جديد بحث عن كثيرات الحدود

تعريف كثيرات الحدود

يمكن تعريف كثيرات الحدود (بالإنجليزية: Polynomials) على أنّها عبارة عن تعبيرات رياضية تتكون من متغيرات، ومعاملات ( ثوابت)، بالإضافة إلى عمليات الجمع، والطرح، والضرب، والأسس غير السالبة فقط، وهي تعد جزءاً مهماً من علم الرياضيات والجبر؛ فهي تُستخدم في كل المجالات الرياضية تقريباً للتعبير عن الأعداد كنتيجة للعمليات الرياضية، ومن الأمثلة على كثيرات الحدود: 3^[١]س²-2س+5، -7. س+3، ومن التعابير التي لا تعد من كثيرات الحدود: 6س^-2+2س-3، جتا(س²-1)، وهي التعابير التي تضم عمليات أخرى غير الجمع، والطرح، والضرب، والأسس غير السالبة.^[٢]

لمزيد من المعلومات حول تحليل كثيرات الحدود يمكنك قراءة المقال الآتي: تحليل كثيرات الحدود.

أجزاء كثيرات الحدود

تتكوّن كثيرات الحدود من الأجزاء الآتية:

• أحاديات الحدود أو الحدود: (بالإنجليزية: Monomials) هو عبارة عن تعبير يتكوّن من متغيرات وثوابت، أو ثوابت لوحدها، لكنه لا يحتوي على عمليات جمع أو طرح، وأحاديات الحدود هي الأجزاء الأساسية المكوّنة لكثيرات الحدود، ويُطلق عليها اسم الحد (بالإنجليزية: Term) إذا كانت جزءاً من كثير حدود أكبر، ويوضّح المثال الآتي طريقة تحديد عدد الحدود المكوّنة لكثيرات الحدود:^[٢]

كثير الحدود	عدد الحدود المكونة له
س+3	يتكون من حدين هما: س و3
3س2-2س+5	يتكون من ثلاثة حدود هي: 3س2، و-2س، و5
-7	يتكون من حد واحد هو -7
3أ3ب2-3ب2+2أ-1	يتكون من أربعة حدود هي: 3أ3ب2 ، -3ب2 ، 2أ ، -1
1/2س2-2/3س+3/4	يتكون من ثلاثة حدود هي: 1/2س2، -2/3س ، 3/4

• معامل الحد: (بالإنجليزية: Term Coefficient) هو العنصر الثابت وغير المتغير لذلك الحد، ويوضّح المثال الآتي طريقة تعيين المعاملات لكل حد من الحدود:^[٢]

الحد	المعامل
س	1
3س2	3
2أ2ب3	2

ملاحظة: في حال عدم وجود متغيرات في الحد فإن المعامل يكون هو الحد نفسه.

تصنيف كثيرات الحدود

يمكن تصنيف كثيرات الحدود بطريقتين مختلفتين هما:

• عدد الحدود: حيث ينقسم كثير الحدود بالنسبة إلى عدد الحدود إلى الأقسام الآتية:^[٣]
  • أحادي الحد، وهو يضم حداً واحداً فقط؛ مثل: 8س.
  • ثنائي الحدود، وهو يضم حدين فقط؛ مثل: 3س-4.
  • ثلاثي الحدود، وهو يضم ثلاثة حدود فقط؛ مثل: 4س²+5س-2.
  • إذا احتوى كثير الحدود على عدد أكثر من ثلاثة حدود، فهو يُسمَّى بعدد الحدود التي يحتوي عليها.^[١]
• الدرجة: تُحدّد درجة الحد الواحد من الحدود المكوّنة لكثيرات الحدود عن طريق النظر إلى قيمة أس المتغير الموجود فيه، أو مجموع قيم أسس المتغيرات المكوّنة له في حال احتوائه على أكثر من متغير واحد، لتساوي درجة كثير الحدود درجة الحد الأعلى دائماً من الحدود المكوّنة له، وتوضح الأمثلة الآتية طريقة تحديد درجة كثير الحدود:^[١]
  • المثال الأول: حدّد درجة كثير الحدود الآتي: 5س⁴+3س³+9س²:
    • الحل: درجة الحد 5س⁴ هي4، ودرجة الحد 3س³ هي 3، ودرجة الحد 9س² هي 2، وعليه يعد الحد 5س⁴ الحد ذا الدرجة الأعلى هنا؛ وبناءً عليه يعد كثير الحدود هذا كثير حدود من الدرجة الرابعة؛ لأنّ درجة كثير الحدود تساوي درجة الحد الأعلى.
  • المثال الثاني: حدّد درجة كثير الحدود الآتي: 6ص³+3س ص+9.
    • الحل: درجة الحد 6ص³ هي 3، ودرجة الحد 3س ص هي 2، ودرجة الحد 9 هي صفر، وعليه يعد الحد 6ص³ الحد ذا الدرجة الأعلى هنا، وبناءً عليه يعد كثير الحدود هذا كثير حدود من الدرجة الثالثة؛ لأنّ درجة كثير الحدود تساوي درجة الحد الأعلى.

