربيعية حل واحد، وهو س = 2.

ملاحظة: إذا كانت إشارة الحد الثابت موجبة فإن القوسين لهما نفس إشارة الحد الأوسط (أي معامل س)، وإذا كانت إشارة الحد الأخير (أي الثابت) سالبة فإن القوسين يكونا مختلفين في الإشارة.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات التربيعية يمكنك قراءة المقالات الآتية: طرق حل المعادلة التربيعية، تحليل المعادلة التربيعية.

حل المعادلات التكعيبية

تعرف المعادلة التكعيبية (بالإنجليزية: Cubic Equation) بأنها المعادلة التي تكون على الصورة: أس³+ب س² + جـ س + د =0، حيث أ لا تساوي صفراً، ويمكن إيجاد حل المعادلة التكعيبية باستخدام مجموعة من الطرق، ومنها القسمة التركيبية كما يلي:^[٥]

يجب في هذه الطريقة أولاً تجربة بعض الأعداد بشكل عشوائي في المعادلة التكعيبية عن طريق تعويضها مكان المتغير (س)، وفي حال العثور على عدد يحقق المعادلة؛ أي يجعلها مساوية للصفر فإنه يتم اعتباره كأول جذر لها، ثم الانتقال للخطوة التالية.
قسمة المعادلة التكعيبية على الجذر وهو العدد الذي تم العثور عليه في الخطوة السابقة باستخدام القسمة التركيبية؛ لتنتج لدينا معادلة تربيعية، يمكن إيجاد جذورها باستخدام إحدى طرق حل المعادلة التربيعية، للحصول على جميع الحلول للمعادلة التكعيبية في النهاية، وذلك كما في المثال الآتي:

مثال: جد الحلول للمعادلة التكعيبية الآتية: 6س³-5س²-17س+6:

الحل: لحل أي معادلة تكعيبية فإنه يجب العثور على عدد يجعل قيمتها مساوية للصفر عند تعويضه مكان المتغير (س)، وذلك كما يلي:
- افتراض العدد 2 على أنه حل للمعادلة التكعيبية، وتعويضه فيها كما يلي:
- 6×2³ – 5×2² – 17×2 +6=0، وهذا يعني أن العدد 2 يمثل أحد حلول المعادلة التكعيبية، ويُكتب كما يلي: (س-2).
- قسمة المعادلة التكعيبية باستخدام القسمة التركيبية على (س-2) لتنتج لدينا المعادلة التربيعية: 6س²+7 س- 3= 0، وبحل هذه المعادلة فإن س = 1/3، و 3/2-.
- وهذا يعني أن جذور المعادلة التكعيبية هي: 1/3، و 3/2-، و2.
أما عن القسمة التركيبية فهي تتم باتباع الخطوات الآتية:^[٦]
- التأكد من أن المقسوم، وهو المعادلة التكعيبية على الصورة العامة أي: أس³ + ب س² + جـ س + د=0
- التأكد من أن المقسوم عليه على صورة (س-ل).
- ترتيب معاملات المعادلة التكعيبية بشكل أفقي بجانب بعضهم البعض، ووضع العدد (ل) يسار إشارة القسمة التركيبية، أي ترتيب المسألة: 6س³-5س²-17س+6 قسمة (س-2) مثلاً كما يلي:

6 -5 -17 6 | 2

ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ |

——————————

ــــ ـــــ ـــــ ــــــ |

- كتابة المعامل الأول للمعادلة التكعيبية أي (أ) (وهو 6 هنا) أسفل الخط الأفقي مباشرة.

6 -5 -17 6 | 2

ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ |

——————————

6 ـــــ ــــــ ــــــ |

- ضرب المعامل الأول أي أ (وهو 6 هنا) بالعدد الموجود في اليسار أي ل (وهو 2 هنا)، ووضع الناتج أسفل المعامل الثاني أي أسفل ب (وهو -5 هنا) فوق الخط الأفقي، ثم إيجاد ناتج جمع هذا العدد (وهو 12 هنا) مع ب (وهي -5 هنا) وكتابة الناتج أسفل الخط الأفقي مباشرة.

6 -5 -17 6 | 2

ــــ 12 ـــــ ـــــ |

——————————

6 7 ـــــــ ـــــــ |

- ضرب ناتج الجمع الذي تم الحصول عليه في الخطوة السابقة؛ أي (7) بالعدد ل (وهو 2 هنا) من جديد، وضع الناتج أسفل المعامل الثالث أي جـ (وهو -17 هنا) مباشرة وفوق الخط الأفقي، ثم جمعه مع جـ، ووضع الناتج أسفل الخط الأفقي مباشرة.
- تكرار العملية حتى الحصول على العدد صفر.
- الأعداد الموجودة أسفل الخط الأفقي هي عوامل المعادلة التربيعية: 6س²+7 س- 3= 0، التي تمثل ناتج عملية القسمة:

6 -5 -17 6 | 2

ــ 12 14 -6 |

——————————

6 7 -3 0 |

لمزيد من المعلومات حول المعادلات التكعيبية يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة.

حل المعادلات الجذرية

المعادلات الجذرية (بالإنجليزية: Radical Equation) هي المعادلات التي تحتوي على جذور تربيعية، أو تكعيبية، أو أية أنواع أخرى من الجذور، ويمكن حلها بسهولة عن طريق تربيع الطرفين إذا كان الجذر تربيعياً، وعن طريق تكعيب الطرفين إذا كان الجذر تكعيبياً، وهكذا، بعد ترتيب المعادلة ليصبح الجذر لوحده على أحد الطرفين، ويمكن توضيح كيفية حل هذه المعادلات باستخدام المثال الآتي:^[٧]

مثال: ما هو حل المعادلة الجذرية الآتية: (2س+9)√ – 5 = 0؟
- الحل: يتم وضع الجذر التربيعي على طرف، وباقي الحدود على الطرف الآخر، وذلك كما يلي:
  - بإضافة العدد 5 للطرفين فإنّ (2س+9)√ = 5.
  - بما أن الجذر تربيعي فإنه يمكن التخلص منه بتربيع الطرفين كما يلي: ((2س+9)√)² = 5²، ومنه: 25 = 2س+9.
  - أصبحت لدينا معادلة خطية، ويمكن حلها بسهولة كما يلي: 2س= 25-9، 2س = 16، ومنه: س = 8، ويمكن التحقق من صحة الحل بتعويض قيمة س في المعادلة الجذرية.

ملاحظة: قد تحتوي بعض المعادلات الجذرية على أكثر من جذر، ويمكن حل هذه المعادلة عن طريق تكرار نفس الخطوات على كل جذر لوحده.^[٧]

حل المعادلات النسبية

يمكن تعريف المعادلات النسبية (بالإنجليزية: Rational Equations) بأنها المعادلات التي تحتوي على حد نسبي (أي كسر) واحد على الأقل، وغالباً تحتوي على متغيرات في المقام، ويتم حلها عن طريق ضرب طرفي المعادلة بأصغر مقام مشترك،^[٨] والأمثلة الآتية توضّح ذلك:^[٩]

مثال: حل المعادلة الآتية: 5/س – 1/3 = 1/س.
- الحل:
  - يمكن ضرب طرفي المعادلة بأصغر مقام مشترك، وهو هنا: 3س، وذلك كما يلي:
  - 3س×(5/س – 1/3) = 3س×(1/س)، ومنه: 15-س = 3، ومنه: س = 12، ويمكن التحقق من صحة الحل بتعويض قيمة س في المعادلة.

مثال: ما هو حل المعادلة: 2 – 1/ س(س+1) = 3/(س+1)؟
- الحل:
- يمكن ضرب طرفي المعادلة بـ س(س+1)، وهو أصغر مقام مشترك وذلك كما يلي:
  - س×(س+1)×(2 -1/س(س+1)) = س(س+1)×(3/(س+1))، وبتبسيط هذه المعادلة فإنّ: 2س(س+1)-1 = 3س
  - بتجميع الحدود نحصل على معادلة تربيعية هي: 2س²+2س-1 = 3س، وبتجميع الحدود لتصبح جميعها على طرف واحد ينتج ما يلي: 2س²-س-1 = 0.
  - بتحليل المعادلة التربيعية إلى عواملها ينتج ما يلي: (2س+1)(س-1) = 0.
  - وبالتالي فإن لهذه المعادلة حلان، وهما: س = -1/2، وس = 1.

طرق حل نظام من المعادلات الجبرية

يمكن تعريف هذا النظام على أنه نظام يتكون من معادلتين خطيتين على الأقل ترتبطان مع بعضهما بعلاقة معينة، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[١٠]
2س + ص = 5
س + ص = -2

يمكن حل نظام المعادلات الجبرية بعدة طرق، وهي:^[١١]

طريقة التعويض: يتم في هذه الطريقة تعويض قيمة أحد المتغيرات من إحدى المعادلات في المعادلة الأخرى، وذلك عن طريق جعله موضوع القانون في المعادلة الأولى، وتعويض قيمته في المعادلة الثانية، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- مثال: يمكن حل نظام المعادلات الذي يتكون من المعادلتين: س+ص = 4، 2س-3ص=3 كما يلي:
  - جعل أي من المتغيرات في أي من المعادلتين موضوع القانون، وفي هذا المثال سوف يتم جعل المتغير س في المعادلة الأولى، وذلك كما يلي: س = 4 – ص.
  - تعويض قيمة هذا المتغير في المعادلة الثانية، وذلك كما يلي: 2×(4 – ص)-3ص = 3.
  - بتجميع الحدود تصبح لدينا معادلة خطية بمتغير واحد، وهي: -5ص= -5، أي: ص = 1.
  - بعد معرفة قيمة ص يمكن تعويض قيمة ص في أي من المعادلات لإيجاد قيمة س، فمثلاً يمكن التعويض في المعادلة الأولى، وذلك كما يلي: س+1 = 4، وبالتالي فإن س = 3.

طريقة الحذف: يتم في هذه الطريقة ضرب، أو قسمة المعادلتين على أي عدد لتصبح قيمة أحد المتغيرين في كلتا المعادلتين متساوية ومختلفة في الإشارة، ثم يتم جمع المعادلتين، أو طرحهما، وذلك لحذف المتغيرين المتشابهين في المعادلتين مع بعضهما، ليتبقى لدينا متغير واحد فقط يمكن إيجاد قيمته بسهولة باستخدام طرق حل المعادلات الخطية، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- يمكن حل هذا النظام الذي يتكون من المعادلتين: س+2ص = 3، 2س-2ص = 3 باستخدام طريقة الحذف كما يلي:
  - يلاحظ من المعادلتين أن المتغيرين 2ص، -2ص متشابهين لكنهما متعاكسين في الإشارة، ويمكن من خلال جمع المعادلتين التخلص منهما دون الحاجة إلى ضرب، أو قسمة المعادلتين بأي عدد.
  - بجمع المعادلتين فإن 3س = 6، وبالتالي فإن س = 2.
  - بتعويض قيمة س في أي من المعادلتين نحصل على قيمة ص، وهي: 1/2.

لمزيد من المعلومات حول حل نظام المعادلات الخطية يمكنك قراءة المقال الآتي: حل جملة معادلتين، طرق حل المعادلات بالمصفوفات.

حل المعادلات المتسامية

حل المعادلات اللوغارتمية

هناك نوعان من المعادلات اللوغريتمية (بالإنجليزية: Logarithmic Equations)، وهما:^[١٢]

عند وجود لوغاريتمين في المعادلة، كل منهما على طرف لوحده، والأساسات متساوية، فإن حلّها يكون باعتبار ما داخل اللوغاريتم متساوياً؛ مثل لو_ب م = لو_ب ن، وبالتالي فإن م=ن.
عند وجود لوغاريتم واحد على أحد طرفي المعادلة اللوغاريتمية كما يلي: لو_ب ن = م، فإنه يتم تحويل هذه المعادلة إلى معادلة أسية: ب ^م = ن، ثم حلّها.

مثال: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية لو₂ (س+2)+لو₂ (3) = لو ₂ (27)؟^[١٢]
- الحل: يمكن استخدام إحدى قواعد اللوغاريتم، وهي: لو_ب (م×ن) = لو _ب م + لو_ب ن، لإعادة كتابة المعادلة اللوغاريتمية في الأعلى كما يلي: لو₂ ((س+2)×3) = لو₂ 27.
- بما أن الأساسات متساوية فإن ما داخل اللوغاريتم متساوٍ أيضاً، وبالتالي: (س+2)×3 = 27، ومنه: 3س+6 = 27، وبحل هذه المعادلة فإن: س= 7.

ملاحظة: يمكن أن تكون قيمة س مساوية للصفر، أو موجبة، أو سالبة، وفي المقابل لا يمكن للقيمة داخل اللوغاريتم أن تكون صفراً، أو سالبة.

مثال: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية لو₅ (س+2) – لو ₅ (س) = لو ₅ (2س-1) – لو₅ (3س-12)؟^[١٢]
- الحل:
- يمكن حل هذه المعادلة باستخدام إحدى قواعد اللوغاريتم، وهي: لو_ب (م/ن) = لو _ب م – لو_ب ن، ومنه:
  - لو ₅ ((س+2)/س) = لو₅((2س-1)/(3س-12)).
  - بما أن الأساسات متساوية فإن ما داخل اللوغاريتم متساوٍ، وبالتالي: (س+2)/س = (2س-1)/(3س-12).
  - بالضرب التبادلي، وتجميع الحدود نحصل على المعادلة التربيعية الآتية: س²-5س-24=0، وبتحليل هذه المعادلة إلى عواملها فإن: (س+3)(س-8) = 0، وبالتالي فإن للمتغير س قيمتان، وهما: س= -3، وس = 8.

حل المعادلات المثلثية

يمكن تعريف المعادلات المثلثية (بالإنجليزية: Trigonometric Equations) بأنها المعادلات التي تربط بين الاقترانات المثلثية لزوايا مجهولة القياس،^[١٣] ويُقصد بحل المعادلات المثلثية إيجاد قيمة الزاوية المجهولة التي تحقق المعادلة،^[١٤] وبشكل عام فإن المعادلات المثلثية لها عدد لا نهائي من الحلول؛ لذلك يتم حصر المجال لقيم الزوايا بين (0، و360) درجة لتقليل عدد حلولها، وفي الحقيقة لا توجد طريقة عامة يمكن استخدامها لحل جميع هذه المعادلات، ولكن هناك بعض الخطوات التي يمكن اتباعها لحلها بسهولة، وهي:^[١٣]

تبسيط المعادلات المثلثية إلى أبسط صورة ممكنة إن أمكن ذلك.
محاولة توحيد جميع الزوايا ضمن الاقترانات المثلثية.
محاولة توحيد الاقترانات المثلثية للزوايا عن طريق استخدام المتطابقات المثلثية.
التحقّق من صحة الحل بعد كل خطوة.

مثال: ما هو حل المعادلة المثلثية 2×جتا²(س) = -3×جتاس+2؛ حيث س تتراوح بين: 0، و360 درجة؟^[١٣]
- ‘الحل:
- ترتيب المعادلة بحيث تصبح جميع الحدود على طرف واحد، وذلك كما يلي:
  - 2×جتا²(س)+ 3×جتاس- 2 = 0
  - يمكن تحليل هذه المعادلة على أنها معادلة تربيعية مثلاً كما يلي:
  - (2 جتاس – 1)(جتاس + 2) = 0
  - يمكن ملاحظة أن للمعادلة حلان، وهما:
    - 2 جتاس – 1 = 0، ومنه: جتاس = 1/2؛ أي أن س هي الزاوية التي تكون قيمة جيب التمام لها تساوي 1/2، وهما الزاويتان: 60°، و300°.
    - وأما الحل الآخر فهو: جتاس+2 = 0، جتاس = -2، ومنه: س = Ø، وهذا يعني أنه لا يوجد حل، وذلك لأن قيمة جيب التمام لأي زاوية يكون محصوراً بين 0، و1، ولا توجد زاوية قيمة جيب التمام لها تساوي -2.
- وهذا يعني أن لهذه المعادلة المثلثية حلان، وهما: س= 60°، و300°.

مثال: ما هو حل المعادلة جا2س = 3 جاس، حيث س محصورة بين 0، و360 درجة؟^[١٣]
- الحل: لدينا زاويتان مختلفتان وهما: 2س، وس، ولجعل الزاويتين متساويتين يمكن استخدام متطابقة: جا2س، وذلك كما يلي: جا2س = 2جاس جتاس = 3 جاس
- جعل جميع الحدود على طرف واحد، وذلك كما يلي: 2جاس جتا س – 3 جا س = 0، استخراج جاس كعامل مشترك لينتج أن: جاس×(2×جتاس-3)=0.
- مساواة كل قيمة بالصفر، وذلك كما يلي:
  - جاس = صفر، ومنه: س = 0، و 180.
  - 2جتاس – 3 = 0، وبالتالي: جتا س= 3/2، ومنه: س= Ø، وهذا يعني أنه لا يوجد حل، وذلك لأن قيمة جيب التمام لأي زاوية تكون محصورة بين 0، و1، ولا توجد زاوية قيمة جيب التمام لها تساوي 3/2.
وهذا يعني أن للمعادلة حلان، وهما: س = 0، وس = 180.

لمزيد من المعلومات حول المتطابقات المثلثية يمكنك قراءة المقال الآتي: قوانين حساب المثلثات.

حل المعادلات الأسية

تعرف المعادلة الأسية (بالإنجليزية: Exponential Equation) بأنها المعادلة التي يقع فيها المجهول أو المتغير في الأس؛ مثل: 3^(س+1) = 9، و 5^ل+3×5^(ل-1)=400، ويمكن حلّها باستخدام عدة طرق كما يلي:^[١٥]

عندما تكون الأساسات متساوية: مثل أ^س = أ^ص، ويكون حلها بالاستعانة بالنظرية التي تقول: عندما تتساوى الأساسات فإن الأسس تتساوى؛ أي أنّه عندما تكون: أ^س = أ^ص، فإنّ: س= ص، بشرط أن تكون (أ) أكبر من صفر، ولا تساوي واحد، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- مثال: 3 ^(س+1) = 9
  - الحل:
  - يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة لتصبح الأساسات متساوية، وذلك كما يلي: 3^(س+1) = 3²
  - بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية أي: س+1= 2، ومنه: س = 1.

عندما تكون الأساسات غير متساوية: ففي هذه الحالة يتم إدخال اللوغريتم على الطرفين ثم إيجاد قيمة المتغيرات، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[١٦]
- مثال: ما هو حل المعادلة الأسية 10^(س+5) – 8 = 60؟
  - الحل:
  - ترتيب المعادلة لتصبح العبارة الأسية على طرف لوحدها، ثم إدخال لو₁₀ على الطرفين، وذلك كما يلي: لو 10^{(س + 5)} = لو 68.
  - (س+5) لو 10 = لو 68.
  - بما أن لو10₁₀ = 1 فإن (س+5) = لو 68، ومنه: س = لو68 – 5
  - باستخدام الآلة الحاسبة لإيجاد لو68 فإن س = 3.1674- تقريباً.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات الأسية يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلة الأسية.

نظرة عامة حول المعادلات

يمكن تعريف المعادلات الجبرية (بالإنجليزية: Algebraic Equations) بأنها المعادلات التي تتكون من حدين جبريين، أو أكثر ترتبط في ما بينها بعمليات جبرية؛ كالجمع، والطرح، والضرب، والقسمة، أو قد تكون مرفوعة لقوة، أو قد تقع المتغيرات داخل الجذر، ومن الأمثلة على ذلك: س³+1، و(ص⁴س² + 2×س×ص- ص)/(س-1) = 12، وتُعرف عملية حل المعادلة الجبرية بأنها عملية إيجاد عدد، أو مجموعة من الأعداد التي يصبح طرفا المعادلة متساويين عند تعويضها مكان المتغير، وتجدر الإشارة إلى أن المعادلات كثيرة الحدود التي تستخدم بشكل كبير في علم الرياضيات تعتبر حالة خاصة من المعادلات الجبرية، والصورة العامة لهذه المعادلات هي كما يلي: أس^ن + ب س ^{(ن – 1)} + ……. و س +ي = ل، حيث:^[١٧]

أ، ب، جـ،….، و: تمثل معاملات المتغير س.
س: يمثل الحد الثابت.
ن: هي أكبر قوة في معادلة كثير الحدود، وتسمى المعادلة باسمها فمثلاً إذا كانت ن = 2 فإن المعادلة تسمى المعادلة التربيعية، وإذا كانت ن = 3 فإن المعادلة تسمى المعادلة التكعيبية، ويكون عدد الحلول للمعادلات كثيرة الحدود عادة مساوياً لقيمة ن.

