جديد تحليل الفرق بين مكعبين

نظرة عامة حول الفرق بين مكعبين

يعتبر الفرق بين مكعبين (بالإنجليزية: Difference of Two Cubes) حالة خاصة من كثيرات الحدود،^[١] والصيغة العامة له هي: س³- ص³، حيث إنّ:

• س³: هو الحَدِّ الأوّل ويجب أن يكون مكعباً كاملاً.
• ص³: هو الحَدِّ الثاني ويجب أن يكون مكعباً كاملاً.
• والإشارة بين الحدين هي إشارة فَرْقٍ أو طرح، وبهذا فهي تُمثِّل فَرقاً بين حَدَّين مكعبين، أو فَرقاً بين مكعبين.

لمزيد من المعلومات حول تحليل الفرق بين مربعين يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية تحليل الفرق بين مربعين.

كيفية تحليل الفرق بين مكعبين

يعني تحليل الفرق بين مكعبين كتابة المسألة الفرق بين مكعبين (س³- ص³) على شكل:^[٢]

• الفرق بين مكعبين=(الجذر التكعيبي للحَدِّ الأوّل -الجذر التكعيبي للحَدِّ الثاني)× (مربع الجذر التكعيبي للحَدِّ الأوّل +حاصل ضرب الجذر التكعيبي للحَدِّ الأوّل في الجذر التكعيبي للحد الثاني+ مربع الجذر التكعيبي للحد الثاني)، وبالرموز: (س³-ص³)=(س-ص)(س²+س ص+ص²)،.

ولتحليل الفرق بين مكعبي حدين إلى عوامله، يجب التحقق أوّلاً من أنّ المِقدار مَكتوب على صورة الصيغة العامة وهي: (س³- ص³)، ثمّ تحليله باتّباع الخطوات الآتية:^[٣]

• التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدين، وفي حال وجوده يجب إخراجه أولاً.
• فَتْح قوسين، بحيث تكون العلاقة بينهما ضَرْب: ( )×( )، مع ضرورة كتابة العامل الذي تم إخراجه في الخطوة الأولى خارج القوسين، وضربه بهما.
• تُكتَب في القوس الأول إشارة طرح، وفي القوس الثاني إشارتا جمع: ( – )×( + + )
• حساب الجذر التكعببي للحَدُّ الأوّل وكتابته دون إشارة في القوس الأول قبل إشارة الطَّرْح، هكذا: (س- )×( + + )
• حساب الجذر التكعببي للحَدُّ الثاني وكتابته دون إشارة في القوس الأول بعد إشارة الطَّرْح: (س-ص)×( + + )
• وبهذا يكون الشكل النهائي للقوس الأول قد انتهى، أما القوس الثاني فيتم تطبيق الخطوات الآتية:
  • يُربّع الجذر التكعيبي للحد الأول: (س)²، ويُكتَب في القوس الثاني قبل إشارة الجمع الأولى. (س-ص)×( س² + + )
  • يتم إيجاد حاصل ضرب الحد الأول في الحد الثاني: س×ص، ويُكتَب ناتج الضرب في القوس الثاني بين إشارتي الجمع: (س-ص)×( س² + (س×ص)+ )
  • يربّع الجذر التكعبيبي الحد الثاني: (ص)²، ويُكتَب في القوس الثاني بعد إشارة الجمع الثانية: (س-ص)×( س² +(س×ص)+ص²).
  • وبهذا يكون الشكل النهائي للقوسين هو: (س³- ص³)= (س-ص)×( س² +(س×ص)+ص²).

لمزيد من المعلومات حول تحليل مجموع مكعبين يمكنك قراءة المقال الآتي: تحليل مجموع مكعبين.

أمثلة على تحليل الفرق بين مكعبين

• المثال الأول: حلّل ثنائي الحدود الآتي إلى عوامله الأولية س³-27.^[٢]
  • الحل:
  • إنّ ثنائي الحدود المُعطى يُمثّل الفرق بين مُكعّبين حيث إنّ الحد س³ يعتبر مُكعّباً كاملاً، والحد 27 أيضاً جاء على شكل مُكعّب كامل، والجذر التكعيبي للحد (س³) يُساوي س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد (27) يُساوي 3، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: س³-27=(س-3)(س²+3س+9).