يجدر بالذكر هنا أن كثير الحدود ذا الدرجة الصفرية يُعرف باسم الثابت، ولأنّ قيمة الثابت لا تتغير فهو يستخدم لوصف الكميات غير المتغيرة، ويُعرف كثير الحدود ذو الدرجة الأولى بكثير الحدود الخطي، وهو يُستخدم لوصف الكميات التي تتغير بمعدل ثابت، ويُستخدم بشكل كبير في المسائل الهندسية المتعلقة بالبعد الواحد مثل الطول، كما يُعرف كثير الحدود ذو الدرجة الثانية باسم كثير الحدود التربيعي، وهو يستخدم بشكل كبير في المسائل الهندسية المتعلقة بالأبعاد الثنائية؛ مثل المساحة، ويُعرف كثير الحدود ذو الدرجة الثالثة بكثير الحدود التكعيبي، ويُستخدم بشكل كبير في المسائل الهندسية ثلاثية الأبعاد مثل الحجم.^[٢]

الشكل القياسي لكتابة كثيرات الحدود

تكتب كثيرات الحدود بالطريقة القياسية عن طريق كتابة الحدود ذات الدرجة الأعلى أولاً، ثم ترتيبها تنازلياً حتى الوصول إلى الحد ذي الدرجة الأقل، ويوضّح المثال الآتي طريقة كتابة كثيرات الحدود بالطريقة القياسية:^[٤]

• اكتب كثير الحدود الآتي بالشكل القياسي: 3س²-7+4س³+س⁶.
  • الحل: الحد ذو الدرجة الأعلى هو س⁶، لذلك فهو يُكتب أولاً، ثمّ 4س³، ثمّ 3س²، ثمّ الثابت، وبالتالي يكتب كثير الحدود هذا بالشكل الآتي: س⁶+4س³+3س²-7.

العمليات الحسابية على كثيرات الحدود

جمع وطرح كثيرات الحدود

تُجمع كثيرات الحدود عن طريق جمع الحدود المتشابهة مع بعضها، وهي الحدود التي تمتلك المتغيرات والأسس ذاتها، ومن الممكن لمعاملاتها أن تختلف عن بعضها؛ فمثلاً تعد س، و7س، و-2س حدوداً متشابهة إلا أنّها تمتلك معاملات مختلفة، بينما تعد الحدود الآتية حدوداً مختلفة: 2س، 2س ص، 2ص، 2س²، 4 كما تُطرح كثيرات الحدود أيضاً بالطريقة نفسها.^[٢]

• المثال الأول: احسب ناتج جمع 2س²+6س+5 و 3س²-2س-1.^[٥]
  • الحل:
    • أولاً: كتابة المسألة بالشكل الآتي: 2س²+6س+5+3س²-2س-1.
    • ثانياً: ترتيب المسألة بوضع الحدود المتشابهة مع بعضها البعض: (2س²+3س²) + ( 6س-2س) + (5-1).
    • ثالثاً: جمع الحدود المتشابهة لينتج ما يلي: (2+3)س²+(6-2)س+(5-1)=5س²+4س+4.