بعض المعادلات تحتوي على عمليات غير جبرية مثل اللوغريتمات، والاقترانات المثلثية، وتُعرف هذه المعادلات بالمعادلات المتسامية (بالإنجليزية: Transcendental Equation)، مثل: س×جا (س).^[١٧]

المراجع

↑ “Special Binomial Products”, www.mathsisfun.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.
↑ “Solving One-Step Linear Equations: Adding & Subtracting”, www.purplemath.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب “Solving Quadratic Equations”, www.cliffsnotes.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Solve a quadratic equation by factoring”, www.mathwarehouse.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Cubic Equations”, www.toppr.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Synthetic Division Method”, www.chilimath.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب “Solving Radical Equations”, www.mathsisfun.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Solving Rational Equations”, www.chilimath.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Solving Rational Equations”, saylordotorg.github.io, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Systems of Linear Equations”, www.mathsisfun.com, Retrieved 1-5-2020. Edited.
↑ “3 Methods for Solving Systems of Equations”, sciencing.com, Retrieved 1-5-2020. Edited.
^ ^أ ^ب ^ت “Solving Logarithmic Equations”, www.chilimath.com, Retrieved 1-5-2020. Edited.
^ ^أ ^ب ^ت ^ث “Trigonometric Equations”, www.onlinemathlearning.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Trigonometric Equations”, www.math-only-math.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Exponential Equations”, www.siyavula.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “SOLVING EXPONENTIAL EQUATIONS”, www.sosmath.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب “Algebraic equation”, www.britannica.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.

15 أبريل، 2021

0 643 13 دقائق

اترك تعليقاً إلغاء الرد

يجب أنت تكون مسجل الدخول لتضيف تعليقاً.

حل المعادلات الجبرية

عند حل المعادلات الجبرية تجب مراعاة الأمور الآتية:^[١]

عند حل أي معادلة جبرية فإن الخطوة الأولى هي تجميع الحدود المتشابهة.
يجب الحرص دائماً على إضافة، أو طرح نفس القيمة للطرفين عند حل المعادلات.
للتخلص من الكسر فإنه يتم ضرب الطرفين بمقلوب الكسر.
يجب الحرص دائماً على قسمة طرفي المعادلة بنفس العدد شريطة أن لا يكون مساوياً للصفر.
في بعض الأحيان قد يتم تطبيق بعض الاقترانات على طرفي المعادلة لحلّها مثل تربيع الطرفين.
في حال وجود قوس فإنه يتم توزيع الحدود على القوس قبل البدء في حل المعادلة الجبرية.
لحل المعادلات الجبرية فإنه يتم تحليلها إلى عواملها بطرق مختلفة ثم إيجاد الحلول.
بعض المعادلات الجبرية قد يكون لها نمط مميز، ويمكن حلّها بشكل مباشر وبطرق خاصة باستخدام قواعد معيّنة مثل: الفرق بين مربعين، والفرق بين مكعبين.

حل المعادلات الخطية

تعرف المعادلات الخطية (بالإنجليزية: Linear Equations) بأنها المعادلات التي تكون على الصورة ص = أ س+ب؛ أي تحتوي على متغير واحد وهو س، ويكون مرفوعاً للقوة واحد، ولا تحتوي عادة على متغيرات أكثر تعقيداً مثل: س²، أو س/ص، ويتم حلها عن طريق جعل المتغير المجهول على طرف، ونقل جميع الأعداد الأخرى على الطرف الآخر، للحصول على حل المعادلة في النهاية على صورة: س = عدد؛ حيث يمثل العدد حل هذه المعادلة، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[٢]

مثال: ما هو حل المعادلة س-3 = -5؟
- الحل: يُقصد بحل المعادلة إيجاد قيمة س، ويمكن القيام بذلك كما يلي:
  - جعل العدد س على طرف، وباقي الأعداد على طرف آخر، وبالتالي فإنه يجب التخلص من العدد 3.
  - معكوس عملية الطرح هو الجمع، وبالتالي يجب إضافة العدد 3 للطرفين كما يلي: س-3+3 = -5+3
  - وبالتالي فإن حل المعادلة هو س = -2.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات الخطية يمكنك قراءة المقال الآتي: حل معادلة من الدرجة الأولى.

حل المعادلات التربيعية

تُعرف المعادلة التربيعية (بالإنجليزية: Quadratic Equation) بأنها المعادلة التي تكون على الصورة العامة أ س² +ب س+جـ =0؛ حيث أ لا تساوي صفر، ويمكن حل المعادلة التربيعية باستخدام مجموعة من الطرق:^[٣]

باستخدام القانون العام: يمكن استخدام القانون العام لحل أي معادلة تربيعية، وهو س = (-ب±المميز√)/ (2×أ)، حيث:
- أ هو معامل س²، وب هو معامل س، وجـ هو الحد الثابت.
- المميز = ب² – 4×أ×جـ، وإذا كان المميز سالباً فإن المعادلة التربيعية لا تحلّل؛ أي لا حلول لها، وإذا كان مساوياً للصفر فإن لها حلاً واحداً فقط، أما إن كان موجباً فللمعادلة التربيعية حلّان.
- يقصد بإشارة ± أن القانون العام يتم تطبيقه مرتين؛ مرة بالجمع، ومرة بالطرح، وذلك لأن المعادلة التربيعية لها حلان في معظم الأحيان.

مثال: ما هو حل المعادلة س² – 5س = -6 باستخدام القانون العام؟^[٣]

- الحل:
- ترتيب المعادلة بحيث تصبح جميع الحدود على طرف واحد؛ أي تصبح المعادلة على الصورة القياسية، وذلك كما يلي: س²-5س+6 =0.
- في هذه المعادلة إن أ = 1، و ب = -5، وجـ = 6، وبتطبيق القانون العام على المعادلة، ينتج ما يلي:
  - س = -(-5)±((-5)² – 4×1×6)√ / 2×1، ومنه: س = 5± (25-24)√/2، وهذا يعني أن س لها قيمتان:
    - إما س = (5+1)/ 2 = 6/2 = 3
    - أو س = (5-1)/ 2 = 4/2 = 2
- حلول هذه المعادلة هي إما: س= 2، أو س= 3.

باستخدام التحليل إلى العوامل: يمكن حل المعادلة التربيعية باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل، التي لا يمكن استخدامها لحل جميع المعادلات، ويمكن توضيح هذه الطريقة باستخدام المثال الآتي:^[٤]
جد حل المعادلة التربيعية: س²- 4س+4 = 0، باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل:
- الحل: الخطوة الأولى هي كتابة قوسين كما يلي:
  - ( س )( س ) = 0.
- تحليل الحد الأخير (4) إلى عوامله؛ أي كتابة جميع الأعداد التي يساوي حاصل ضربها العدد 4، وحساب مجموع كل عددين منها، وذلك كما يلي:
  - 4 : 2×2، مجموعهما 4.
  - 4 : 1×4، مجموعهما 4
  - 4 : -1×-4، مجموعهما -5.
  - 4 : -2×-2، مجموعهما 4-.
- اختيار العددين اللذين يساوي مجموعهما العدد الأوسط وهو (-4)، وهما: -2،-2.
- كتابة العددين اللذين تم اختيارهما في القوسين كما يلي:
  - (س-2)(س-2) =0.
- يمكن إيجاد حلول المعادلة التربيعية عن طريق مساواة كل قوس من القوسين بالصفر، وذلك كما يلي:
  - س-2 = 0، وبالتالي س = 2.
    - س-2 = 0، وبالتالي س = 2.
- هذا يعني أن لهذه المعادلة التربيعية حل واحد، وهو س = 2.

ملاحظة: إذا كانت إشارة الحد الثابت موجبة فإن القوسين لهما نفس إشارة الحد الأوسط (أي معامل س)، وإذا كانت إشارة الحد الأخير (أي الثابت) سالبة فإن القوسين يكونا مختلفين في الإشارة.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات التربيعية يمكنك قراءة المقالات الآتية: طرق حل المعادلة التربيعية، تحليل المعادلة التربيعية.

حل المعادلات التكعيبية

تعرف المعادلة التكعيبية (بالإنجليزية: Cubic Equation) بأنها المعادلة التي تكون على الصورة: أس³+ب س² + جـ س + د =0، حيث أ لا تساوي صفراً، ويمكن إيجاد حل المعادلة التكعيبية باستخدام مجموعة من الطرق، ومنها القسمة التركيبية كما يلي:^[٥]

يجب في هذه الطريقة أولاً تجربة بعض الأعداد بشكل عشوائي في المعادلة التكعيبية عن طريق تعويضها مكان المتغير (س)، وفي حال العثور على عدد يحقق المعادلة؛ أي يجعلها مساوية للصفر فإنه يتم اعتباره كأول جذر لها، ثم الانتقال للخطوة التالية.
قسمة المعادلة التكعيبية على الجذر وهو العدد الذي تم العثور عليه في الخطوة السابقة باستخدام القسمة التركيبية؛ لتنتج لدينا معادلة تربيعية، يمكن إيجاد جذورها باستخدام إحدى طرق حل المعادلة التربيعية، للحصول على جميع الحلول للمعادلة التكعيبية في النهاية، وذلك كما في المثال الآتي:

مثال: جد الحلول للمعادلة التكعيبية الآتية: 6س³-5س²-17س+6:

الحل: لحل أي معادلة تكعيبية فإنه يجب العثور على عدد يجعل قيمتها مساوية للصفر عند تعويضه مكان المتغير (س)، وذلك كما يلي:
- افتراض العدد 2 على أنه حل للمعادلة التكعيبية، وتعويضه فيها كما يلي:
- 6×2³ – 5×2² – 17×2 +6=0، وهذا يعني أن العدد 2 يمثل أحد حلول المعادلة التكعيبية، ويُكتب كما يلي: (س-2).
- قسمة المعادلة التكعيبية باستخدام القسمة التركيبية على (س-2) لتنتج لدينا المعادلة التربيعية: 6س²+7 س- 3= 0، وبحل هذه المعادلة فإن س = 1/3، و 3/2-.
- وهذا يعني أن جذور المعادلة التكعيبية هي: 1/3، و 3/2-، و2.
أما عن القسمة التركيبية فهي تتم باتباع الخطوات الآتية:^[٦]
- التأكد من أن المقسوم، وهو المعادلة التكعيبية على الصورة العامة أي: أس³ + ب س² + جـ س + د=0
- التأكد من أن المقسوم عليه على صورة (س-ل).
- ترتيب معاملات المعادلة التكعيبية بشكل أفقي بجانب بعضهم البعض، ووضع العدد (ل) يسار إشارة القسمة التركيبية، أي ترتيب المسألة: 6س³-5س²-17س+6 قسمة (س-2) مثلاً كما يلي:

6 -5 -17 6 | 2

ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ |

——————————

ــــ ـــــ ـــــ ــــــ |

- كتابة المعامل الأول للمعادلة التكعيبية أي (أ) (وهو 6 هنا) أسفل الخط الأفقي مباشرة.

6 -5 -17 6 | 2

ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ |

——————————

6 ـــــ ــــــ ــــــ |

- ضرب المعامل الأول أي أ (وهو 6 هنا) بالعدد الموجود في اليسار أي ل (وهو 2 هنا)، ووضع الناتج أسفل المعامل الثاني أي أسفل ب (وهو -5 هنا) فوق الخط الأفقي، ثم إيجاد ناتج جمع هذا العدد (وهو 12 هنا) مع ب (وهي -5 هنا) وكتابة الناتج أسفل الخط الأفقي مباشرة.

6 -5 -17 6 | 2

ــــ 12 ـــــ ـــــ |

——————————

6 7 ـــــــ ـــــــ |

- ضرب ناتج الجمع الذي تم الحصول عليه في الخطوة السابقة؛ أي (7) بالعدد ل (وهو 2 هنا) من جديد، وضع الناتج أسفل المعامل الثالث أي جـ (وهو -17 هنا) مباشرة وفوق الخط الأفقي، ثم جمعه مع جـ، ووضع الناتج أسفل الخط الأفقي مباشرة.
- تكرار العملية حتى الحصول على العدد صفر.
- الأعداد الموجودة أسفل الخط الأفقي هي عوامل المعادلة التربيعية: 6س²+7 س- 3= 0، التي تمثل ناتج عملية القسمة:

6 -5 -17 6 | 2

ــ 12 14 -6 |

——————————

6 7 -3 0 |

لمزيد من المعلومات حول المعادلات التكعيبية يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة.

حل المعادلات الجذرية

المعادلات الجذرية (بالإنجليزية: Radical Equation) هي المعادلات التي تحتوي على جذور تربيعية، أو تكعيبية، أو أية أنواع أخرى من الجذور، ويمكن حلها بسهولة عن طريق تربيع الطرفين إذا كان الجذر تربيعياً، وعن طريق تكعيب الطرفين إذا كان الجذر تكعيبياً، وهكذا، بعد ترتيب المعادلة ليصبح الجذر لوحده على أحد الطرفين، ويمكن توضيح كيفية حل هذه المعادلات باستخدام المثال الآتي:^[٧]

مثال: ما هو حل المعادلة الجذرية الآتية: (2س+9)√ – 5 = 0؟
- الحل: يتم وضع الجذر التربيعي على طرف، وباقي الحدود على الطرف الآخر، وذلك كما يلي:
  - بإضافة العدد 5 للطرفين فإنّ (2س+9)√ = 5.
  - بما أن الجذر تربيعي فإنه يمكن التخلص منه بتربيع الطرفين كما يلي: ((2س+9)√)² = 5²، ومنه: 25 = 2س+9.
  - أصبحت لدينا معادلة خطية، ويمكن حلها بسهولة كما يلي: 2س= 25-9، 2س = 16، ومنه: س = 8، ويمكن التحقق من صحة الحل بتعويض قيمة س في المعادلة الجذرية.

ملاحظة: قد تحتوي بعض المعادلات الجذرية على أكثر من جذر، ويمكن حل هذه المعادلة عن طريق تكرار نفس الخطوات على كل جذر لوحده.^[٧]

حل المعادلات النسبية

يمكن تعريف المعادلات النسبية (بالإنجليزية: Rational Equations) بأنها المعادلات التي تحتوي على حد نسبي (أي كسر) واحد على الأقل، وغالباً تحتوي على متغيرات في المقام، ويتم حلها عن طريق ضرب طرفي المعادلة بأصغر مقام مشترك،^[٨] والأمثلة الآتية توضّح ذلك:^[٩]

مثال: حل المعادلة الآتية: 5/س – 1/3 = 1/س.
- الحل:
  - يمكن ضرب طرفي المعادلة بأصغر مقام مشترك، وهو هنا: 3س، وذلك كما يلي:
  - 3س×(5/س – 1/3) = 3س×(1/س)، ومنه: 15-س = 3، ومنه: س = 12، ويمكن التحقق من صحة الحل بتعويض قيمة س في المعادلة.

مثال: ما هو حل المعادلة: 2 – 1/ س(س+1) = 3/(س+1)؟
- الحل:
- يمكن ضرب طرفي المعادلة بـ س(س+1)، وهو أصغر مقام مشترك وذلك كما يلي:
  - س×(س+1)×(2 -1/س(س+1)) = س(س+1)×(3/(س+1))، وبتبسيط هذه المعادلة فإنّ: 2س(س+1)-1 = 3س
  - بتجميع الحدود نحصل على معادلة تربيعية هي: 2س²+2س-1 = 3س، وبتجميع الحدود لتصبح جميعها على طرف واحد ينتج ما يلي: 2س²-س-1 = 0.
  - بتحليل المعادلة التربيعية إلى عواملها ينتج ما يلي: (2س+1)(س-1) = 0.
  - وبالتالي فإن لهذه المعادلة حلان، وهما: س = -1/2، وس = 1.

طرق حل نظام من المعادلات الجبرية

يمكن تعريف هذا النظام على أنه نظام يتكون من معادلتين خطيتين على الأقل ترتبطان مع بعضهما بعلاقة معينة، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[١٠]
2س + ص = 5
س + ص = -2

يمكن حل نظام المعادلات الجبرية بعدة طرق، وهي:^[١١]

طريقة التعويض: يتم في هذه الطريقة تعويض قيمة أحد المتغيرات من إحدى المعادلات في المعادلة الأخرى، وذلك عن طريق جعله موضوع القانون في المعادلة الأولى، وتعويض قيمته في المعادلة الثانية، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- مثال: يمكن حل نظام المعادلات الذي يتكون من المعادلتين: س+ص = 4، 2س-3ص=3 كما يلي:
  - جعل أي من المتغيرات في أي من المعادلتين موضوع القانون، وفي هذا المثال سوف يتم جعل المتغير س في المعادلة الأولى، وذلك كما يلي: س = 4 – ص.
  - تعويض قيمة هذا المتغير في المعادلة الثانية، وذلك كما يلي: 2×(4 – ص)-3ص = 3.
  - بتجميع الحدود تصبح لدينا معادلة خطية بمتغير واحد، وهي: -5ص= -5، أي: ص = 1.
  - بعد معرفة قيمة ص يمكن تعويض قيمة ص في أي من المعادلات لإيجاد قيمة س، فمثلاً يمكن التعويض في المعادلة الأولى، وذلك كما يلي: س+1 = 4، وبالتالي فإن س = 3.

طريقة الحذف: يتم في هذه الطريقة ضرب، أو قسمة المعادلتين على أي عدد لتصبح قيمة أحد المتغيرين في كلتا المعادلتين متساوية ومختلفة في الإشارة، ثم يتم جمع المعادلتين، أو طرحهما، وذلك لحذف المتغيرين المتشابهين في المعادلتين مع بعضهما، ليتبقى لدينا متغير واحد فقط يمكن إيجاد قيمته بسهولة باستخدام طرق حل المعادلات الخطية، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- يمكن حل هذا النظام الذي يتكون من المعادلتين: س+2ص = 3، 2س-2ص = 3 باستخدام طريقة الحذف كما يلي:
  - يلاحظ من المعادلتين أن المتغيرين 2ص، -2ص متشابهين لكنهما متعاكسين في الإشارة، ويمكن من خلال جمع المعادلتين التخلص منهما دون الحاجة إلى ضرب، أو قسمة المعادلتين بأي عدد.
  - بجمع المعادلتين فإن 3س = 6، وبالتالي فإن س = 2.
  - بتعويض قيمة س في أي من المعادلتين نحصل على قيمة ص، وهي: 1/2.

لمزيد من المعلومات حول حل نظام المعادلات الخطية يمكنك قراءة المقال الآتي: حل جملة معادلتين، طرق حل المعادلات بالمصفوفات.

حل المعادلات المتسامية

حل المعادلات اللوغارتمية

هناك نوعان من المعادلات اللوغريتمية (بالإنجليزية: Logarithmic Equations)، وهما:^[١٢]

عند وجود لوغاريتمين في المعادلة، كل منهما على طرف لوحده، والأساسات متساوية، فإن حلّها يكون باعتبار ما داخل اللوغاريتم متساوياً؛ مثل لو_ب م = لو_ب ن، وبالتالي فإن م=ن.
عند وجود لوغاريتم واحد على أحد طرفي المعادلة اللوغاريتمية كما يلي: لو_ب ن = م، فإنه يتم تحويل هذه المعادلة إلى معادلة أسية: ب ^م = ن، ثم حلّها.

مثال: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية لو₂ (س+2)+لو₂ (3) = لو ₂ (27)؟^[١٢]
- الحل: يمكن استخدام إحدى قواعد اللوغاريتم، وهي: لو_ب (م×ن) = لو _ب م + لو_ب ن، لإعادة كتابة المعادلة اللوغاريتمية في الأعلى كما يلي: لو₂ ((س+2)×3) = لو₂ 27.
- بما أن الأساسات متساوية فإن ما داخل اللوغاريتم متساوٍ أيضاً، وبالتالي: (س+2)×3 = 27، ومنه: 3س+6 = 27، وبحل هذه المعادلة فإن: س= 7.