• المثال الثاني: حلل العبارة الآتية: (64-125)، باستخدام الفرق بين مكعبين.^[٤]
  • الحل:
  • نلاحظ أنّ الحَدَّ الأول 125 عبارة عن مكعب كامل =5×5 ×5، كما أنّ الحَدَّ الثاني 64عبارة عن مكعب كامل= 4×4×4، وبهذا يمكن كتابة المسألة على صورة: 64-125= (4)³-(5)³.
  • استخدام الصيغة العامة للفرق بين مكعبين والتعويض فيها لينتج أن: (4)³-(5)³= (4-5)×((4)²+(4×5)+(5)²)
  • (4)³-(5)³ = (1-)×(16+20+25)= 61-.

• المثال الثالث: حلّل ثنائي الحدود الآتي إلى عوامله الأولية س³-8.^[٣]
  • الحل:
  • إنّ ثنائي الحدود المُعطى يُمثّل الفرق بين مُكعّبين حيث إنّ الحد س³ يعتبر مُكعّباً كاملاً، والحد 8 أيضاً جاء على شكل مُكعّب كامل، والجذر التكعيبي للحد (س³) يُساوي س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد (8) يُساوي 2، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص )(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: س³-8=(س-2)(س²+2س+4).

• المثال الرابع: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية 64س³-343ص³.^[٣]
  • الحل:
  • يجب أولاً التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدود، وفي هذه الحالة لا يوجد.
  • نلاحظ أنّ الحَدَّ الأول 64س³عبارة عن مكعب كامل= 4س، كما أنّ الحَدَّ الثاني 343ص³عبارة عن مكعب كامل= 7ص×7ص×7ص، وبهذا يمكن كتابة المسألة على صورة: 64س³-343ص³= (4س)³-(7ص)³.
  • استخدام الصيغة العامة للفرق بين مكعبين والتعويض فيها لينتج أن: (4س)³-(7ص)³= (4س-7ص)×((4س)²+(4س×7ص)+(7ص)²)
  • (4س)³-(7ص)³ = (4س-7ص)×(16س²+28س ص+49ص²).

• المثال الخامس: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 250س⁴-128س باستخدام الفرق بين المكعبين.^[٢]
  • الحل:
  • يجب أولاً التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدود، وخاصة في هذه الحالة؛ لأن كلا الحدين لا يمثل مكعباً كاملاً، وفي هذه الحالة يمكن ملاحظة أن هناك عامل مشترك هو 2س يمكن استخراجه لتصبح المسألة كما يأتي: 2س(125س³-64)، والتي تضم مكعبين كاملين.
  • الجذر التكعيبي للحد (125س³) يُساوي 5س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد (64) يُساوي 4، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: 250س⁴-128س =2س(5س-4)(25س²+20س+16).

• المثال السادس: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 40س³-625ص³.^[٥]
  • يجب أولاً التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدود، وخاصة في هذه الحالة؛ لأن كلا الحدين لا يمثل مكعباً كاملاً، وفي هذه الحالة يمكن ملاحظة أن هناك عامل مشترك هو 5 يمكن استخراجه لتصبح المسألة كما يأتي: 5(8س³-125ص³)، والتي تضم مكعبين كاملين.
  • الجذر التكعيبي للحد (8س³) يُساوي 2س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد (125ص) يُساوي 5ص، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: 40س³-625ص³= 5(2س-5ص)(4س²+10س ص+25ص²).

• المثال السابع: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: س³ص⁶-64.^[٦]
  • الحل:
  • يجب أولاً التأكد من وجود عامل مشترك، وفي هذه الحالة لا يوجد.
  • إنّ ثنائي الحدود المُعطى يُمثّل الفرق بين مُكعّبين حيث إنّ الحد س³ص⁶ يعتبر مُكعّباً كاملاً، والحد 64 أيضاً جاء على شكل مُكعّب كامل، والجذر التكعيبي للحد (س³ص⁶) يُساوي س ص²، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد (64) يُساوي 4، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص )(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: س³ص⁶-64=(س ص²-4)(س²ص⁴+4س ص²+16).