ملاحظة: يمكن أن تكون قيمة س مساوية للصفر، أو موجبة، أو سالبة، وفي المقابل لا يمكن للقيمة داخل اللوغاريتم أن تكون صفراً، أو سالبة.

مثال: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية لو₅ (س+2) – لو ₅ (س) = لو ₅ (2س-1) – لو₅ (3س-12)؟^[١٢]
- الحل:
- يمكن حل هذه المعادلة باستخدام إحدى قواعد اللوغاريتم، وهي: لو_ب (م/ن) = لو _ب م – لو_ب ن، ومنه:
  - لو ₅ ((س+2)/س) = لو₅((2س-1)/(3س-12)).
  - بما أن الأساسات متساوية فإن ما داخل اللوغاريتم متساوٍ، وبالتالي: (س+2)/س = (2س-1)/(3س-12).
  - بالضرب التبادلي، وتجميع الحدود نحصل على المعادلة التربيعية الآتية: س²-5س-24=0، وبتحليل هذه المعادلة إلى عواملها فإن: (س+3)(س-8) = 0، وبالتالي فإن للمتغير س قيمتان، وهما: س= -3، وس = 8.

حل المعادلات المثلثية

يمكن تعريف المعادلات المثلثية (بالإنجليزية: Trigonometric Equations) بأنها المعادلات التي تربط بين الاقترانات المثلثية لزوايا مجهولة القياس،^[١٣] ويُقصد بحل المعادلات المثلثية إيجاد قيمة الزاوية المجهولة التي تحقق المعادلة،^[١٤] وبشكل عام فإن المعادلات المثلثية لها عدد لا نهائي من الحلول؛ لذلك يتم حصر المجال لقيم الزوايا بين (0، و360) درجة لتقليل عدد حلولها، وفي الحقيقة لا توجد طريقة عامة يمكن استخدامها لحل جميع هذه المعادلات، ولكن هناك بعض الخطوات التي يمكن اتباعها لحلها بسهولة، وهي:^[١٣]

تبسيط المعادلات المثلثية إلى أبسط صورة ممكنة إن أمكن ذلك.
محاولة توحيد جميع الزوايا ضمن الاقترانات المثلثية.
محاولة توحيد الاقترانات المثلثية للزوايا عن طريق استخدام المتطابقات المثلثية.
التحقّق من صحة الحل بعد كل خطوة.

مثال: ما هو حل المعادلة المثلثية 2×جتا²(س) = -3×جتاس+2؛ حيث س تتراوح بين: 0، و360 درجة؟^[١٣]
- ‘الحل:
- ترتيب المعادلة بحيث تصبح جميع الحدود على طرف واحد، وذلك كما يلي:
  - 2×جتا²(س)+ 3×جتاس- 2 = 0
  - يمكن تحليل هذه المعادلة على أنها معادلة تربيعية مثلاً كما يلي:
  - (2 جتاس – 1)(جتاس + 2) = 0
  - يمكن ملاحظة أن للمعادلة حلان، وهما:
    - 2 جتاس – 1 = 0، ومنه: جتاس = 1/2؛ أي أن س هي الزاوية التي تكون قيمة جيب التمام لها تساوي 1/2، وهما الزاويتان: 60°، و300°.
    - وأما الحل الآخر فهو: جتاس+2 = 0، جتاس = -2، ومنه: س = Ø، وهذا يعني أنه لا يوجد حل، وذلك لأن قيمة جيب التمام لأي زاوية يكون محصوراً بين 0، و1، ولا توجد زاوية قيمة جيب التمام لها تساوي -2.
- وهذا يعني أن لهذه المعادلة المثلثية حلان، وهما: س= 60°، و300°.

مثال: ما هو حل المعادلة جا2س = 3 جاس، حيث س محصورة بين 0، و360 درجة؟^[١٣]
- الحل: لدينا زاويتان مختلفتان وهما: 2س، وس، ولجعل الزاويتين متساويتين يمكن استخدام متطابقة: جا2س، وذلك كما يلي: جا2س = 2جاس جتاس = 3 جاس
- جعل جميع الحدود على طرف واحد، وذلك كما يلي: 2جاس جتا س – 3 جا س = 0، استخراج جاس كعامل مشترك لينتج أن: جاس×(2×جتاس-3)=0.
- مساواة كل قيمة بالصفر، وذلك كما يلي:
  - جاس = صفر، ومنه: س = 0، و 180.
  - 2جتاس – 3 = 0، وبالتالي: جتا س= 3/2، ومنه: س= Ø، وهذا يعني أنه لا يوجد حل، وذلك لأن قيمة جيب التمام لأي زاوية تكون محصورة بين 0، و1، ولا توجد زاوية قيمة جيب التمام لها تساوي 3/2.
وهذا يعني أن للمعادلة حلان، وهما: س = 0، وس = 180.

لمزيد من المعلومات حول المتطابقات المثلثية يمكنك قراءة المقال الآتي: قوانين حساب المثلثات.

حل المعادلات الأسية

تعرف المعادلة الأسية (بالإنجليزية: Exponential Equation) بأنها المعادلة التي يقع فيها المجهول أو المتغير في الأس؛ مثل: 3^(س+1) = 9، و 5^ل+3×5^(ل-1)=400، ويمكن حلّها باستخدام عدة طرق كما يلي:^[١٥]

عندما تكون الأساسات متساوية: مثل أ^س = أ^ص، ويكون حلها بالاستعانة بالنظرية التي تقول: عندما تتساوى الأساسات فإن الأسس تتساوى؛ أي أنّه عندما تكون: أ^س = أ^ص، فإنّ: س= ص، بشرط أن تكون (أ) أكبر من صفر، ولا تساوي واحد، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- مثال: 3 ^(س+1) = 9
  - الحل:
  - يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة لتصبح الأساسات متساوية، وذلك كما يلي: 3^(س+1) = 3²
  - بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية أي: س+1= 2، ومنه: س = 1.

عندما تكون الأساسات غير متساوية: ففي هذه الحالة يتم إدخال اللوغريتم على الطرفين ثم إيجاد قيمة المتغيرات، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[١٦]
- مثال: ما هو حل المعادلة الأسية 10^(س+5) – 8 = 60؟
  - الحل:
  - ترتيب المعادلة لتصبح العبارة الأسية على طرف لوحدها، ثم إدخال لو₁₀ على الطرفين، وذلك كما يلي: لو 10^{(س + 5)} = لو 68.
  - (س+5) لو 10 = لو 68.
  - بما أن لو10₁₀ = 1 فإن (س+5) = لو 68، ومنه: س = لو68 – 5
  - باستخدام الآلة الحاسبة لإيجاد لو68 فإن س = 3.1674- تقريباً.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات الأسية يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلة الأسية.

نظرة عامة حول المعادلات

يمكن تعريف المعادلات الجبرية (بالإنجليزية: Algebraic Equations) بأنها المعادلات التي تتكون من حدين جبريين، أو أكثر ترتبط في ما بينها بعمليات جبرية؛ كالجمع، والطرح، والضرب، والقسمة، أو قد تكون مرفوعة لقوة، أو قد تقع المتغيرات داخل الجذر، ومن الأمثلة على ذلك: س³+1، و(ص⁴س² + 2×س×ص- ص)/(س-1) = 12، وتُعرف عملية حل المعادلة الجبرية بأنها عملية إيجاد عدد، أو مجموعة من الأعداد التي يصبح طرفا المعادلة متساويين عند تعويضها مكان المتغير، وتجدر الإشارة إلى أن المعادلات كثيرة الحدود التي تستخدم بشكل كبير في علم الرياضيات تعتبر حالة خاصة من المعادلات الجبرية، والصورة العامة لهذه المعادلات هي كما يلي: أس^ن + ب س ^{(ن – 1)} + ……. و س +ي = ل، حيث:^[١٧]

أ، ب، جـ،….، و: تمثل معاملات المتغير س.
س: يمثل الحد الثابت.
ن: هي أكبر قوة في معادلة كثير الحدود، وتسمى المعادلة باسمها فمثلاً إذا كانت ن = 2 فإن المعادلة تسمى المعادلة التربيعية، وإذا كانت ن = 3 فإن المعادلة تسمى المعادلة التكعيبية، ويكون عدد الحلول للمعادلات كثيرة الحدود عادة مساوياً لقيمة ن.

بعض المعادلات تحتوي على عمليات غير جبرية مثل اللوغريتمات، والاقترانات المثلثية، وتُعرف هذه المعادلات بالمعادلات المتسامية (بالإنجليزية: Transcendental Equation)، مثل: س×جا (س).^[١٧]

المراجع

↑ “Special Binomial Products”, www.mathsisfun.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.
↑ “Solving One-Step Linear Equations: Adding & Subtracting”, www.purplemath.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب “Solving Quadratic Equations”, www.cliffsnotes.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Solve a quadratic equation by factoring”, www.mathwarehouse.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Cubic Equations”, www.toppr.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Synthetic Division Method”, www.chilimath.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب “Solving Radical Equations”, www.mathsisfun.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Solving Rational Equations”, www.chilimath.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Solving Rational Equations”, saylordotorg.github.io, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Systems of Linear Equations”, www.mathsisfun.com, Retrieved 1-5-2020. Edited.
↑ “3 Methods for Solving Systems of Equations”, sciencing.com, Retrieved 1-5-2020. Edited.
^ ^أ ^ب ^ت “Solving Logarithmic Equations”, www.chilimath.com, Retrieved 1-5-2020. Edited.
^ ^أ ^ب ^ت ^ث “Trigonometric Equations”, www.onlinemathlearning.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Trigonometric Equations”, www.math-only-math.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Exponential Equations”, www.siyavula.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “SOLVING EXPONENTIAL EQUATIONS”, www.sosmath.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب “Algebraic equation”, www.britannica.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.

8 أبريل، 2021

0 0 13 دقائق

اترك تعليقاً إلغاء الرد

يجب أنت تكون مسجل الدخول لتضيف تعليقاً.

محتويات

١ حل المعادلات الجبرية
٢ طرق حل نظام من المعادلات الجبرية
٣ حل المعادلات المتسامية
٤ نظرة عامة حول المعادلات
٥ المراجع

حل المعادلات الجبرية

عند حل المعادلات الجبرية تجب مراعاة الأمور الآتية:^[١]

عند حل أي معادلة جبرية فإن الخطوة الأولى هي تجميع الحدود المتشابهة.
يجب الحرص دائماً على إضافة، أو طرح نفس القيمة للطرفين عند حل المعادلات.
للتخلص من الكسر فإنه يتم ضرب الطرفين بمقلوب الكسر.
يجب الحرص دائماً على قسمة طرفي المعادلة بنفس العدد شريطة أن لا يكون مساوياً للصفر.
في بعض الأحيان قد يتم تطبيق بعض الاقترانات على طرفي المعادلة لحلّها مثل تربيع الطرفين.
في حال وجود قوس فإنه يتم توزيع الحدود على القوس قبل البدء في حل المعادلة الجبرية.
لحل المعادلات الجبرية فإنه يتم تحليلها إلى عواملها بطرق مختلفة ثم إيجاد الحلول.
بعض المعادلات الجبرية قد يكون لها نمط مميز، ويمكن حلّها بشكل مباشر وبطرق خاصة باستخدام قواعد معيّنة مثل: الفرق بين مربعين، والفرق بين مكعبين.

حل المعادلات الخطية

تعرف المعادلات الخطية (بالإنجليزية: Linear Equations) بأنها المعادلات التي تكون على الصورة ص = أ س+ب؛ أي تحتوي على متغير واحد وهو س، ويكون مرفوعاً للقوة واحد، ولا تحتوي عادة على متغيرات أكثر تعقيداً مثل: س²، أو س/ص، ويتم حلها عن طريق جعل المتغير المجهول على طرف، ونقل جميع الأعداد الأخرى على الطرف الآخر، للحصول على حل المعادلة في النهاية على صورة: س = عدد؛ حيث يمثل العدد حل هذه المعادلة، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[٢]

مثال: ما هو حل المعادلة س-3 = -5؟
- الحل: يُقصد بحل المعادلة إيجاد قيمة س، ويمكن القيام بذلك كما يلي:
  - جعل العدد س على طرف، وباقي الأعداد على طرف آخر، وبالتالي فإنه يجب التخلص من العدد 3.
  - معكوس عملية الطرح هو الجمع، وبالتالي يجب إضافة العدد 3 للطرفين كما يلي: س-3+3 = -5+3
  - وبالتالي فإن حل المعادلة هو س = -2.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات الخطية يمكنك قراءة المقال الآتي: حل معادلة من الدرجة الأولى.

حل المعادلات التربيعية

تُعرف المعادلة التربيعية (بالإنجليزية: Quadratic Equation) بأنها المعادلة التي تكون على الصورة العامة أ س² +ب س+جـ =0؛ حيث أ لا تساوي صفر، ويمكن حل المعادلة التربيعية باستخدام مجموعة من الطرق:^[٣]

باستخدام القانون العام: يمكن استخدام القانون العام لحل أي معادلة تربيعية، وهو س = (-ب±المميز√)/ (2×أ)، حيث:
- أ هو معامل س²، وب هو معامل س، وجـ هو الحد الثابت.
- المميز = ب² – 4×أ×جـ، وإذا كان المميز سالباً فإن المعادلة التربيعية لا تحلّل؛ أي لا حلول لها، وإذا كان مساوياً للصفر فإن لها حلاً واحداً فقط، أما إن كان موجباً فللمعادلة التربيعية حلّان.
- يقصد بإشارة ± أن القانون العام يتم تطبيقه مرتين؛ مرة بالجمع، ومرة بالطرح، وذلك لأن المعادلة التربيعية لها حلان في معظم الأحيان.

مثال: ما هو حل المعادلة س² – 5س = -6 باستخدام القانون العام؟^[٣]

- الحل:
- ترتيب المعادلة بحيث تصبح جميع الحدود على طرف واحد؛ أي تصبح المعادلة على الصورة القياسية، وذلك كما يلي: س²-5س+6 =0.
- في هذه المعادلة إن أ = 1، و ب = -5، وجـ = 6، وبتطبيق القانون العام على المعادلة، ينتج ما يلي:
  - س = -(-5)±((-5)² – 4×1×6)√ / 2×1، ومنه: س = 5± (25-24)√/2، وهذا يعني أن س لها قيمتان:
    - إما س = (5+1)/ 2 = 6/2 = 3
    - أو س = (5-1)/ 2 = 4/2 = 2
- حلول هذه المعادلة هي إما: س= 2، أو س= 3.

باستخدام التحليل إلى العوامل: يمكن حل المعادلة التربيعية باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل، التي لا يمكن استخدامها لحل جميع المعادلات، ويمكن توضيح هذه الطريقة باستخدام المثال الآتي:^[٤]
جد حل المعادلة التربيعية: س²- 4س+4 = 0، باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل:
- الحل: الخطوة الأولى هي كتابة قوسين كما يلي:
  - ( س )( س ) = 0.
- تحليل الحد الأخير (4) إلى عوامله؛ أي كتابة جميع الأعداد التي يساوي حاصل ضربها العدد 4، وحساب مجموع كل عددين منها، وذلك كما يلي:
  - 4 : 2×2، مجموعهما 4.
  - 4 : 1×4، مجموعهما 4
  - 4 : -1×-4، مجموعهما -5.
  - 4 : -2×-2، مجموعهما 4-.
- اختيار العددين اللذين يساوي مجموعهما العدد الأوسط وهو (-4)، وهما: -2،-2.
- كتابة العددين اللذين تم اختيارهما في القوسين كما يلي:
  - (س-2)(س-2) =0.
- يمكن إيجاد حلول المعادلة التربيعية عن طريق مساواة كل قوس من القوسين بالصفر، وذلك كما يلي:
  - س-2 = 0، وبالتالي س = 2.
    - س-2 = 0، وبالتالي س = 2.
- هذا يعني أن لهذه المعادلة التربيعية حل واحد، وهو س = 2.

ملاحظة: إذا كانت إشارة الحد الثابت موجبة فإن القوسين لهما نفس إشارة الحد الأوسط (أي معامل س)، وإذا كانت إشارة الحد الأخير (أي الثابت) سالبة فإن القوسين يكونا مختلفين في الإشارة.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات التربيعية يمكنك قراءة المقالات الآتية: طرق حل المعادلة التربيعية، تحليل المعادلة التربيعية.

حل المعادلات التكعيبية

تعرف المعادلة التكعيبية (بالإنجليزية: Cubic Equation) بأنها المعادلة التي تكون على الصورة: أس³+ب س² + جـ س + د =0، حيث أ لا تساوي صفراً، ويمكن إيجاد حل المعادلة التكعيبية باستخدام مجموعة من الطرق، ومنها القسمة التركيبية كما يلي:^[٥]

يجب في هذه الطريقة أولاً تجربة بعض الأعداد بشكل عشوائي في المعادلة التكعيبية عن طريق تعويضها مكان المتغير (س)، وفي حال العثور على عدد يحقق المعادلة؛ أي يجعلها مساوية للصفر فإنه يتم اعتباره كأول جذر لها، ثم الانتقال للخطوة التالية.
قسمة المعادلة التكعيبية على الجذر وهو العدد الذي تم العثور عليه في الخطوة السابقة باستخدام القسمة التركيبية؛ لتنتج لدينا معادلة تربيعية، يمكن إيجاد جذورها باستخدام إحدى طرق حل المعادلة التربيعية، للحصول على جميع الحلول للمعادلة التكعيبية في النهاية، وذلك كما في المثال الآتي:

مثال: جد الحلول للمعادلة التكعيبية الآتية: 6س³-5س²-17س+6:

الحل: لحل أي معادلة تكعيبية فإنه يجب العثور على عدد يجعل قيمتها مساوية للصفر عند تعويضه مكان المتغير (س)، وذلك كما يلي:
- افتراض العدد 2 على أنه حل للمعادلة التكعيبية، وتعويضه فيها كما يلي:
- 6×2³ – 5×2² – 17×2 +6=0، وهذا يعني أن العدد 2 يمثل أحد حلول المعادلة التكعيبية، ويُكتب كما يلي: (س-2).
- قسمة المعادلة التكعيبية باستخدام القسمة التركيبية على (س-2) لتنتج لدينا المعادلة التربيعية: 6س²+7 س- 3= 0، وبحل هذه المعادلة فإن س = 1/3، و 3/2-.
- وهذا يعني أن جذور المعادلة التكعيبية هي: 1/3، و 3/2-، و2.
أما عن القسمة التركيبية فهي تتم باتباع الخطوات الآتية:^[٦]
- التأكد من أن المقسوم، وهو المعادلة التكعيبية على الصورة العامة أي: أس³ + ب س² + جـ س + د=0
- التأكد من أن المقسوم عليه على صورة (س-ل).
- ترتيب معاملات المعادلة التكعيبية بشكل أفقي بجانب بعضهم البعض، ووضع العدد (ل) يسار إشارة القسمة التركيبية، أي ترتيب المسألة: 6س³-5س²-17س+6 قسمة (س-2) مثلاً كما يلي:

6 -5 -17 6 | 2

ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ |

——————————

ــــ ـــــ ـــــ ــــــ |

- كتابة المعامل الأول للمعادلة التكعيبية أي (أ) (وهو 6 هنا) أسفل الخط الأفقي مباشرة.

6 -5 -17 6 | 2

ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ |

——————————

6 ـــــ ــــــ ــــــ |

- ضرب المعامل الأول أي أ (وهو 6 هنا) بالعدد الموجود في اليسار أي ل (وهو 2 هنا)، ووضع الناتج أسفل المعامل الثاني أي أسفل ب (وهو -5 هنا) فوق الخط الأفقي، ثم إيجاد ناتج جمع هذا العدد (وهو 12 هنا) مع ب (وهي -5 هنا) وكتابة الناتج أسفل الخط الأفقي مباشرة.

6 -5 -17 6 | 2

ــــ 12 ـــــ ـــــ |

——————————

6 7 ـــــــ ـــــــ |

- ضرب ناتج الجمع الذي تم الحصول عليه في الخطوة السابقة؛ أي (7) بالعدد ل (وهو 2 هنا) من جديد، وضع الناتج أسفل المعامل الثالث أي جـ (وهو -17 هنا) مباشرة وفوق الخط الأفقي، ثم جمعه مع جـ، ووضع الناتج أسفل الخط الأفقي مباشرة.
- تكرار العملية حتى الحصول على العدد صفر.
- الأعداد الموجودة أسفل الخط الأفقي هي عوامل المعادلة التربيعية: 6س²+7 س- 3= 0، التي تمثل ناتج عملية القسمة:

6 -5 -17 6 | 2

ــ 12 14 -6 |

——————————

6 7 -3 0 |

لمزيد من المعلومات حول المعادلات التكعيبية يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة.

حل المعادلات الجذرية

المعادلات الجذرية (بالإنجليزية: Radical Equation) هي المعادلات التي تحتوي على جذور تربيعية، أو تكعيبية، أو أية أنواع أخرى من الجذور، ويمكن حلها بسهولة عن طريق تربيع الطرفين إذا كان الجذر تربيعياً، وعن طريق تكعيب الطرفين إذا كان الجذر تكعيبياً، وهكذا، بعد ترتيب المعادلة ليصبح الجذر لوحده على أحد الطرفين، ويمكن توضيح كيفية حل هذه المعادلات باستخدام المثال الآتي:^[٧]

مثال: ما هو حل المعادلة الجذرية الآتية: (2س+9)√ – 5 = 0؟
- الحل: يتم وضع الجذر التربيعي على طرف، وباقي الحدود على الطرف الآخر، وذلك كما يلي:
  - بإضافة العدد 5 للطرفين فإنّ (2س+9)√ = 5.
  - بما أن الجذر تربيعي فإنه يمكن التخلص منه بتربيع الطرفين كما يلي: ((2س+9)√)² = 5²، ومنه: 25 = 2س+9.
  - أصبحت لدينا معادلة خطية، ويمكن حلها بسهولة كما يلي: 2س= 25-9، 2س = 16، ومنه: س = 8، ويمكن التحقق من صحة الحل بتعويض قيمة س في المعادلة الجذرية.

ملاحظة: قد تحتوي بعض المعادلات الجذرية على أكثر من جذر، ويمكن حل هذه المعادلة عن طريق تكرار نفس الخطوات على كل جذر لوحده.^[٧]

حل المعادلات النسبية

يمكن تعريف المعادلات النسبية (بالإنجليزية: Rational Equations) بأنها المعادلات التي تحتوي على حد نسبي (أي كسر) واحد على الأقل، وغالباً تحتوي على متغيرات في المقام، ويتم حلها عن طريق ضرب طرفي المعادلة بأصغر مقام مشترك،^[٨] والأمثلة الآتية توضّح ذلك:^[٩]

مثال: حل المعادلة الآتية: 5/س – 1/3 = 1/س.
- الحل:
  - يمكن ضرب طرفي المعادلة بأصغر مقام مشترك، وهو هنا: 3س، وذلك كما يلي:
  - 3س×(5/س – 1/3) = 3س×(1/س)، ومنه: 15-س = 3، ومنه: س = 12، ويمكن التحقق من صحة الحل بتعويض قيمة س في المعادلة.

مثال: ما هو حل المعادلة: 2 – 1/ س(س+1) = 3/(س+1)؟
- الحل:
- يمكن ضرب طرفي المعادلة بـ س(س+1)، وهو أصغر مقام مشترك وذلك كما يلي:
  - س×(س+1)×(2 -1/س(س+1)) = س(س+1)×(3/(س+1))، وبتبسيط هذه المعادلة فإنّ: 2س(س+1)-1 = 3س
  - بتجميع الحدود نحصل على معادلة تربيعية هي: 2س²+2س-1 = 3س، وبتجميع الحدود لتصبح جميعها على طرف واحد ينتج ما يلي: 2س²-س-1 = 0.
  - بتحليل المعادلة التربيعية إلى عواملها ينتج ما يلي: (2س+1)(س-1) = 0.
  - وبالتالي فإن لهذه المعادلة حلان، وهما: س = -1/2، وس = 1.

طرق حل نظام من المعادلات الجبرية

يمكن تعريف هذا النظام على أنه نظام يتكون من معادلتين خطيتين على الأقل ترتبطان مع بعضهما بعلاقة معينة، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[١٠]
2س + ص = 5
س + ص = -2

يمكن حل نظام المعادلات الجبرية بعدة طرق، وهي:^[١١]

طريقة التعويض: يتم في هذه الطريقة تعويض قيمة أحد المتغيرات من إحدى المعادلات في المعادلة الأخرى، وذلك عن طريق جعله موضوع القانون في المعادلة الأولى، وتعويض قيمته في المعادلة الثانية، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- مثال: يمكن حل نظام المعادلات الذي يتكون من المعادلتين: س+ص = 4، 2س-3ص=3 كما يلي:
  - جعل أي من المتغيرات في أي من المعادلتين موضوع القانون، وفي هذا المثال سوف يتم جعل المتغير س في المعادلة الأولى، وذلك كما يلي: س = 4 – ص.
  - تعويض قيمة هذا المتغير في المعادلة الثانية، وذلك كما يلي: 2×(4 – ص)-3ص = 3.
  - بتجميع الحدود تصبح لدينا معادلة خطية بمتغير واحد، وهي: -5ص= -5، أي: ص = 1.
  - بعد معرفة قيمة ص يمكن تعويض قيمة ص في أي من المعادلات لإيجاد قيمة س، فمثلاً يمكن التعويض في المعادلة الأولى، وذلك كما يلي: س+1 = 4، وبالتالي فإن س = 3.

طريقة الحذف: يتم في هذه الطريقة ضرب، أو قسمة المعادلتين على أي عدد لتصبح قيمة أحد المتغيرين في كلتا المعادلتين متساوية ومختلفة في الإشارة، ثم يتم جمع المعادلتين، أو طرحهما، وذلك لحذف المتغيرين المتشابهين في المعادلتين مع بعضهما، ليتبقى لدينا متغير واحد فقط يمكن إيجاد قيمته بسهولة باستخدام طرق حل المعادلات الخطية، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- يمكن حل هذا النظام الذي يتكون من المعادلتين: س+2ص = 3، 2س-2ص = 3 باستخدام طريقة الحذف كما يلي:
  - يلاحظ من المعادلتين أن المتغيرين 2ص، -2ص متشابهين لكنهما متعاكسين في الإشارة، ويمكن من خلال جمع المعادلتين التخلص منهما دون الحاجة إلى ضرب، أو قسمة المعادلتين بأي عدد.
  - بجمع المعادلتين فإن 3س = 6، وبالتالي فإن س = 2.
  - بتعويض قيمة س في أي من المعادلتين نحصل على قيمة ص، وهي: 1/2.

لمزيد من المعلومات حول حل نظام المعادلات الخطية يمكنك قراءة المقال الآتي: حل جملة معادلتين، طرق حل المعادلات بالمصفوفات.

حل المعادلات المتسامية

حل المعادلات اللوغارتمية

هناك نوعان من المعادلات اللوغريتمية (بالإنجليزية: Logarithmic Equations)، وهما:^[١٢]

عند وجود لوغاريتمين في المعادلة، كل منهما على طرف لوحده، والأساسات متساوية، فإن حلّها يكون باعتبار ما داخل اللوغاريتم متساوياً؛ مثل لو_ب م = لو_ب ن، وبالتالي فإن م=ن.
عند وجود لوغاريتم واحد على أحد طرفي المعادلة اللوغاريتمية كما يلي: لو_ب ن = م، فإنه يتم تحويل هذه المعادلة إلى معادلة أسية: ب ^م = ن، ثم حلّها.

مثال: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية لو₂ (س+2)+لو₂ (3) = لو ₂ (27)؟^[١٢]
- الحل: يمكن استخدام إحدى قواعد اللوغاريتم، وهي: لو_ب (م×ن) = لو _ب م + لو_ب ن، لإعادة كتابة المعادلة اللوغاريتمية في الأعلى كما يلي: لو₂ ((س+2)×3) = لو₂ 27.
- بما أن الأساسات متساوية فإن ما داخل اللوغاريتم متساوٍ أيضاً، وبالتالي: (س+2)×3 = 27، ومنه: 3س+6 = 27، وبحل هذه المعادلة فإن: س= 7.

ملاحظة: يمكن أن تكون قيمة س مساوية للصفر، أو موجبة، أو سالبة، وفي المقابل لا يمكن للقيمة داخل اللوغاريتم أن تكون صفراً، أو سالبة.

مثال: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية لو₅ (س+2) – لو ₅ (س) = لو ₅ (2س-1) – لو₅ (3س-12)؟^[١٢]
- الحل:
- يمكن حل هذه المعادلة باستخدام إحدى قواعد اللوغاريتم، وهي: لو_ب (م/ن) = لو _ب م – لو_ب ن، ومنه:
  - لو ₅ ((س+2)/س) = لو₅((2س-1)/(3س-12)).
  - بما أن الأساسات متساوية فإن ما داخل اللوغاريتم متساوٍ، وبالتالي: (س+2)/س = (2س-1)/(3س-12).
  - بالضرب التبادلي، وتجميع الحدود نحصل على المعادلة التربيعية الآتية: س²-5س-24=0، وبتحليل هذه المعادلة إلى عواملها فإن: (س+3)(س-8) = 0، وبالتالي فإن للمتغير س قيمتان، وهما: س= -3، وس = 8.

حل المعادلات المثلثية

يمكن تعريف المعادلات المثلثية (بالإنجليزية: Trigonometric Equations) بأنها المعادلات التي تربط بين الاقترانات المثلثية لزوايا مجهولة القياس،^[١٣] ويُقصد بحل المعادلات المثلثية إيجاد قيمة الزاوية المجهولة التي تحقق المعادلة،^[١٤] وبشكل عام فإن المعادلات المثلثية لها عدد لا نهائي من الحلول؛ لذلك يتم حصر المجال لقيم الزوايا بين (0، و360) درجة لتقليل عدد حلولها، وفي الحقيقة لا توجد طريقة عامة يمكن استخدامها لحل جميع هذه المعادلات، ولكن هناك بعض الخطوات التي يمكن اتباعها لحلها بسهولة، وهي:^[١٣]

تبسيط المعادلات المثلثية إلى أبسط صورة ممكنة إن أمكن ذلك.
محاولة توحيد جميع الزوايا ضمن الاقترانات المثلثية.
محاولة توحيد الاقترانات المثلثية للزوايا عن طريق استخدام المتطابقات المثلثية.
التحقّق من صحة الحل بعد كل خطوة.

مثال: ما هو حل المعادلة المثلثية 2×جتا²(س) = -3×جتاس+2؛ حيث س تتراوح بين: 0، و360 درجة؟^[١٣]
- ‘الحل:
- ترتيب المعادلة بحيث تصبح جميع الحدود على طرف واحد، وذلك كما يلي:
  - 2×جتا²(س)+ 3×جتاس- 2 = 0
  - يمكن تحليل هذه المعادلة على أنها معادلة تربيعية مثلاً كما يلي:
  - (2 جتاس – 1)(جتاس + 2) = 0
  - يمكن ملاحظة أن للمعادلة حلان، وهما:
    - 2 جتاس – 1 = 0، ومنه: جتاس = 1/2؛ أي أن س هي الزاوية التي تكون قيمة جيب التمام لها تساوي 1/2، وهما الزاويتان: 60°، و300°.
    - وأما الحل الآخر فهو: جتاس+2 = 0، جتاس = -2، ومنه: س = Ø، وهذا يعني أنه لا يوجد حل، وذلك لأن قيمة جيب التمام لأي زاوية يكون محصوراً بين 0، و1، ولا توجد زاوية قيمة جيب التمام لها تساوي -2.
- وهذا يعني أن لهذه المعادلة المثلثية حلان، وهما: س= 60°، و300°.

مثال: ما هو حل المعادلة جا2س = 3 جاس، حيث س محصورة بين 0، و360 درجة؟^[١٣]
- الحل: لدينا زاويتان مختلفتان وهما: 2س، وس، ولجعل الزاويتين متساويتين يمكن استخدام متطابقة: جا2س، وذلك كما يلي: جا2س = 2جاس جتاس = 3 جاس
- جعل جميع الحدود على طرف واحد، وذلك كما يلي: 2جاس جتا س – 3 جا س = 0، استخراج جاس كعامل مشترك لينتج أن: جاس×(2×جتاس-3)=0.
- مساواة كل قيمة بالصفر، وذلك كما يلي:
  - جاس = صفر، ومنه: س = 0، و 180.
  - 2جتاس – 3 = 0، وبالتالي: جتا س= 3/2، ومنه: س= Ø، وهذا يعني أنه لا يوجد حل، وذلك لأن قيمة جيب التمام لأي زاوية تكون محصورة بين 0، و1، ولا توجد زاوية قيمة جيب التمام لها تساوي 3/2.
وهذا يعني أن للمعادلة حلان، وهما: س = 0، وس = 180.

لمزيد من المعلومات حول المتطابقات المثلثية يمكنك قراءة المقال الآتي: قوانين حساب المثلثات.

حل المعادلات الأسية

تعرف المعادلة الأسية (بالإنجليزية: Exponential Equation) بأنها المعادلة التي يقع فيها المجهول أو المتغير في الأس؛ مثل: 3^(س+1) = 9، و 5^ل+3×5^(ل-1)=400، ويمكن حلّها باستخدام عدة طرق كما يلي:^[١٥]

عندما تكون الأساسات متساوية: مثل أ^س = أ^ص، ويكون حلها بالاستعانة بالنظرية التي تقول: عندما تتساوى الأساسات فإن الأسس تتساوى؛ أي أنّه عندما تكون: أ^س = أ^ص، فإنّ: س= ص، بشرط أن تكون (أ) أكبر من صفر، ولا تساوي واحد، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- مثال: 3 ^(س+1) = 9
  - الحل:
  - يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة لتصبح الأساسات متساوية، وذلك كما يلي: 3^(س+1) = 3²
  - بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية أي: س+1= 2، ومنه: س = 1.

عندما تكون الأساسات غير متساوية: ففي هذه الحالة يتم إدخال اللوغريتم على الطرفين ثم إيجاد قيمة المتغيرات، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[١٦]
- مثال: ما هو حل المعادلة الأسية 10^(س+5) – 8 = 60؟
  - الحل:
  - ترتيب المعادلة لتصبح العبارة الأسية على طرف لوحدها، ثم إدخال لو₁₀ على الطرفين، وذلك كما يلي: لو 10^{(س + 5)} = لو 68.
  - (س+5) لو 10 = لو 68.
  - بما أن لو10₁₀ = 1 فإن (س+5) = لو 68، ومنه: س = لو68 – 5
  - باستخدام الآلة الحاسبة لإيجاد لو68 فإن س = 3.1674- تقريباً.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات الأسية يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلة الأسية.

نظرة عامة حول المعادلات

يمكن تعريف المعادلات الجبرية (بالإنجليزية: Algebraic Equations) بأنها المعادلات التي تتكون من حدين جبريين، أو أكثر ترتبط في ما بينها بعمليات جبرية؛ كالجمع، والطرح، والضرب، والقسمة، أو قد تكون مرفوعة لقوة، أو قد تقع المتغيرات داخل الجذر، ومن الأمثلة على ذلك: س³+1، و(ص⁴س² + 2×س×ص- ص)/(س-1) = 12، وتُعرف عملية حل المعادلة الجبرية بأنها عملية إيجاد عدد، أو مجموعة من الأعداد التي يصبح طرفا المعادلة متساويين عند تعويضها مكان المتغير، وتجدر الإشارة إلى أن المعادلات كثيرة الحدود التي تستخدم بشكل كبير في علم الرياضيات تعتبر حالة خاصة من المعادلات الجبرية، والصورة العامة لهذه المعادلات هي كما يلي: أس^ن + ب س ^{(ن – 1)} + ……. و س +ي = ل، حيث:^[١٧]

أ، ب، جـ،….، و: تمثل معاملات المتغير س.
س: يمثل الحد الثابت.
ن: هي أكبر قوة في معادلة كثير الحدود، وتسمى المعادلة باسمها فمثلاً إذا كانت ن = 2 فإن المعادلة تسمى المعادلة التربيعية، وإذا كانت ن = 3 فإن المعادلة تسمى المعادلة التكعيبية، ويكون عدد الحلول للمعادلات كثيرة الحدود عادة مساوياً لقيمة ن.

بعض المعادلات تحتوي على عمليات غير جبرية مثل اللوغريتمات، والاقترانات المثلثية، وتُعرف هذه المعادلات بالمعادلات المتسامية (بالإنجليزية: Transcendental Equation)، مثل: س×جا (س).^[١٧]

المراجع

↑ “Special Binomial Products”, www.mathsisfun.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.
↑ “Solving One-Step Linear Equations: Adding & Subtracting”, www.purplemath.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب “Solving Quadratic Equations”, www.cliffsnotes.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Solve a quadratic equation by factoring”, www.mathwarehouse.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Cubic Equations”, www.toppr.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Synthetic Division Method”, www.chilimath.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب “Solving Radical Equations”, www.mathsisfun.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Solving Rational Equations”, www.chilimath.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Solving Rational Equations”, saylordotorg.github.io, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Systems of Linear Equations”, www.mathsisfun.com, Retrieved 1-5-2020. Edited.
↑ “3 Methods for Solving Systems of Equations”, sciencing.com, Retrieved 1-5-2020. Edited.
^ ^أ ^ب ^ت “Solving Logarithmic Equations”, www.chilimath.com, Retrieved 1-5-2020. Edited.
^ ^أ ^ب ^ت ^ث “Trigonometric Equations”, www.onlinemathlearning.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Trigonometric Equations”, www.math-only-math.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Exponential Equations”, www.siyavula.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “SOLVING EXPONENTIAL EQUATIONS”, www.sosmath.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب “Algebraic equation”, www.britannica.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.

8 أبريل، 2021

0 0 13 دقائق

اترك تعليقاً إلغاء الرد

يجب أنت تكون مسجل الدخول لتضيف تعليقاً.

محتويات

١ حل المعادلات الجبرية
٢ طرق حل نظام من المعادلات الجبرية
٣ حل المعادلات المتسامية
٤ نظرة عامة حول المعادلات
٥ المراجع

حل المعادلات الجبرية

عند حل المعادلات الجبرية تجب مراعاة الأمور الآتية:^[١]

عند حل أي معادلة جبرية فإن الخطوة الأولى هي تجميع الحدود المتشابهة.
يجب الحرص دائماً على إضافة، أو طرح نفس القيمة للطرفين عند حل المعادلات.
للتخلص من الكسر فإنه يتم ضرب الطرفين بمقلوب الكسر.
يجب الحرص دائماً على قسمة طرفي المعادلة بنفس العدد شريطة أن لا يكون مساوياً للصفر.
في بعض الأحيان قد يتم تطبيق بعض الاقترانات على طرفي المعادلة لحلّها مثل تربيع الطرفين.
في حال وجود قوس فإنه يتم توزيع الحدود على القوس قبل البدء في حل المعادلة الجبرية.
لحل المعادلات الجبرية فإنه يتم تحليلها إلى عواملها بطرق مختلفة ثم إيجاد الحلول.
بعض المعادلات الجبرية قد يكون لها نمط مميز، ويمكن حلّها بشكل مباشر وبطرق خاصة باستخدام قواعد معيّنة مثل: الفرق بين مربعين، والفرق بين مكعبين.

حل المعادلات الخطية

تعرف المعادلات الخطية (بالإنجليزية: Linear Equations) بأنها المعادلات التي تكون على الصورة ص = أ س+ب؛ أي تحتوي على متغير واحد وهو س، ويكون مرفوعاً للقوة واحد، ولا تحتوي عادة على متغيرات أكثر تعقيداً مثل: س²، أو س/ص، ويتم حلها عن طريق جعل المتغير المجهول على طرف، ونقل جميع الأعداد الأخرى على الطرف الآخر، للحصول على حل المعادلة في النهاية على صورة: س = عدد؛ حيث يمثل العدد حل هذه المعادلة، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[٢]

مثال: ما هو حل المعادلة س-3 = -5؟
- الحل: يُقصد بحل المعادلة إيجاد قيمة س، ويمكن القيام بذلك كما يلي:
  - جعل العدد س على طرف، وباقي الأعداد على طرف آخر، وبالتالي فإنه يجب التخلص من العدد 3.
  - معكوس عملية الطرح هو الجمع، وبالتالي يجب إضافة العدد 3 للطرفين كما يلي: س-3+3 = -5+3
  - وبالتالي فإن حل المعادلة هو س = -2.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات الخطية يمكنك قراءة المقال الآتي: حل معادلة من الدرجة الأولى.