• المثال الثامن: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 27س³-1/(8ص³).^[٧]
  • الحل:
  • يجب أولاً التأكد من وجود عامل مشترك، وفي هذه الحالة لا يوجد.
  • إنّ ثنائي الحدود المُعطى يُمثّل الفرق بين مُكعّبين حيث إنّ الحد 27س³ يعتبر مُكعّباً كاملاً، والحد 1/(8ص³) أيضاً جاء على شكل مُكعّب كامل، والجذر التكعيبي للحد (27س³) يُساوي 3س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد 1/(8ص³) يُساوي 1/(2ص)، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص )(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: 27س³-1/(8ص³)=(3س-1/(2ص))(9س²+(3س)/(2ص)+1/(4ص²)).

• المثال التاسع: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: س³-1.^[٨]
  • الحل:
  • يجب أولاً التأكد من وجود عامل مشترك، وفي هذه الحالة لا يوجد.
  • إنّ ثنائي الحدود المُعطى يُمثّل الفرق بين مُكعّبين حيث إنّ الحد س³ يعتبر مُكعّباً كاملاً، والحد 1 أيضاً جاء على شكل مُكعّب كامل، والجذر التكعيبي للحد (س³) يُساوي س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد 1 يُساوي 1، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص )(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: س³-1=(س-1)(س²+س+1).

• المثال العاشر: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 648س³-81.^[٨]
  • الحل:
  • يجب أولاً التأكد من عدم وجود عامل مشترك بين الحدود، وخاصة في هذه الحالة؛ لأن كلا الحدين لا يمثل مكعباً كاملاً، وفي هذه الحالة يمكن ملاحظة أن هناك عامل مشترك هو 3 يمكن استخراجه لتصبح المسألة كما يأتي: 3(216س³-27)، والتي تضم مكعبين كاملين.
  • الجذر التكعيبي للحد (216س³) يُساوي 6س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد (27) يُساوي 3، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: 648س³-81= 3(6س-3)(36س²+18س+9).

• المثال الحادي عشر: حلّل ما يأتي إلى عوامله الأولية: 8س³-1000.^[٩]
  • الحل:
  • إنّ ثنائي الحدود المُعطى يُمثّل الفرق بين مُكعّبين حيث إنّ الحد 8س³ يعتبر مُكعّباً كاملاً، والحد 1000 أيضاً جاء على شكل مُكعّب كامل، والجذر التكعيبي للحد (8س³) يُساوي 2س، كما أنّ الجذر التكعيبي للحد 1000 يُساوي 10، لذلك وحسب قانون الفرق بين مُكعبّين:
  • س³ – ص³ = (س – ص)(س² + س ص + ص²)، يكون الناتج: 8س³-1000=(2س-10)(4س²+20س+100).

لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات من الدرجة الثالثة يمكنك قراءة المقال الآتي: كيفية حل معادلة من الدرجة الثالثة.
لمزيد من المعلومات حول حل المعادلات يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلات الجبرية.

المراجع

1. ↑ “Difference of Two Cubes”, www.mathsisfun.com. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت} “Factoring Difference of Cubes”, www.csun.edu,11-9-2018، Retrieved 11-9-2018. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت} “factoring a difference of cubes:”, www.mesacc.edu, Retrieved 18-3-2020. Edited.
4. ↑ “Binomials: Sum and Difference of Two Cubes”, www.study.com. Edited.
5. ↑ “Sum and Difference of Cubes”, www.varsitytutors.com, Retrieved 18-3-2020. Edited.
6. ↑ “Sums and Differences of Cubes”, www.purplemath.com, Retrieved 18-3-2020. Edited.
7. ↑ “Difference of Two Cubes “, www.mathopolis.com, Retrieved 18-3-2020. Edited.
8. ^ ^{أ ب} “6.6 Sum and Difference of Cubes”, www.ck12.org, Retrieved 18-3-2020. Edited.
9. ↑ “Read: Special Cases – Cubes”, courses.lumenlearning.com, Retrieved 18-3-2020. Edited.