حل المعادلات التربيعية

تُعرف المعادلة التربيعية (بالإنجليزية: Quadratic Equation) بأنها المعادلة التي تكون على الصورة العامة أ س² +ب س+جـ =0؛ حيث أ لا تساوي صفر، ويمكن حل المعادلة التربيعية باستخدام مجموعة من الطرق:^[٣]

باستخدام القانون العام: يمكن استخدام القانون العام لحل أي معادلة تربيعية، وهو س = (-ب±المميز√)/ (2×أ)، حيث:
- أ هو معامل س²، وب هو معامل س، وجـ هو الحد الثابت.
- المميز = ب² – 4×أ×جـ، وإذا كان المميز سالباً فإن المعادلة التربيعية لا تحلّل؛ أي لا حلول لها، وإذا كان مساوياً للصفر فإن لها حلاً واحداً فقط، أما إن كان موجباً فللمعادلة التربيعية حلّان.
- يقصد بإشارة ± أن القانون العام يتم تطبيقه مرتين؛ مرة بالجمع، ومرة بالطرح، وذلك لأن المعادلة التربيعية لها حلان في معظم الأحيان.

مثال: ما هو حل المعادلة س² – 5س = -6 باستخدام القانون العام؟^[٣]

- الحل:
- ترتيب المعادلة بحيث تصبح جميع الحدود على طرف واحد؛ أي تصبح المعادلة على الصورة القياسية، وذلك كما يلي: س²-5س+6 =0.
- في هذه المعادلة إن أ = 1، و ب = -5، وجـ = 6، وبتطبيق القانون العام على المعادلة، ينتج ما يلي:
  - س = -(-5)±((-5)² – 4×1×6)√ / 2×1، ومنه: س = 5± (25-24)√/2، وهذا يعني أن س لها قيمتان:
    - إما س = (5+1)/ 2 = 6/2 = 3
    - أو س = (5-1)/ 2 = 4/2 = 2
- حلول هذه المعادلة هي إما: س= 2، أو س= 3.

باستخدام التحليل إلى العوامل: يمكن حل المعادلة التربيعية باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل، التي لا يمكن استخدامها لحل جميع المعادلات، ويمكن توضيح هذه الطريقة باستخدام المثال الآتي:^[٤]
جد حل المعادلة التربيعية: س²- 4س+4 = 0، باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل:
- الحل: الخطوة الأولى هي كتابة قوسين كما يلي:
  - ( س )( س ) = 0.
- تحليل الحد الأخير (4) إلى عوامله؛ أي كتابة جميع الأعداد التي يساوي حاصل ضربها العدد 4، وحساب مجموع كل عددين منها، وذلك كما يلي:
  - 4 : 2×2، مجموعهما 4.
  - 4 : 1×4، مجموعهما 4
  - 4 : -1×-4، مجموعهما -5.
  - 4 : -2×-2، مجموعهما 4-.
- اختيار العددين اللذين يساوي مجموعهما العدد الأوسط وهو (-4)، وهما: -2،-2.
- كتابة العددين اللذين تم اختيارهما في القوسين كما يلي:
  - (س-2)(س-2) =0.
- يمكن إيجاد حلول المعادلة التربيعية عن طريق مساواة كل قوس من القوسين بالصفر، وذلك كما يلي:
  - س-2 = 0، وبالتالي س = 2.
    - س-2 = 0، وبالتالي س = 2.
- هذا يعني أن لهذه المعادلة التربيعية حل واحد، وهو س = 2.

ملاحظة: إذا كانت إشارة الحد الثابت موجبة فإن القوسين لهما نفس إشارة الحد الأوسط (أي معامل س)، وإذا كانت إشارة الحد الأخير (أي الثابت) سالبة فإن القوسين يكونا مختلفين في الإشارة.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات التربيعية يمكنك قراءة المقالات الآتية: طرق حل المعادلة التربيعية، تحليل المعادلة التربيعية.

حل المعادلات التكعيبية

تعرف المعادلة التكعيبية (بالإنجليزية: Cubic Equation) بأنها المعادلة التي تكون على الصورة: أس³+ب س² + جـ س + د =0، حيث أ لا تساوي صفراً، ويمكن إيجاد حل المعادلة التكعيبية باستخدام مجموعة من الطرق، ومنها القسمة التركيبية كما يلي:^[٥]

يجب في هذه الطريقة أولاً تجربة بعض الأعداد بشكل عشوائي في المعادلة التكعيبية عن طريق تعويضها مكان المتغير (س)، وفي حال العثور على عدد يحقق المعادلة؛ أي يجعلها مساوية للصفر فإنه يتم اعتباره كأول جذر لها، ثم الانتقال للخطوة التالية.
قسمة المعادلة التكعيبية على الجذر وهو العدد الذي تم العثور عليه في الخطوة السابقة باستخدام القسمة التركيبية؛ لتنتج لدينا معادلة تربيعية، يمكن إيجاد جذورها باستخدام إحدى طرق حل المعادلة التربيعية، للحصول على جميع الحلول للمعادلة التكعيبية في النهاية، وذلك كما في المثال الآتي:

مثال: جد الحلول للمعادلة التكعيبية الآتية: 6س³-5س²-17س+6:

الحل: لحل أي معادلة تكعيبية فإنه يجب العثور على عدد يجعل قيمتها مساوية للصفر عند تعويضه مكان المتغير (س)، وذلك كما يلي:
- افتراض العدد 2 على أنه حل للمعادلة التكعيبية، وتعويضه فيها كما يلي:
- 6×2³ – 5×2² – 17×2 +6=0، وهذا يعني أن العدد 2 يمثل أحد حلول المعادلة التكعيبية، ويُكتب كما يلي: (س-2).
- قسمة المعادلة التكعيبية باستخدام القسمة التركيبية على (س-2) لتنتج لدينا المعادلة التربيعية: 6س²+7 س- 3= 0، وبحل هذه المعادلة فإن س = 1/3، و 3/2-.
- وهذا يعني أن جذور المعادلة التكعيبية هي: 1/3، و 3/2-، و2.
أما عن القسمة التركيبية فهي تتم باتباع الخطوات الآتية:^[٦]
- التأكد من أن المقسوم، وهو المعادلة التكعيبية على الصورة العامة أي: أس³ + ب س² + جـ س + د=0
- التأكد من أن المقسوم عليه على صورة (س-ل).
- ترتيب معاملات المعادلة التكعيبية بشكل أفقي بجانب بعضهم البعض، ووضع العدد (ل) يسار إشارة القسمة التركيبية، أي ترتيب المسألة: 6س³-5س²-17س+6 قسمة (س-2) مثلاً كما يلي:

6 -5 -17 6 | 2

ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ |

——————————

ــــ ـــــ ـــــ ــــــ |

- كتابة المعامل الأول للمعادلة التكعيبية أي (أ) (وهو 6 هنا) أسفل الخط الأفقي مباشرة.

6 -5 -17 6 | 2

ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ |

——————————

6 ـــــ ــــــ ــــــ |

- ضرب المعامل الأول أي أ (وهو 6 هنا) بالعدد الموجود في اليسار أي ل (وهو 2 هنا)، ووضع الناتج أسفل المعامل الثاني أي أسفل ب (وهو -5 هنا) فوق الخط الأفقي، ثم إيجاد ناتج جمع هذا العدد (وهو 12 هنا) مع ب (وهي -5 هنا) وكتابة الناتج أسفل الخط الأفقي مباشرة.

6 -5 -17 6 | 2

ــــ 12 ـــــ ـــــ |

——————————

6 7 ـــــــ ـــــــ |

- ضرب ناتج الجمع الذي تم الحصول عليه في الخطوة السابقة؛ أي (7) بالعدد ل (وهو 2 هنا) من جديد، وضع الناتج أسفل المعامل الثالث أي جـ (وهو -17 هنا) مباشرة وفوق الخط الأفقي، ثم جمعه مع جـ، ووضع الناتج أسفل الخط الأفقي مباشرة.
- تكرار العملية حتى الحصول على العدد صفر.
- الأعداد الموجودة أسفل الخط الأفقي هي عوامل المعادلة التربيعية: 6س²+7 س- 3= 0، التي تمثل ناتج عملية القسمة:

6 -5 -17 6 | 2

ــ 12 14 -6 |

——————————

6 7 -3 0 |

لمزيد من المعلومات حول المعادلات التكعيبية يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة.

حل المعادلات الجذرية

المعادلات الجذرية (بالإنجليزية: Radical Equation) هي المعادلات التي تحتوي على جذور تربيعية، أو تكعيبية، أو أية أنواع أخرى من الجذور، ويمكن حلها بسهولة عن طريق تربيع الطرفين إذا كان الجذر تربيعياً، وعن طريق تكعيب الطرفين إذا كان الجذر تكعيبياً، وهكذا، بعد ترتيب المعادلة ليصبح الجذر لوحده على أحد الطرفين، ويمكن توضيح كيفية حل هذه المعادلات باستخدام المثال الآتي:^[٧]

مثال: ما هو حل المعادلة الجذرية الآتية: (2س+9)√ – 5 = 0؟
- الحل: يتم وضع الجذر التربيعي على طرف، وباقي الحدود على الطرف الآخر، وذلك كما يلي:
  - بإضافة العدد 5 للطرفين فإنّ (2س+9)√ = 5.
  - بما أن الجذر تربيعي فإنه يمكن التخلص منه بتربيع الطرفين كما يلي: ((2س+9)√)² = 5²، ومنه: 25 = 2س+9.
  - أصبحت لدينا معادلة خطية، ويمكن حلها بسهولة كما يلي: 2س= 25-9، 2س = 16، ومنه: س = 8، ويمكن التحقق من صحة الحل بتعويض قيمة س في المعادلة الجذرية.

ملاحظة: قد تحتوي بعض المعادلات الجذرية على أكثر من جذر، ويمكن حل هذه المعادلة عن طريق تكرار نفس الخطوات على كل جذر لوحده.^[٧]

حل المعادلات النسبية

يمكن تعريف المعادلات النسبية (بالإنجليزية: Rational Equations) بأنها المعادلات التي تحتوي على حد نسبي (أي كسر) واحد على الأقل، وغالباً تحتوي على متغيرات في المقام، ويتم حلها عن طريق ضرب طرفي المعادلة بأصغر مقام مشترك،^[٨] والأمثلة الآتية توضّح ذلك:^[٩]

مثال: حل المعادلة الآتية: 5/س – 1/3 = 1/س.
- الحل:
  - يمكن ضرب طرفي المعادلة بأصغر مقام مشترك، وهو هنا: 3س، وذلك كما يلي:
  - 3س×(5/س – 1/3) = 3س×(1/س)، ومنه: 15-س = 3، ومنه: س = 12، ويمكن التحقق من صحة الحل بتعويض قيمة س في المعادلة.

مثال: ما هو حل المعادلة: 2 – 1/ س(س+1) = 3/(س+1)؟
- الحل:
- يمكن ضرب طرفي المعادلة بـ س(س+1)، وهو أصغر مقام مشترك وذلك كما يلي:
  - س×(س+1)×(2 -1/س(س+1)) = س(س+1)×(3/(س+1))، وبتبسيط هذه المعادلة فإنّ: 2س(س+1)-1 = 3س
  - بتجميع الحدود نحصل على معادلة تربيعية هي: 2س²+2س-1 = 3س، وبتجميع الحدود لتصبح جميعها على طرف واحد ينتج ما يلي: 2س²-س-1 = 0.
  - بتحليل المعادلة التربيعية إلى عواملها ينتج ما يلي: (2س+1)(س-1) = 0.
  - وبالتالي فإن لهذه المعادلة حلان، وهما: س = -1/2، وس = 1.

طرق حل نظام من المعادلات الجبرية

يمكن تعريف هذا النظام على أنه نظام يتكون من معادلتين خطيتين على الأقل ترتبطان مع بعضهما بعلاقة معينة، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[١٠]
2س + ص = 5
س + ص = -2

يمكن حل نظام المعادلات الجبرية بعدة طرق، وهي:^[١١]

طريقة التعويض: يتم في هذه الطريقة تعويض قيمة أحد المتغيرات من إحدى المعادلات في المعادلة الأخرى، وذلك عن طريق جعله موضوع القانون في المعادلة الأولى، وتعويض قيمته في المعادلة الثانية، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- مثال: يمكن حل نظام المعادلات الذي يتكون من المعادلتين: س+ص = 4، 2س-3ص=3 كما يلي:
  - جعل أي من المتغيرات في أي من المعادلتين موضوع القانون، وفي هذا المثال سوف يتم جعل المتغير س في المعادلة الأولى، وذلك كما يلي: س = 4 – ص.
  - تعويض قيمة هذا المتغير في المعادلة الثانية، وذلك كما يلي: 2×(4 – ص)-3ص = 3.
  - بتجميع الحدود تصبح لدينا معادلة خطية بمتغير واحد، وهي: -5ص= -5، أي: ص = 1.
  - بعد معرفة قيمة ص يمكن تعويض قيمة ص في أي من المعادلات لإيجاد قيمة س، فمثلاً يمكن التعويض في المعادلة الأولى، وذلك كما يلي: س+1 = 4، وبالتالي فإن س = 3.

طريقة الحذف: يتم في هذه الطريقة ضرب، أو قسمة المعادلتين على أي عدد لتصبح قيمة أحد المتغيرين في كلتا المعادلتين متساوية ومختلفة في الإشارة، ثم يتم جمع المعادلتين، أو طرحهما، وذلك لحذف المتغيرين المتشابهين في المعادلتين مع بعضهما، ليتبقى لدينا متغير واحد فقط يمكن إيجاد قيمته بسهولة باستخدام طرق حل المعادلات الخطية، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- يمكن حل هذا النظام الذي يتكون من المعادلتين: س+2ص = 3، 2س-2ص = 3 باستخدام طريقة الحذف كما يلي:
  - يلاحظ من المعادلتين أن المتغيرين 2ص، -2ص متشابهين لكنهما متعاكسين في الإشارة، ويمكن من خلال جمع المعادلتين التخلص منهما دون الحاجة إلى ضرب، أو قسمة المعادلتين بأي عدد.
  - بجمع المعادلتين فإن 3س = 6، وبالتالي فإن س = 2.
  - بتعويض قيمة س في أي من المعادلتين نحصل على قيمة ص، وهي: 1/2.

لمزيد من المعلومات حول حل نظام المعادلات الخطية يمكنك قراءة المقال الآتي: حل جملة معادلتين، طرق حل المعادلات بالمصفوفات.

حل المعادلات المتسامية

حل المعادلات اللوغارتمية

هناك نوعان من المعادلات اللوغريتمية (بالإنجليزية: Logarithmic Equations)، وهما:^[١٢]

عند وجود لوغاريتمين في المعادلة، كل منهما على طرف لوحده، والأساسات متساوية، فإن حلّها يكون باعتبار ما داخل اللوغاريتم متساوياً؛ مثل لو_ب م = لو_ب ن، وبالتالي فإن م=ن.
عند وجود لوغاريتم واحد على أحد طرفي المعادلة اللوغاريتمية كما يلي: لو_ب ن = م، فإنه يتم تحويل هذه المعادلة إلى معادلة أسية: ب ^م = ن، ثم حلّها.

مثال: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية لو₂ (س+2)+لو₂ (3) = لو ₂ (27)؟^[١٢]
- الحل: يمكن استخدام إحدى قواعد اللوغاريتم، وهي: لو_ب (م×ن) = لو _ب م + لو_ب ن، لإعادة كتابة المعادلة اللوغاريتمية في الأعلى كما يلي: لو₂ ((س+2)×3) = لو₂ 27.
- بما أن الأساسات متساوية فإن ما داخل اللوغاريتم متساوٍ أيضاً، وبالتالي: (س+2)×3 = 27، ومنه: 3س+6 = 27، وبحل هذه المعادلة فإن: س= 7.

ملاحظة: يمكن أن تكون قيمة س مساوية للصفر، أو موجبة، أو سالبة، وفي المقابل لا يمكن للقيمة داخل اللوغاريتم أن تكون صفراً، أو سالبة.

مثال: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية لو₅ (س+2) – لو ₅ (س) = لو ₅ (2س-1) – لو₅ (3س-12)؟^[١٢]
- الحل:
- يمكن حل هذه المعادلة باستخدام إحدى قواعد اللوغاريتم، وهي: لو_ب (م/ن) = لو _ب م – لو_ب ن، ومنه:
  - لو ₅ ((س+2)/س) = لو₅((2س-1)/(3س-12)).
  - بما أن الأساسات متساوية فإن ما داخل اللوغاريتم متساوٍ، وبالتالي: (س+2)/س = (2س-1)/(3س-12).
  - بالضرب التبادلي، وتجميع الحدود نحصل على المعادلة التربيعية الآتية: س²-5س-24=0، وبتحليل هذه المعادلة إلى عواملها فإن: (س+3)(س-8) = 0، وبالتالي فإن للمتغير س قيمتان، وهما: س= -3، وس = 8.

حل المعادلات المثلثية

يمكن تعريف المعادلات المثلثية (بالإنجليزية: Trigonometric Equations) بأنها المعادلات التي تربط بين الاقترانات المثلثية لزوايا مجهولة القياس،^[١٣] ويُقصد بحل المعادلات المثلثية إيجاد قيمة الزاوية المجهولة التي تحقق المعادلة،^[١٤] وبشكل عام فإن المعادلات المثلثية لها عدد لا نهائي من الحلول؛ لذلك يتم حصر المجال لقيم الزوايا بين (0، و360) درجة لتقليل عدد حلولها، وفي الحقيقة لا توجد طريقة عامة يمكن استخدامها لحل جميع هذه المعادلات، ولكن هناك بعض الخطوات التي يمكن اتباعها لحلها بسهولة، وهي:^[١٣]

تبسيط المعادلات المثلثية إلى أبسط صورة ممكنة إن أمكن ذلك.
محاولة توحيد جميع الزوايا ضمن الاقترانات المثلثية.
محاولة توحيد الاقترانات المثلثية للزوايا عن طريق استخدام المتطابقات المثلثية.
التحقّق من صحة الحل بعد كل خطوة.

مثال: ما هو حل المعادلة المثلثية 2×جتا²(س) = -3×جتاس+2؛ حيث س تتراوح بين: 0، و360 درجة؟^[١٣]
- ‘الحل:
- ترتيب المعادلة بحيث تصبح جميع الحدود على طرف واحد، وذلك كما يلي:
  - 2×جتا²(س)+ 3×جتاس- 2 = 0
  - يمكن تحليل هذه المعادلة على أنها معادلة تربيعية مثلاً كما يلي:
  - (2 جتاس – 1)(جتاس + 2) = 0
  - يمكن ملاحظة أن للمعادلة حلان، وهما:
    - 2 جتاس – 1 = 0، ومنه: جتاس = 1/2؛ أي أن س هي الزاوية التي تكون قيمة جيب التمام لها تساوي 1/2، وهما الزاويتان: 60°، و300°.
    - وأما الحل الآخر فهو: جتاس+2 = 0، جتاس = -2، ومنه: س = Ø، وهذا يعني أنه لا يوجد حل، وذلك لأن قيمة جيب التمام لأي زاوية يكون محصوراً بين 0، و1، ولا توجد زاوية قيمة جيب التمام لها تساوي -2.
- وهذا يعني أن لهذه المعادلة المثلثية حلان، وهما: س= 60°، و300°.

مثال: ما هو حل المعادلة جا2س = 3 جاس، حيث س محصورة بين 0، و360 درجة؟^[١٣]
- الحل: لدينا زاويتان مختلفتان وهما: 2س، وس، ولجعل الزاويتين متساويتين يمكن استخدام متطابقة: جا2س، وذلك كما يلي: جا2س = 2جاس جتاس = 3 جاس
- جعل جميع الحدود على طرف واحد، وذلك كما يلي: 2جاس جتا س – 3 جا س = 0، استخراج جاس كعامل مشترك لينتج أن: جاس×(2×جتاس-3)=0.
- مساواة كل قيمة بالصفر، وذلك كما يلي:
  - جاس = صفر، ومنه: س = 0، و 180.
  - 2جتاس – 3 = 0، وبالتالي: جتا س= 3/2، ومنه: س= Ø، وهذا يعني أنه لا يوجد حل، وذلك لأن قيمة جيب التمام لأي زاوية تكون محصورة بين 0، و1، ولا توجد زاوية قيمة جيب التمام لها تساوي 3/2.
وهذا يعني أن للمعادلة حلان، وهما: س = 0، وس = 180.

لمزيد من المعلومات حول المتطابقات المثلثية يمكنك قراءة المقال الآتي: قوانين حساب المثلثات.

حل المعادلات الأسية

تعرف المعادلة الأسية (بالإنجليزية: Exponential Equation) بأنها المعادلة التي يقع فيها المجهول أو المتغير في الأس؛ مثل: 3^(س+1) = 9، و 5^ل+3×5^(ل-1)=400، ويمكن حلّها باستخدام عدة طرق كما يلي:^[١٥]

عندما تكون الأساسات متساوية: مثل أ^س = أ^ص، ويكون حلها بالاستعانة بالنظرية التي تقول: عندما تتساوى الأساسات فإن الأسس تتساوى؛ أي أنّه عندما تكون: أ^س = أ^ص، فإنّ: س= ص، بشرط أن تكون (أ) أكبر من صفر، ولا تساوي واحد، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- مثال: 3 ^(س+1) = 9
  - الحل:
  - يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة لتصبح الأساسات متساوية، وذلك كما يلي: 3^(س+1) = 3²
  - بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية أي: س+1= 2، ومنه: س = 1.

عندما تكون الأساسات غير متساوية: ففي هذه الحالة يتم إدخال اللوغريتم على الطرفين ثم إيجاد قيمة المتغيرات، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[١٦]
- مثال: ما هو حل المعادلة الأسية 10^(س+5) – 8 = 60؟
  - الحل:
  - ترتيب المعادلة لتصبح العبارة الأسية على طرف لوحدها، ثم إدخال لو₁₀ على الطرفين، وذلك كما يلي: لو 10^{(س + 5)} = لو 68.
  - (س+5) لو 10 = لو 68.
  - بما أن لو10₁₀ = 1 فإن (س+5) = لو 68، ومنه: س = لو68 – 5
  - باستخدام الآلة الحاسبة لإيجاد لو68 فإن س = 3.1674- تقريباً.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات الأسية يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلة الأسية.

نظرة عامة حول المعادلات

يمكن تعريف المعادلات الجبرية (بالإنجليزية: Algebraic Equations) بأنها المعادلات التي تتكون من حدين جبريين، أو أكثر ترتبط في ما بينها بعمليات جبرية؛ كالجمع، والطرح، والضرب، والقسمة، أو قد تكون مرفوعة لقوة، أو قد تقع المتغيرات داخل الجذر، ومن الأمثلة على ذلك: س³+1، و(ص⁴س² + 2×س×ص- ص)/(س-1) = 12، وتُعرف عملية حل المعادلة الجبرية بأنها عملية إيجاد عدد، أو مجموعة من الأعداد التي يصبح طرفا المعادلة متساويين عند تعويضها مكان المتغير، وتجدر الإشارة إلى أن المعادلات كثيرة الحدود التي تستخدم بشكل كبير في علم الرياضيات تعتبر حالة خاصة من المعادلات الجبرية، والصورة العامة لهذه المعادلات هي كما يلي: أس^ن + ب س ^{(ن – 1)} + ……. و س +ي = ل، حيث:^[١٧]

أ، ب، جـ،….، و: تمثل معاملات المتغير س.
س: يمثل الحد الثابت.
ن: هي أكبر قوة في معادلة كثير الحدود، وتسمى المعادلة باسمها فمثلاً إذا كانت ن = 2 فإن المعادلة تسمى المعادلة التربيعية، وإذا كانت ن = 3 فإن المعادلة تسمى المعادلة التكعيبية، ويكون عدد الحلول للمعادلات كثيرة الحدود عادة مساوياً لقيمة ن.

بعض المعادلات تحتوي على عمليات غير جبرية مثل اللوغريتمات، والاقترانات المثلثية، وتُعرف هذه المعادلات بالمعادلات المتسامية (بالإنجليزية: Transcendental Equation)، مثل: س×جا (س).^[١٧]

المراجع

↑ “Special Binomial Products”, www.mathsisfun.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.
↑ “Solving One-Step Linear Equations: Adding & Subtracting”, www.purplemath.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب “Solving Quadratic Equations”, www.cliffsnotes.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Solve a quadratic equation by factoring”, www.mathwarehouse.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Cubic Equations”, www.toppr.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Synthetic Division Method”, www.chilimath.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب “Solving Radical Equations”, www.mathsisfun.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Solving Rational Equations”, www.chilimath.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Solving Rational Equations”, saylordotorg.github.io, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Systems of Linear Equations”, www.mathsisfun.com, Retrieved 1-5-2020. Edited.
↑ “3 Methods for Solving Systems of Equations”, sciencing.com, Retrieved 1-5-2020. Edited.
^ ^أ ^ب ^ت “Solving Logarithmic Equations”, www.chilimath.com, Retrieved 1-5-2020. Edited.
^ ^أ ^ب ^ت ^ث “Trigonometric Equations”, www.onlinemathlearning.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Trigonometric Equations”, www.math-only-math.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Exponential Equations”, www.siyavula.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “SOLVING EXPONENTIAL EQUATIONS”, www.sosmath.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب “Algebraic equation”, www.britannica.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.

5 أبريل، 2021

0 0 13 دقائق

اترك تعليقاً إلغاء الرد

يجب أنت تكون مسجل الدخول لتضيف تعليقاً.

محتويات

١ حل المعادلات الجبرية
٢ طرق حل نظام من المعادلات الجبرية
٣ حل المعادلات المتسامية
٤ نظرة عامة حول المعادلات
٥ المراجع

حل المعادلات الجبرية

عند حل المعادلات الجبرية تجب مراعاة الأمور الآتية:^[١]

عند حل أي معادلة جبرية فإن الخطوة الأولى هي تجميع الحدود المتشابهة.
يجب الحرص دائماً على إضافة، أو طرح نفس القيمة للطرفين عند حل المعادلات.
للتخلص من الكسر فإنه يتم ضرب الطرفين بمقلوب الكسر.
يجب الحرص دائماً على قسمة طرفي المعادلة بنفس العدد شريطة أن لا يكون مساوياً للصفر.
في بعض الأحيان قد يتم تطبيق بعض الاقترانات على طرفي المعادلة لحلّها مثل تربيع الطرفين.
في حال وجود قوس فإنه يتم توزيع الحدود على القوس قبل البدء في حل المعادلة الجبرية.
لحل المعادلات الجبرية فإنه يتم تحليلها إلى عواملها بطرق مختلفة ثم إيجاد الحلول.
بعض المعادلات الجبرية قد يكون لها نمط مميز، ويمكن حلّها بشكل مباشر وبطرق خاصة باستخدام قواعد معيّنة مثل: الفرق بين مربعين، والفرق بين مكعبين.

حل المعادلات الخطية

تعرف المعادلات الخطية (بالإنجليزية: Linear Equations) بأنها المعادلات التي تكون على الصورة ص = أ س+ب؛ أي تحتوي على متغير واحد وهو س، ويكون مرفوعاً للقوة واحد، ولا تحتوي عادة على متغيرات أكثر تعقيداً مثل: س²، أو س/ص، ويتم حلها عن طريق جعل المتغير المجهول على طرف، ونقل جميع الأعداد الأخرى على الطرف الآخر، للحصول على حل المعادلة في النهاية على صورة: س = عدد؛ حيث يمثل العدد حل هذه المعادلة، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[٢]

مثال: ما هو حل المعادلة س-3 = -5؟
- الحل: يُقصد بحل المعادلة إيجاد قيمة س، ويمكن القيام بذلك كما يلي:
  - جعل العدد س على طرف، وباقي الأعداد على طرف آخر، وبالتالي فإنه يجب التخلص من العدد 3.
  - معكوس عملية الطرح هو الجمع، وبالتالي يجب إضافة العدد 3 للطرفين كما يلي: س-3+3 = -5+3
  - وبالتالي فإن حل المعادلة هو س = -2.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات الخطية يمكنك قراءة المقال الآتي: حل معادلة من الدرجة الأولى.

حل المعادلات التربيعية

تُعرف المعادلة التربيعية (بالإنجليزية: Quadratic Equation) بأنها المعادلة التي تكون على الصورة العامة أ س² +ب س+جـ =0؛ حيث أ لا تساوي صفر، ويمكن حل المعادلة التربيعية باستخدام مجموعة من الطرق:^[٣]

باستخدام القانون العام: يمكن استخدام القانون العام لحل أي معادلة تربيعية، وهو س = (-ب±المميز√)/ (2×أ)، حيث:
- أ هو معامل س²، وب هو معامل س، وجـ هو الحد الثابت.
- المميز = ب² – 4×أ×جـ، وإذا كان المميز سالباً فإن المعادلة التربيعية لا تحلّل؛ أي لا حلول لها، وإذا كان مساوياً للصفر فإن لها حلاً واحداً فقط، أما إن كان موجباً فللمعادلة التربيعية حلّان.
- يقصد بإشارة ± أن القانون العام يتم تطبيقه مرتين؛ مرة بالجمع، ومرة بالطرح، وذلك لأن المعادلة التربيعية لها حلان في معظم الأحيان.

مثال: ما هو حل المعادلة س² – 5س = -6 باستخدام القانون العام؟^[٣]

- الحل:
- ترتيب المعادلة بحيث تصبح جميع الحدود على طرف واحد؛ أي تصبح المعادلة على الصورة القياسية، وذلك كما يلي: س²-5س+6 =0.
- في هذه المعادلة إن أ = 1، و ب = -5، وجـ = 6، وبتطبيق القانون العام على المعادلة، ينتج ما يلي:
  - س = -(-5)±((-5)² – 4×1×6)√ / 2×1، ومنه: س = 5± (25-24)√/2، وهذا يعني أن س لها قيمتان:
    - إما س = (5+1)/ 2 = 6/2 = 3
    - أو س = (5-1)/ 2 = 4/2 = 2
- حلول هذه المعادلة هي إما: س= 2، أو س= 3.

باستخدام التحليل إلى العوامل: يمكن حل المعادلة التربيعية باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل، التي لا يمكن استخدامها لحل جميع المعادلات، ويمكن توضيح هذه الطريقة باستخدام المثال الآتي:^[٤]
جد حل المعادلة التربيعية: س²- 4س+4 = 0، باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل:
- الحل: الخطوة الأولى هي كتابة قوسين كما يلي:
  - ( س )( س ) = 0.
- تحليل الحد الأخير (4) إلى عوامله؛ أي كتابة جميع الأعداد التي يساوي حاصل ضربها العدد 4، وحساب مجموع كل عددين منها، وذلك كما يلي:
  - 4 : 2×2، مجموعهما 4.
  - 4 : 1×4، مجموعهما 4
  - 4 : -1×-4، مجموعهما -5.
  - 4 : -2×-2، مجموعهما 4-.
- اختيار العددين اللذين يساوي مجموعهما العدد الأوسط وهو (-4)، وهما: -2،-2.
- كتابة العددين اللذين تم اختيارهما في القوسين كما يلي:
  - (س-2)(س-2) =0.
- يمكن إيجاد حلول المعادلة التربيعية عن طريق مساواة كل قوس من القوسين بالصفر، وذلك كما يلي:
  - س-2 = 0، وبالتالي س = 2.
    - س-2 = 0، وبالتالي س = 2.
- هذا يعني أن لهذه المعادلة التربيعية حل واحد، وهو س = 2.

ملاحظة: إذا كانت إشارة الحد الثابت موجبة فإن القوسين لهما نفس إشارة الحد الأوسط (أي معامل س)، وإذا كانت إشارة الحد الأخير (أي الثابت) سالبة فإن القوسين يكونا مختلفين في الإشارة.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات التربيعية يمكنك قراءة المقالات الآتية: طرق حل المعادلة التربيعية، تحليل المعادلة التربيعية.

حل المعادلات التكعيبية

تعرف المعادلة التكعيبية (بالإنجليزية: Cubic Equation) بأنها المعادلة التي تكون على الصورة: أس³+ب س² + جـ س + د =0، حيث أ لا تساوي صفراً، ويمكن إيجاد حل المعادلة التكعيبية باستخدام مجموعة من الطرق، ومنها القسمة التركيبية كما يلي:^[٥]

يجب في هذه الطريقة أولاً تجربة بعض الأعداد بشكل عشوائي في المعادلة التكعيبية عن طريق تعويضها مكان المتغير (س)، وفي حال العثور على عدد يحقق المعادلة؛ أي يجعلها مساوية للصفر فإنه يتم اعتباره كأول جذر لها، ثم الانتقال للخطوة التالية.
قسمة المعادلة التكعيبية على الجذر وهو العدد الذي تم العثور عليه في الخطوة السابقة باستخدام القسمة التركيبية؛ لتنتج لدينا معادلة تربيعية، يمكن إيجاد جذورها باستخدام إحدى طرق حل المعادلة التربيعية، للحصول على جميع الحلول للمعادلة التكعيبية في النهاية، وذلك كما في المثال الآتي:

مثال: جد الحلول للمعادلة التكعيبية الآتية: 6س³-5س²-17س+6:

الحل: لحل أي معادلة تكعيبية فإنه يجب العثور على عدد يجعل قيمتها مساوية للصفر عند تعويضه مكان المتغير (س)، وذلك كما يلي:
- افتراض العدد 2 على أنه حل للمعادلة التكعيبية، وتعويضه فيها كما يلي:
- 6×2³ – 5×2² – 17×2 +6=0، وهذا يعني أن العدد 2 يمثل أحد حلول المعادلة التكعيبية، ويُكتب كما يلي: (س-2).
- قسمة المعادلة التكعيبية باستخدام القسمة التركيبية على (س-2) لتنتج لدينا المعادلة التربيعية: 6س²+7 س- 3= 0، وبحل هذه المعادلة فإن س = 1/3، و 3/2-.
- وهذا يعني أن جذور المعادلة التكعيبية هي: 1/3، و 3/2-، و2.
أما عن القسمة التركيبية فهي تتم باتباع الخطوات الآتية:^[٦]
- التأكد من أن المقسوم، وهو المعادلة التكعيبية على الصورة العامة أي: أس³ + ب س² + جـ س + د=0
- التأكد من أن المقسوم عليه على صورة (س-ل).
- ترتيب معاملات المعادلة التكعيبية بشكل أفقي بجانب بعضهم البعض، ووضع العدد (ل) يسار إشارة القسمة التركيبية، أي ترتيب المسألة: 6س³-5س²-17س+6 قسمة (س-2) مثلاً كما يلي:

6 -5 -17 6 | 2

ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ |

——————————

ــــ ـــــ ـــــ ــــــ |

- كتابة المعامل الأول للمعادلة التكعيبية أي (أ) (وهو 6 هنا) أسفل الخط الأفقي مباشرة.

6 -5 -17 6 | 2

ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ |

——————————

6 ـــــ ــــــ ــــــ |

- ضرب المعامل الأول أي أ (وهو 6 هنا) بالعدد الموجود في اليسار أي ل (وهو 2 هنا)، ووضع الناتج أسفل المعامل الثاني أي أسفل ب (وهو -5 هنا) فوق الخط الأفقي، ثم إيجاد ناتج جمع هذا العدد (وهو 12 هنا) مع ب (وهي -5 هنا) وكتابة الناتج أسفل الخط الأفقي مباشرة.

6 -5 -17 6 | 2

ــــ 12 ـــــ ـــــ |

——————————

6 7 ـــــــ ـــــــ |

- ضرب ناتج الجمع الذي تم الحصول عليه في الخطوة السابقة؛ أي (7) بالعدد ل (وهو 2 هنا) من جديد، وضع الناتج أسفل المعامل الثالث أي جـ (وهو -17 هنا) مباشرة وفوق الخط الأفقي، ثم جمعه مع جـ، ووضع الناتج أسفل الخط الأفقي مباشرة.
- تكرار العملية حتى الحصول على العدد صفر.
- الأعداد الموجودة أسفل الخط الأفقي هي عوامل المعادلة التربيعية: 6س²+7 س- 3= 0، التي تمثل ناتج عملية القسمة:

6 -5 -17 6 | 2

ــ 12 14 -6 |

——————————

6 7 -3 0 |

لمزيد من المعلومات حول المعادلات التكعيبية يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة.

حل المعادلات الجذرية

المعادلات الجذرية (بالإنجليزية: Radical Equation) هي المعادلات التي تحتوي على جذور تربيعية، أو تكعيبية، أو أية أنواع أخرى من الجذور، ويمكن حلها بسهولة عن طريق تربيع الطرفين إذا كان الجذر تربيعياً، وعن طريق تكعيب الطرفين إذا كان الجذر تكعيبياً، وهكذا، بعد ترتيب المعادلة ليصبح الجذر لوحده على أحد الطرفين، ويمكن توضيح كيفية حل هذه المعادلات باستخدام المثال الآتي:^[٧]

مثال: ما هو حل المعادلة الجذرية الآتية: (2س+9)√ – 5 = 0؟
- الحل: يتم وضع الجذر التربيعي على طرف، وباقي الحدود على الطرف الآخر، وذلك كما يلي:
  - بإضافة العدد 5 للطرفين فإنّ (2س+9)√ = 5.
  - بما أن الجذر تربيعي فإنه يمكن التخلص منه بتربيع الطرفين كما يلي: ((2س+9)√)² = 5²، ومنه: 25 = 2س+9.
  - أصبحت لدينا معادلة خطية، ويمكن حلها بسهولة كما يلي: 2س= 25-9، 2س = 16، ومنه: س = 8، ويمكن التحقق من صحة الحل بتعويض قيمة س في المعادلة الجذرية.

ملاحظة: قد تحتوي بعض المعادلات الجذرية على أكثر من جذر، ويمكن حل هذه المعادلة عن طريق تكرار نفس الخطوات على كل جذر لوحده.^[٧]

حل المعادلات النسبية

يمكن تعريف المعادلات النسبية (بالإنجليزية: Rational Equations) بأنها المعادلات التي تحتوي على حد نسبي (أي كسر) واحد على الأقل، وغالباً تحتوي على متغيرات في المقام، ويتم حلها عن طريق ضرب طرفي المعادلة بأصغر مقام مشترك،^[٨] والأمثلة الآتية توضّح ذلك:^[٩]

مثال: حل المعادلة الآتية: 5/س – 1/3 = 1/س.
- الحل:
  - يمكن ضرب طرفي المعادلة بأصغر مقام مشترك، وهو هنا: 3س، وذلك كما يلي:
  - 3س×(5/س – 1/3) = 3س×(1/س)، ومنه: 15-س = 3، ومنه: س = 12، ويمكن التحقق من صحة الحل بتعويض قيمة س في المعادلة.

مثال: ما هو حل المعادلة: 2 – 1/ س(س+1) = 3/(س+1)؟
- الحل:
- يمكن ضرب طرفي المعادلة بـ س(س+1)، وهو أصغر مقام مشترك وذلك كما يلي:
  - س×(س+1)×(2 -1/س(س+1)) = س(س+1)×(3/(س+1))، وبتبسيط هذه المعادلة فإنّ: 2س(س+1)-1 = 3س
  - بتجميع الحدود نحصل على معادلة تربيعية هي: 2س²+2س-1 = 3س، وبتجميع الحدود لتصبح جميعها على طرف واحد ينتج ما يلي: 2س²-س-1 = 0.
  - بتحليل المعادلة التربيعية إلى عواملها ينتج ما يلي: (2س+1)(س-1) = 0.
  - وبالتالي فإن لهذه المعادلة حلان، وهما: س = -1/2، وس = 1.

طرق حل نظام من المعادلات الجبرية

يمكن تعريف هذا النظام على أنه نظام يتكون من معادلتين خطيتين على الأقل ترتبطان مع بعضهما بعلاقة معينة، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[١٠]
2س + ص = 5
س + ص = -2

يمكن حل نظام المعادلات الجبرية بعدة طرق، وهي:^[١١]

طريقة التعويض: يتم في هذه الطريقة تعويض قيمة أحد المتغيرات من إحدى المعادلات في المعادلة الأخرى، وذلك عن طريق جعله موضوع القانون في المعادلة الأولى، وتعويض قيمته في المعادلة الثانية، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- مثال: يمكن حل نظام المعادلات الذي يتكون من المعادلتين: س+ص = 4، 2س-3ص=3 كما يلي:
  - جعل أي من المتغيرات في أي من المعادلتين موضوع القانون، وفي هذا المثال سوف يتم جعل المتغير س في المعادلة الأولى، وذلك كما يلي: س = 4 – ص.
  - تعويض قيمة هذا المتغير في المعادلة الثانية، وذلك كما يلي: 2×(4 – ص)-3ص = 3.
  - بتجميع الحدود تصبح لدينا معادلة خطية بمتغير واحد، وهي: -5ص= -5، أي: ص = 1.
  - بعد معرفة قيمة ص يمكن تعويض قيمة ص في أي من المعادلات لإيجاد قيمة س، فمثلاً يمكن التعويض في المعادلة الأولى، وذلك كما يلي: س+1 = 4، وبالتالي فإن س = 3.

طريقة الحذف: يتم في هذه الطريقة ضرب، أو قسمة المعادلتين على أي عدد لتصبح قيمة أحد المتغيرين في كلتا المعادلتين متساوية ومختلفة في الإشارة، ثم يتم جمع المعادلتين، أو طرحهما، وذلك لحذف المتغيرين المتشابهين في المعادلتين مع بعضهما، ليتبقى لدينا متغير واحد فقط يمكن إيجاد قيمته بسهولة باستخدام طرق حل المعادلات الخطية، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- يمكن حل هذا النظام الذي يتكون من المعادلتين: س+2ص = 3، 2س-2ص = 3 باستخدام طريقة الحذف كما يلي:
  - يلاحظ من المعادلتين أن المتغيرين 2ص، -2ص متشابهين لكنهما متعاكسين في الإشارة، ويمكن من خلال جمع المعادلتين التخلص منهما دون الحاجة إلى ضرب، أو قسمة المعادلتين بأي عدد.
  - بجمع المعادلتين فإن 3س = 6، وبالتالي فإن س = 2.
  - بتعويض قيمة س في أي من المعادلتين نحصل على قيمة ص، وهي: 1/2.

لمزيد من المعلومات حول حل نظام المعادلات الخطية يمكنك قراءة المقال الآتي: حل جملة معادلتين، طرق حل المعادلات بالمصفوفات.

حل المعادلات المتسامية

حل المعادلات اللوغارتمية

هناك نوعان من المعادلات اللوغريتمية (بالإنجليزية: Logarithmic Equations)، وهما:^[١٢]

عند وجود لوغاريتمين في المعادلة، كل منهما على طرف لوحده، والأساسات متساوية، فإن حلّها يكون باعتبار ما داخل اللوغاريتم متساوياً؛ مثل لو_ب م = لو_ب ن، وبالتالي فإن م=ن.
عند وجود لوغاريتم واحد على أحد طرفي المعادلة اللوغاريتمية كما يلي: لو_ب ن = م، فإنه يتم تحويل هذه المعادلة إلى معادلة أسية: ب ^م = ن، ثم حلّها.

مثال: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية لو₂ (س+2)+لو₂ (3) = لو ₂ (27)؟^[١٢]
- الحل: يمكن استخدام إحدى قواعد اللوغاريتم، وهي: لو_ب (م×ن) = لو _ب م + لو_ب ن، لإعادة كتابة المعادلة اللوغاريتمية في الأعلى كما يلي: لو₂ ((س+2)×3) = لو₂ 27.
- بما أن الأساسات متساوية فإن ما داخل اللوغاريتم متساوٍ أيضاً، وبالتالي: (س+2)×3 = 27، ومنه: 3س+6 = 27، وبحل هذه المعادلة فإن: س= 7.

ملاحظة: يمكن أن تكون قيمة س مساوية للصفر، أو موجبة، أو سالبة، وفي المقابل لا يمكن للقيمة داخل اللوغاريتم أن تكون صفراً، أو سالبة.

مثال: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية لو₅ (س+2) – لو ₅ (س) = لو ₅ (2س-1) – لو₅ (3س-12)؟^[١٢]
- الحل:
- يمكن حل هذه المعادلة باستخدام إحدى قواعد اللوغاريتم، وهي: لو_ب (م/ن) = لو _ب م – لو_ب ن، ومنه:
  - لو ₅ ((س+2)/س) = لو₅((2س-1)/(3س-12)).
  - بما أن الأساسات متساوية فإن ما داخل اللوغاريتم متساوٍ، وبالتالي: (س+2)/س = (2س-1)/(3س-12).
  - بالضرب التبادلي، وتجميع الحدود نحصل على المعادلة التربيعية الآتية: س²-5س-24=0، وبتحليل هذه المعادلة إلى عواملها فإن: (س+3)(س-8) = 0، وبالتالي فإن للمتغير س قيمتان، وهما: س= -3، وس = 8.

حل المعادلات المثلثية

يمكن تعريف المعادلات المثلثية (بالإنجليزية: Trigonometric Equations) بأنها المعادلات التي تربط بين الاقترانات المثلثية لزوايا مجهولة القياس،^[١٣] ويُقصد بحل المعادلات المثلثية إيجاد قيمة الزاوية المجهولة التي تحقق المعادلة،^[١٤] وبشكل عام فإن المعادلات المثلثية لها عدد لا نهائي من الحلول؛ لذلك يتم حصر المجال لقيم الزوايا بين (0، و360) درجة لتقليل عدد حلولها، وفي الحقيقة لا توجد طريقة عامة يمكن استخدامها لحل جميع هذه المعادلات، ولكن هناك بعض الخطوات التي يمكن اتباعها لحلها بسهولة، وهي:^[١٣]

تبسيط المعادلات المثلثية إلى أبسط صورة ممكنة إن أمكن ذلك.
محاولة توحيد جميع الزوايا ضمن الاقترانات المثلثية.
محاولة توحيد الاقترانات المثلثية للزوايا عن طريق استخدام المتطابقات المثلثية.
التحقّق من صحة الحل بعد كل خطوة.

مثال: ما هو حل المعادلة المثلثية 2×جتا²(س) = -3×جتاس+2؛ حيث س تتراوح بين: 0، و360 درجة؟^[١٣]
- ‘الحل:
- ترتيب المعادلة بحيث تصبح جميع الحدود على طرف واحد، وذلك كما يلي:
  - 2×جتا²(س)+ 3×جتاس- 2 = 0
  - يمكن تحليل هذه المعادلة على أنها معادلة تربيعية مثلاً كما يلي:
  - (2 جتاس – 1)(جتاس + 2) = 0
  - يمكن ملاحظة أن للمعادلة حلان، وهما:
    - 2 جتاس – 1 = 0، ومنه: جتاس = 1/2؛ أي أن س هي الزاوية التي تكون قيمة جيب التمام لها تساوي 1/2، وهما الزاويتان: 60°، و300°.
    - وأما الحل الآخر فهو: جتاس+2 = 0، جتاس = -2، ومنه: س = Ø، وهذا يعني أنه لا يوجد حل، وذلك لأن قيمة جيب التمام لأي زاوية يكون محصوراً بين 0، و1، ولا توجد زاوية قيمة جيب التمام لها تساوي -2.
- وهذا يعني أن لهذه المعادلة المثلثية حلان، وهما: س= 60°، و300°.

مثال: ما هو حل المعادلة جا2س = 3 جاس، حيث س محصورة بين 0، و360 درجة؟^[١٣]
- الحل: لدينا زاويتان مختلفتان وهما: 2س، وس، ولجعل الزاويتين متساويتين يمكن استخدام متطابقة: جا2س، وذلك كما يلي: جا2س = 2جاس جتاس = 3 جاس
- جعل جميع الحدود على طرف واحد، وذلك كما يلي: 2جاس جتا س – 3 جا س = 0، استخراج جاس كعامل مشترك لينتج أن: جاس×(2×جتاس-3)=0.
- مساواة كل قيمة بالصفر، وذلك كما يلي:
  - جاس = صفر، ومنه: س = 0، و 180.
  - 2جتاس – 3 = 0، وبالتالي: جتا س= 3/2، ومنه: س= Ø، وهذا يعني أنه لا يوجد حل، وذلك لأن قيمة جيب التمام لأي زاوية تكون محصورة بين 0، و1، ولا توجد زاوية قيمة جيب التمام لها تساوي 3/2.
وهذا يعني أن للمعادلة حلان، وهما: س = 0، وس = 180.

لمزيد من المعلومات حول المتطابقات المثلثية يمكنك قراءة المقال الآتي: قوانين حساب المثلثات.

حل المعادلات الأسية

تعرف المعادلة الأسية (بالإنجليزية: Exponential Equation) بأنها المعادلة التي يقع فيها المجهول أو المتغير في الأس؛ مثل: 3^(س+1) = 9، و 5^ل+3×5^(ل-1)=400، ويمكن حلّها باستخدام عدة طرق كما يلي:^[١٥]

عندما تكون الأساسات متساوية: مثل أ^س = أ^ص، ويكون حلها بالاستعانة بالنظرية التي تقول: عندما تتساوى الأساسات فإن الأسس تتساوى؛ أي أنّه عندما تكون: أ^س = أ^ص، فإنّ: س= ص، بشرط أن تكون (أ) أكبر من صفر، ولا تساوي واحد، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- مثال: 3 ^(س+1) = 9
  - الحل:
  - يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة لتصبح الأساسات متساوية، وذلك كما يلي: 3^(س+1) = 3²
  - بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية أي: س+1= 2، ومنه: س = 1.

عندما تكون الأساسات غير متساوية: ففي هذه الحالة يتم إدخال اللوغريتم على الطرفين ثم إيجاد قيمة المتغيرات، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[١٦]
- مثال: ما هو حل المعادلة الأسية 10^(س+5) – 8 = 60؟
  - الحل:
  - ترتيب المعادلة لتصبح العبارة الأسية على طرف لوحدها، ثم إدخال لو₁₀ على الطرفين، وذلك كما يلي: لو 10^{(س + 5)} = لو 68.
  - (س+5) لو 10 = لو 68.
  - بما أن لو10₁₀ = 1 فإن (س+5) = لو 68، ومنه: س = لو68 – 5
  - باستخدام الآلة الحاسبة لإيجاد لو68 فإن س = 3.1674- تقريباً.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات الأسية يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلة الأسية.

نظرة عامة حول المعادلات

يمكن تعريف المعادلات الجبرية (بالإنجليزية: Algebraic Equations) بأنها المعادلات التي تتكون من حدين جبريين، أو أكثر ترتبط في ما بينها بعمليات جبرية؛ كالجمع، والطرح، والضرب، والقسمة، أو قد تكون مرفوعة لقوة، أو قد تقع المتغيرات داخل الجذر، ومن الأمثلة على ذلك: س³+1، و(ص⁴س² + 2×س×ص- ص)/(س-1) = 12، وتُعرف عملية حل المعادلة الجبرية بأنها عملية إيجاد عدد، أو مجموعة من الأعداد التي يصبح طرفا المعادلة متساويين عند تعويضها مكان المتغير، وتجدر الإشارة إلى أن المعادلات كثيرة الحدود التي تستخدم بشكل كبير في علم الرياضيات تعتبر حالة خاصة من المعادلات الجبرية، والصورة العامة لهذه المعادلات هي كما يلي: أس^ن + ب س ^{(ن – 1)} + ……. و س +ي = ل، حيث:^[١٧]

أ، ب، جـ،….، و: تمثل معاملات المتغير س.
س: يمثل الحد الثابت.
ن: هي أكبر قوة في معادلة كثير الحدود، وتسمى المعادلة باسمها فمثلاً إذا كانت ن = 2 فإن المعادلة تسمى المعادلة التربيعية، وإذا كانت ن = 3 فإن المعادلة تسمى المعادلة التكعيبية، ويكون عدد الحلول للمعادلات كثيرة الحدود عادة مساوياً لقيمة ن.

بعض المعادلات تحتوي على عمليات غير جبرية مثل اللوغريتمات، والاقترانات المثلثية، وتُعرف هذه المعادلات بالمعادلات المتسامية (بالإنجليزية: Transcendental Equation)، مثل: س×جا (س).^[١٧]

المراجع

↑ “Special Binomial Products”, www.mathsisfun.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.
↑ “Solving One-Step Linear Equations: Adding & Subtracting”, www.purplemath.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب “Solving Quadratic Equations”, www.cliffsnotes.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Solve a quadratic equation by factoring”, www.mathwarehouse.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Cubic Equations”, www.toppr.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Synthetic Division Method”, www.chilimath.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب “Solving Radical Equations”, www.mathsisfun.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Solving Rational Equations”, www.chilimath.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Solving Rational Equations”, saylordotorg.github.io, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Systems of Linear Equations”, www.mathsisfun.com, Retrieved 1-5-2020. Edited.
↑ “3 Methods for Solving Systems of Equations”, sciencing.com, Retrieved 1-5-2020. Edited.
^ ^أ ^ب ^ت “Solving Logarithmic Equations”, www.chilimath.com, Retrieved 1-5-2020. Edited.
^ ^أ ^ب ^ت ^ث “Trigonometric Equations”, www.onlinemathlearning.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Trigonometric Equations”, www.math-only-math.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “Exponential Equations”, www.siyavula.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
↑ “SOLVING EXPONENTIAL EQUATIONS”, www.sosmath.com, Retrieved 30-4-2020. Edited.
^ ^أ ^ب “Algebraic equation”, www.britannica.com, Retrieved 29-4-2020. Edited.

23 مارس، 2021

0 0 13 دقائق

اترك تعليقاً إلغاء الرد

يجب أنت تكون مسجل الدخول لتضيف تعليقاً.

محتويات

١ حل المعادلات الجبرية
٢ طرق حل نظام من المعادلات الجبرية
٣ حل المعادلات المتسامية
٤ نظرة عامة حول المعادلات
٥ المراجع

حل المعادلات الجبرية

عند حل المعادلات الجبرية تجب مراعاة الأمور الآتية:^[١]

عند حل أي معادلة جبرية فإن الخطوة الأولى هي تجميع الحدود المتشابهة.
يجب الحرص دائماً على إضافة، أو طرح نفس القيمة للطرفين عند حل المعادلات.
للتخلص من الكسر فإنه يتم ضرب الطرفين بمقلوب الكسر.
يجب الحرص دائماً على قسمة طرفي المعادلة بنفس العدد شريطة أن لا يكون مساوياً للصفر.
في بعض الأحيان قد يتم تطبيق بعض الاقترانات على طرفي المعادلة لحلّها مثل تربيع الطرفين.
في حال وجود قوس فإنه يتم توزيع الحدود على القوس قبل البدء في حل المعادلة الجبرية.
لحل المعادلات الجبرية فإنه يتم تحليلها إلى عواملها بطرق مختلفة ثم إيجاد الحلول.
بعض المعادلات الجبرية قد يكون لها نمط مميز، ويمكن حلّها بشكل مباشر وبطرق خاصة باستخدام قواعد معيّنة مثل: الفرق بين مربعين، والفرق بين مكعبين.

حل المعادلات الخطية

تعرف المعادلات الخطية (بالإنجليزية: Linear Equations) بأنها المعادلات التي تكون على الصورة ص = أ س+ب؛ أي تحتوي على متغير واحد وهو س، ويكون مرفوعاً للقوة واحد، ولا تحتوي عادة على متغيرات أكثر تعقيداً مثل: س²، أو س/ص، ويتم حلها عن طريق جعل المتغير المجهول على طرف، ونقل جميع الأعداد الأخرى على الطرف الآخر، للحصول على حل المعادلة في النهاية على صورة: س = عدد؛ حيث يمثل العدد حل هذه المعادلة، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[٢]

مثال: ما هو حل المعادلة س-3 = -5؟
- الحل: يُقصد بحل المعادلة إيجاد قيمة س، ويمكن القيام بذلك كما يلي:
  - جعل العدد س على طرف، وباقي الأعداد على طرف آخر، وبالتالي فإنه يجب التخلص من العدد 3.
  - معكوس عملية الطرح هو الجمع، وبالتالي يجب إضافة العدد 3 للطرفين كما يلي: س-3+3 = -5+3
  - وبالتالي فإن حل المعادلة هو س = -2.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات الخطية يمكنك قراءة المقال الآتي: حل معادلة من الدرجة الأولى.

حل المعادلات التربيعية

تُعرف المعادلة التربيعية (بالإنجليزية: Quadratic Equation) بأنها المعادلة التي تكون على الصورة العامة أ س² +ب س+جـ =0؛ حيث أ لا تساوي صفر، ويمكن حل المعادلة التربيعية باستخدام مجموعة من الطرق:^[٣]

باستخدام القانون العام: يمكن استخدام القانون العام لحل أي معادلة تربيعية، وهو س = (-ب±المميز√)/ (2×أ)، حيث:
- أ هو معامل س²، وب هو معامل س، وجـ هو الحد الثابت.
- المميز = ب² – 4×أ×جـ، وإذا كان المميز سالباً فإن المعادلة التربيعية لا تحلّل؛ أي لا حلول لها، وإذا كان مساوياً للصفر فإن لها حلاً واحداً فقط، أما إن كان موجباً فللمعادلة التربيعية حلّان.
- يقصد بإشارة ± أن القانون العام يتم تطبيقه مرتين؛ مرة بالجمع، ومرة بالطرح، وذلك لأن المعادلة التربيعية لها حلان في معظم الأحيان.

مثال: ما هو حل المعادلة س² – 5س = -6 باستخدام القانون العام؟^[٣]

- الحل:
- ترتيب المعادلة بحيث تصبح جميع الحدود على طرف واحد؛ أي تصبح المعادلة على الصورة القياسية، وذلك كما يلي: س²-5س+6 =0.
- في هذه المعادلة إن أ = 1، و ب = -5، وجـ = 6، وبتطبيق القانون العام على المعادلة، ينتج ما يلي:
  - س = -(-5)±((-5)² – 4×1×6)√ / 2×1، ومنه: س = 5± (25-24)√/2، وهذا يعني أن س لها قيمتان:
    - إما س = (5+1)/ 2 = 6/2 = 3
    - أو س = (5-1)/ 2 = 4/2 = 2
- حلول هذه المعادلة هي إما: س= 2، أو س= 3.

باستخدام التحليل إلى العوامل: يمكن حل المعادلة التربيعية باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل، التي لا يمكن استخدامها لحل جميع المعادلات، ويمكن توضيح هذه الطريقة باستخدام المثال الآتي:^[٤]
جد حل المعادلة التربيعية: س²- 4س+4 = 0، باستخدام طريقة التحليل إلى العوامل:
- الحل: الخطوة الأولى هي كتابة قوسين كما يلي:
  - ( س )( س ) = 0.
- تحليل الحد الأخير (4) إلى عوامله؛ أي كتابة جميع الأعداد التي يساوي حاصل ضربها العدد 4، وحساب مجموع كل عددين منها، وذلك كما يلي:
  - 4 : 2×2، مجموعهما 4.
  - 4 : 1×4، مجموعهما 4
  - 4 : -1×-4، مجموعهما -5.
  - 4 : -2×-2، مجموعهما 4-.
- اختيار العددين اللذين يساوي مجموعهما العدد الأوسط وهو (-4)، وهما: -2،-2.
- كتابة العددين اللذين تم اختيارهما في القوسين كما يلي:
  - (س-2)(س-2) =0.
- يمكن إيجاد حلول المعادلة التربيعية عن طريق مساواة كل قوس من القوسين بالصفر، وذلك كما يلي:
  - س-2 = 0، وبالتالي س = 2.
    - س-2 = 0، وبالتالي س = 2.
- هذا يعني أن لهذه المعادلة التربيعية حل واحد، وهو س = 2.

ملاحظة: إذا كانت إشارة الحد الثابت موجبة فإن القوسين لهما نفس إشارة الحد الأوسط (أي معامل س)، وإذا كانت إشارة الحد الأخير (أي الثابت) سالبة فإن القوسين يكونا مختلفين في الإشارة.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات التربيعية يمكنك قراءة المقالات الآتية: طرق حل المعادلة التربيعية، تحليل المعادلة التربيعية.

حل المعادلات التكعيبية

تعرف المعادلة التكعيبية (بالإنجليزية: Cubic Equation) بأنها المعادلة التي تكون على الصورة: أس³+ب س² + جـ س + د =0، حيث أ لا تساوي صفراً، ويمكن إيجاد حل المعادلة التكعيبية باستخدام مجموعة من الطرق، ومنها القسمة التركيبية كما يلي:^[٥]

يجب في هذه الطريقة أولاً تجربة بعض الأعداد بشكل عشوائي في المعادلة التكعيبية عن طريق تعويضها مكان المتغير (س)، وفي حال العثور على عدد يحقق المعادلة؛ أي يجعلها مساوية للصفر فإنه يتم اعتباره كأول جذر لها، ثم الانتقال للخطوة التالية.
قسمة المعادلة التكعيبية على الجذر وهو العدد الذي تم العثور عليه في الخطوة السابقة باستخدام القسمة التركيبية؛ لتنتج لدينا معادلة تربيعية، يمكن إيجاد جذورها باستخدام إحدى طرق حل المعادلة التربيعية، للحصول على جميع الحلول للمعادلة التكعيبية في النهاية، وذلك كما في المثال الآتي:

مثال: جد الحلول للمعادلة التكعيبية الآتية: 6س³-5س²-17س+6:

الحل: لحل أي معادلة تكعيبية فإنه يجب العثور على عدد يجعل قيمتها مساوية للصفر عند تعويضه مكان المتغير (س)، وذلك كما يلي:
- افتراض العدد 2 على أنه حل للمعادلة التكعيبية، وتعويضه فيها كما يلي:
- 6×2³ – 5×2² – 17×2 +6=0، وهذا يعني أن العدد 2 يمثل أحد حلول المعادلة التكعيبية، ويُكتب كما يلي: (س-2).
- قسمة المعادلة التكعيبية باستخدام القسمة التركيبية على (س-2) لتنتج لدينا المعادلة التربيعية: 6س²+7 س- 3= 0، وبحل هذه المعادلة فإن س = 1/3، و 3/2-.
- وهذا يعني أن جذور المعادلة التكعيبية هي: 1/3، و 3/2-، و2.
أما عن القسمة التركيبية فهي تتم باتباع الخطوات الآتية:^[٦]
- التأكد من أن المقسوم، وهو المعادلة التكعيبية على الصورة العامة أي: أس³ + ب س² + جـ س + د=0
- التأكد من أن المقسوم عليه على صورة (س-ل).
- ترتيب معاملات المعادلة التكعيبية بشكل أفقي بجانب بعضهم البعض، ووضع العدد (ل) يسار إشارة القسمة التركيبية، أي ترتيب المسألة: 6س³-5س²-17س+6 قسمة (س-2) مثلاً كما يلي:

6 -5 -17 6 | 2

ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ |

——————————

ــــ ـــــ ـــــ ــــــ |

- كتابة المعامل الأول للمعادلة التكعيبية أي (أ) (وهو 6 هنا) أسفل الخط الأفقي مباشرة.

6 -5 -17 6 | 2

ـــــ ـــــ ـــــ ـــــ |

——————————

6 ـــــ ــــــ ــــــ |

- ضرب المعامل الأول أي أ (وهو 6 هنا) بالعدد الموجود في اليسار أي ل (وهو 2 هنا)، ووضع الناتج أسفل المعامل الثاني أي أسفل ب (وهو -5 هنا) فوق الخط الأفقي، ثم إيجاد ناتج جمع هذا العدد (وهو 12 هنا) مع ب (وهي -5 هنا) وكتابة الناتج أسفل الخط الأفقي مباشرة.

6 -5 -17 6 | 2

ــــ 12 ـــــ ـــــ |

——————————

6 7 ـــــــ ـــــــ |

- ضرب ناتج الجمع الذي تم الحصول عليه في الخطوة السابقة؛ أي (7) بالعدد ل (وهو 2 هنا) من جديد، وضع الناتج أسفل المعامل الثالث أي جـ (وهو -17 هنا) مباشرة وفوق الخط الأفقي، ثم جمعه مع جـ، ووضع الناتج أسفل الخط الأفقي مباشرة.
- تكرار العملية حتى الحصول على العدد صفر.
- الأعداد الموجودة أسفل الخط الأفقي هي عوامل المعادلة التربيعية: 6س²+7 س- 3= 0، التي تمثل ناتج عملية القسمة:

6 -5 -17 6 | 2

ــ 12 14 -6 |

——————————

6 7 -3 0 |

لمزيد من المعلومات حول المعادلات التكعيبية يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة.

حل المعادلات الجذرية

المعادلات الجذرية (بالإنجليزية: Radical Equation) هي المعادلات التي تحتوي على جذور تربيعية، أو تكعيبية، أو أية أنواع أخرى من الجذور، ويمكن حلها بسهولة عن طريق تربيع الطرفين إذا كان الجذر تربيعياً، وعن طريق تكعيب الطرفين إذا كان الجذر تكعيبياً، وهكذا، بعد ترتيب المعادلة ليصبح الجذر لوحده على أحد الطرفين، ويمكن توضيح كيفية حل هذه المعادلات باستخدام المثال الآتي:^[٧]

مثال: ما هو حل المعادلة الجذرية الآتية: (2س+9)√ – 5 = 0؟
- الحل: يتم وضع الجذر التربيعي على طرف، وباقي الحدود على الطرف الآخر، وذلك كما يلي:
  - بإضافة العدد 5 للطرفين فإنّ (2س+9)√ = 5.
  - بما أن الجذر تربيعي فإنه يمكن التخلص منه بتربيع الطرفين كما يلي: ((2س+9)√)² = 5²، ومنه: 25 = 2س+9.
  - أصبحت لدينا معادلة خطية، ويمكن حلها بسهولة كما يلي: 2س= 25-9، 2س = 16، ومنه: س = 8، ويمكن التحقق من صحة الحل بتعويض قيمة س في المعادلة الجذرية.

ملاحظة: قد تحتوي بعض المعادلات الجذرية على أكثر من جذر، ويمكن حل هذه المعادلة عن طريق تكرار نفس الخطوات على كل جذر لوحده.^[٧]

حل المعادلات النسبية

يمكن تعريف المعادلات النسبية (بالإنجليزية: Rational Equations) بأنها المعادلات التي تحتوي على حد نسبي (أي كسر) واحد على الأقل، وغالباً تحتوي على متغيرات في المقام، ويتم حلها عن طريق ضرب طرفي المعادلة بأصغر مقام مشترك،^[٨] والأمثلة الآتية توضّح ذلك:^[٩]

مثال: حل المعادلة الآتية: 5/س – 1/3 = 1/س.
- الحل:
  - يمكن ضرب طرفي المعادلة بأصغر مقام مشترك، وهو هنا: 3س، وذلك كما يلي:
  - 3س×(5/س – 1/3) = 3س×(1/س)، ومنه: 15-س = 3، ومنه: س = 12، ويمكن التحقق من صحة الحل بتعويض قيمة س في المعادلة.

مثال: ما هو حل المعادلة: 2 – 1/ س(س+1) = 3/(س+1)؟
- الحل:
- يمكن ضرب طرفي المعادلة بـ س(س+1)، وهو أصغر مقام مشترك وذلك كما يلي:
  - س×(س+1)×(2 -1/س(س+1)) = س(س+1)×(3/(س+1))، وبتبسيط هذه المعادلة فإنّ: 2س(س+1)-1 = 3س
  - بتجميع الحدود نحصل على معادلة تربيعية هي: 2س²+2س-1 = 3س، وبتجميع الحدود لتصبح جميعها على طرف واحد ينتج ما يلي: 2س²-س-1 = 0.
  - بتحليل المعادلة التربيعية إلى عواملها ينتج ما يلي: (2س+1)(س-1) = 0.
  - وبالتالي فإن لهذه المعادلة حلان، وهما: س = -1/2، وس = 1.

طرق حل نظام من المعادلات الجبرية

يمكن تعريف هذا النظام على أنه نظام يتكون من معادلتين خطيتين على الأقل ترتبطان مع بعضهما بعلاقة معينة، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[١٠]
2س + ص = 5
س + ص = -2

يمكن حل نظام المعادلات الجبرية بعدة طرق، وهي:^[١١]

طريقة التعويض: يتم في هذه الطريقة تعويض قيمة أحد المتغيرات من إحدى المعادلات في المعادلة الأخرى، وذلك عن طريق جعله موضوع القانون في المعادلة الأولى، وتعويض قيمته في المعادلة الثانية، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- مثال: يمكن حل نظام المعادلات الذي يتكون من المعادلتين: س+ص = 4، 2س-3ص=3 كما يلي:
  - جعل أي من المتغيرات في أي من المعادلتين موضوع القانون، وفي هذا المثال سوف يتم جعل المتغير س في المعادلة الأولى، وذلك كما يلي: س = 4 – ص.
  - تعويض قيمة هذا المتغير في المعادلة الثانية، وذلك كما يلي: 2×(4 – ص)-3ص = 3.
  - بتجميع الحدود تصبح لدينا معادلة خطية بمتغير واحد، وهي: -5ص= -5، أي: ص = 1.
  - بعد معرفة قيمة ص يمكن تعويض قيمة ص في أي من المعادلات لإيجاد قيمة س، فمثلاً يمكن التعويض في المعادلة الأولى، وذلك كما يلي: س+1 = 4، وبالتالي فإن س = 3.

طريقة الحذف: يتم في هذه الطريقة ضرب، أو قسمة المعادلتين على أي عدد لتصبح قيمة أحد المتغيرين في كلتا المعادلتين متساوية ومختلفة في الإشارة، ثم يتم جمع المعادلتين، أو طرحهما، وذلك لحذف المتغيرين المتشابهين في المعادلتين مع بعضهما، ليتبقى لدينا متغير واحد فقط يمكن إيجاد قيمته بسهولة باستخدام طرق حل المعادلات الخطية، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- يمكن حل هذا النظام الذي يتكون من المعادلتين: س+2ص = 3، 2س-2ص = 3 باستخدام طريقة الحذف كما يلي:
  - يلاحظ من المعادلتين أن المتغيرين 2ص، -2ص متشابهين لكنهما متعاكسين في الإشارة، ويمكن من خلال جمع المعادلتين التخلص منهما دون الحاجة إلى ضرب، أو قسمة المعادلتين بأي عدد.
  - بجمع المعادلتين فإن 3س = 6، وبالتالي فإن س = 2.
  - بتعويض قيمة س في أي من المعادلتين نحصل على قيمة ص، وهي: 1/2.

لمزيد من المعلومات حول حل نظام المعادلات الخطية يمكنك قراءة المقال الآتي: حل جملة معادلتين، طرق حل المعادلات بالمصفوفات.

حل المعادلات المتسامية

حل المعادلات اللوغارتمية

هناك نوعان من المعادلات اللوغريتمية (بالإنجليزية: Logarithmic Equations)، وهما:^[١٢]

عند وجود لوغاريتمين في المعادلة، كل منهما على طرف لوحده، والأساسات متساوية، فإن حلّها يكون باعتبار ما داخل اللوغاريتم متساوياً؛ مثل لو_ب م = لو_ب ن، وبالتالي فإن م=ن.
عند وجود لوغاريتم واحد على أحد طرفي المعادلة اللوغاريتمية كما يلي: لو_ب ن = م، فإنه يتم تحويل هذه المعادلة إلى معادلة أسية: ب ^م = ن، ثم حلّها.

مثال: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية لو₂ (س+2)+لو₂ (3) = لو ₂ (27)؟^[١٢]
- الحل: يمكن استخدام إحدى قواعد اللوغاريتم، وهي: لو_ب (م×ن) = لو _ب م + لو_ب ن، لإعادة كتابة المعادلة اللوغاريتمية في الأعلى كما يلي: لو₂ ((س+2)×3) = لو₂ 27.
- بما أن الأساسات متساوية فإن ما داخل اللوغاريتم متساوٍ أيضاً، وبالتالي: (س+2)×3 = 27، ومنه: 3س+6 = 27، وبحل هذه المعادلة فإن: س= 7.

ملاحظة: يمكن أن تكون قيمة س مساوية للصفر، أو موجبة، أو سالبة، وفي المقابل لا يمكن للقيمة داخل اللوغاريتم أن تكون صفراً، أو سالبة.

مثال: ما هو حل المعادلة اللوغاريتمية لو₅ (س+2) – لو ₅ (س) = لو ₅ (2س-1) – لو₅ (3س-12)؟^[١٢]
- الحل:
- يمكن حل هذه المعادلة باستخدام إحدى قواعد اللوغاريتم، وهي: لو_ب (م/ن) = لو _ب م – لو_ب ن، ومنه:
  - لو ₅ ((س+2)/س) = لو₅((2س-1)/(3س-12)).
  - بما أن الأساسات متساوية فإن ما داخل اللوغاريتم متساوٍ، وبالتالي: (س+2)/س = (2س-1)/(3س-12).
  - بالضرب التبادلي، وتجميع الحدود نحصل على المعادلة التربيعية الآتية: س²-5س-24=0، وبتحليل هذه المعادلة إلى عواملها فإن: (س+3)(س-8) = 0، وبالتالي فإن للمتغير س قيمتان، وهما: س= -3، وس = 8.

حل المعادلات المثلثية

يمكن تعريف المعادلات المثلثية (بالإنجليزية: Trigonometric Equations) بأنها المعادلات التي تربط بين الاقترانات المثلثية لزوايا مجهولة القياس،^[١٣] ويُقصد بحل المعادلات المثلثية إيجاد قيمة الزاوية المجهولة التي تحقق المعادلة،^[١٤] وبشكل عام فإن المعادلات المثلثية لها عدد لا نهائي من الحلول؛ لذلك يتم حصر المجال لقيم الزوايا بين (0، و360) درجة لتقليل عدد حلولها، وفي الحقيقة لا توجد طريقة عامة يمكن استخدامها لحل جميع هذه المعادلات، ولكن هناك بعض الخطوات التي يمكن اتباعها لحلها بسهولة، وهي:^[١٣]

تبسيط المعادلات المثلثية إلى أبسط صورة ممكنة إن أمكن ذلك.
محاولة توحيد جميع الزوايا ضمن الاقترانات المثلثية.
محاولة توحيد الاقترانات المثلثية للزوايا عن طريق استخدام المتطابقات المثلثية.
التحقّق من صحة الحل بعد كل خطوة.

مثال: ما هو حل المعادلة المثلثية 2×جتا²(س) = -3×جتاس+2؛ حيث س تتراوح بين: 0، و360 درجة؟^[١٣]
- ‘الحل:
- ترتيب المعادلة بحيث تصبح جميع الحدود على طرف واحد، وذلك كما يلي:
  - 2×جتا²(س)+ 3×جتاس- 2 = 0
  - يمكن تحليل هذه المعادلة على أنها معادلة تربيعية مثلاً كما يلي:
  - (2 جتاس – 1)(جتاس + 2) = 0
  - يمكن ملاحظة أن للمعادلة حلان، وهما:
    - 2 جتاس – 1 = 0، ومنه: جتاس = 1/2؛ أي أن س هي الزاوية التي تكون قيمة جيب التمام لها تساوي 1/2، وهما الزاويتان: 60°، و300°.
    - وأما الحل الآخر فهو: جتاس+2 = 0، جتاس = -2، ومنه: س = Ø، وهذا يعني أنه لا يوجد حل، وذلك لأن قيمة جيب التمام لأي زاوية يكون محصوراً بين 0، و1، ولا توجد زاوية قيمة جيب التمام لها تساوي -2.
- وهذا يعني أن لهذه المعادلة المثلثية حلان، وهما: س= 60°، و300°.

مثال: ما هو حل المعادلة جا2س = 3 جاس، حيث س محصورة بين 0، و360 درجة؟^[١٣]
- الحل: لدينا زاويتان مختلفتان وهما: 2س، وس، ولجعل الزاويتين متساويتين يمكن استخدام متطابقة: جا2س، وذلك كما يلي: جا2س = 2جاس جتاس = 3 جاس
- جعل جميع الحدود على طرف واحد، وذلك كما يلي: 2جاس جتا س – 3 جا س = 0، استخراج جاس كعامل مشترك لينتج أن: جاس×(2×جتاس-3)=0.
- مساواة كل قيمة بالصفر، وذلك كما يلي:
  - جاس = صفر، ومنه: س = 0، و 180.
  - 2جتاس – 3 = 0، وبالتالي: جتا س= 3/2، ومنه: س= Ø، وهذا يعني أنه لا يوجد حل، وذلك لأن قيمة جيب التمام لأي زاوية تكون محصورة بين 0، و1، ولا توجد زاوية قيمة جيب التمام لها تساوي 3/2.
وهذا يعني أن للمعادلة حلان، وهما: س = 0، وس = 180.

لمزيد من المعلومات حول المتطابقات المثلثية يمكنك قراءة المقال الآتي: قوانين حساب المثلثات.

حل المعادلات الأسية

تعرف المعادلة الأسية (بالإنجليزية: Exponential Equation) بأنها المعادلة التي يقع فيها المجهول أو المتغير في الأس؛ مثل: 3^(س+1) = 9، و 5^ل+3×5^(ل-1)=400، ويمكن حلّها باستخدام عدة طرق كما يلي:^[١٥]

عندما تكون الأساسات متساوية: مثل أ^س = أ^ص، ويكون حلها بالاستعانة بالنظرية التي تقول: عندما تتساوى الأساسات فإن الأسس تتساوى؛ أي أنّه عندما تكون: أ^س = أ^ص، فإنّ: س= ص، بشرط أن تكون (أ) أكبر من صفر، ولا تساوي واحد، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
- مثال: 3 ^(س+1) = 9
  - الحل:
  - يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة لتصبح الأساسات متساوية، وذلك كما يلي: 3^(س+1) = 3²
  - بما أن الأساسات متساوية فإن الأسس متساوية أي: س+1= 2، ومنه: س = 1.

عندما تكون الأساسات غير متساوية: ففي هذه الحالة يتم إدخال اللوغريتم على الطرفين ثم إيجاد قيمة المتغيرات، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[١٦]
- مثال: ما هو حل المعادلة الأسية 10^(س+5) – 8 = 60؟
  - الحل:
  - ترتيب المعادلة لتصبح العبارة الأسية على طرف لوحدها، ثم إدخال لو₁₀ على الطرفين، وذلك كما يلي: لو 10^{(س + 5)} = لو 68.
  - (س+5) لو 10 = لو 68.
  - بما أن لو10₁₀ = 1 فإن (س+5) = لو 68، ومنه: س = لو68 – 5
  - باستخدام الآلة الحاسبة لإيجاد لو68 فإن س = 3.1674- تقريباً.

لمزيد من المعلومات حول المعادلات الأسية يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلة الأسية.

نظرة عامة حول المعادلات

يمكن تعريف المعادلات الجبرية (بالإنجليزية: Algebraic Equations) بأنها المعادلات التي تتكون من حدين جبريين، أو أكثر ترتبط في ما بينها بعمليات جبرية؛ كالجمع، والطرح، والضرب، والقسمة، أو قد تكون مرفوعة لقوة، أو قد تقع المتغيرات داخل الجذر، ومن الأمثلة على ذلك: س³+1، و(ص⁴س² + 2×س×ص- ص)/(س-1) = 12، وتُعرف عملية حل المعادلة الجبرية بأنها عملية إيجاد عدد، أو مجموعة من الأعداد التي يصبح طرفا المعادلة متساويين عند تعويضها مكان المتغير، وتجدر الإشارة إلى أن المعادلات كثيرة الحدود التي تستخدم بشكل كبير في علم الرياضيات تعتبر حالة خاصة من المعادلات الجبرية، والصورة العامة لهذه المعادلات هي كما يلي: أس^ن + ب س ^{(ن – 1)} + ……. و س +ي = ل، حيث:^[١٧]

أ، ب، جـ،….، و: تمثل معاملات المتغير س.
س: يمثل الحد الثابت.
ن: هي أكبر قوة في معادلة كثير الحدود، وتسمى المعادلة باسمها فمثلاً إذا كانت ن = 2 فإن المعادلة تسمى المعادلة التربيعية، وإذا كانت ن = 3 فإن المعادلة تسمى المعادلة التكعيبية، ويكون عدد الحلول للمعادلات كثيرة الحدود عادة مساوياً لقيمة ن.

بعض المعادلات تحتوي على عمليات غير جبرية مثل اللوغريتمات، والاقترانات المثلثية، وتُعرف هذه المعادلات بالمعادلات المتسامية (بالإنجليزية: Transcendental Equation)، مثل: س×جا (س).^[١٧]