• المثال الثاني: جد ناتج طرح: (5ص² + 2س ص -9) – (2ص² + 2س ص – 3).<^[٥]
  • الحل:
    • تُطرح كثيرات الحدود عن طريق إزالة الأقواس أولاً، ثمّ توزيع إشارة الطرح على القوس الذي يليها لتغيّر كل إشارة فيه، ثمّ جمع الحدود المتشابهة، وذلك كما يلي.
    • 5ص² + 2س ص -9 -2ص² -2س ص+3 = 5ص²-2ص² + 2س ص-2 س ص -9+3 = (5-2)ص²+0-6 = 3ص²-6.

ضرب كثيرات الحدود

يمكن ضرب كثيرات الحدود عن طريق توزيع كل حد من حدود كثير الحدود الأول على كل حد من حدود كثير الحدود الثاني، ثمّ جمع الحدود المتشابهة إن أمكن ذلك، وعند ضرب الحدين ببعضهما البعض؛ فيجب أولاً ضرب المعاملات ببعضها ثمّ جمع الأسس، ويوضح المثال الآتي طريقة ضرب كثيرات الحدود ببعضها:^[٦]

• جد ناتج (3س-4ص)×(5س-2ص).
  • توزيع كل حد من حدود كثير الحدود الأول على كل حد من حدود كثير الحدود الثاني، وهنا يجب توزيع: 3س، و4ص، ومنه ينتج أن: 15س²-6س ص-20س ص+8ص².
  • جمع الحدود المتشابهة مع بعضها: 15س2-26س ص+8ص2.

أمثلة متنوعة حول كثيرات الحدود

• المثال الأول: جد ناتج ما يلي:^[٦][٧]
  • (3س+2)×(4س²-7س+5).
  • (4س-5)×(2س²+3س-6).
  • (3س²-6س+س ص) + (2س³-5س²-3ص) + (7س+8ص).
  • (2س²-4ص+7س ص-6ص²) – (-3س²+5ص-4س ص+ص²).
• الحل:
  • (3س+2)×(4س²-7س+5) = 12س³-21س²+15س+8س²-14س+10 = 12س³-21س²+8س²+15س-14س+10 = 12س³- 13س² +س +10.
  • (4س-5)×(2س²+3س-6) = 8س³+12س²-24س-10س²-15س+30 = 8س³+12س²-10س²-24س-15س+30 = 8س³+2س² -39س +30.
  • (3س²-6س+س ص) + (2س³-5س²-3ص) + (7س+8ص) = 2س³ + 3س²-5س² -6س+7س +س ص + 8ص -3ص = 2س³ -2س² +س +س ص + 5ص.
  • (2س²-4ص+7س ص-6ص²) – (-3س²+5ص-4س ص+ص²) = 2س²+3س² -4ص-5ص +7س ص+4س ص -6ص²-ص² = 5س² -9ص + 11س ص -7ص².

• المثال الثاني: إذا كانت أ = 4س⁴ -3س³+س²-5س+11، ب = -3س⁴+6س³-8س²+4س-3، جد ناتج أ-2×ب.^[٧]
  • الحل:
  • حساب 2×ب أولاً = 2×(-3س⁴+6س³-8س²+4س-3) = -6س⁴+12س³-16س²+8س-6.
  • حساب أ-2ب = 4س⁴ -3س³+س²-5س+11 – (-6س⁴+12س³-16س²+8س-6) = 4س⁴+6س⁴-3س³-12س³+س²+16س²-5س-8س+11+6 = 10س⁴-15س³+17س²-13س+17

• المثال الثالث: جد درجة كل كثير حدود من الآتي:
  • 7س²+3س-2س⁴+8س⁶-7.
  • 6س³+3س ص +9.
  • 4س²+3س+9.
  • 3س⁴-4س³ص+6س²ص³+7ص⁴+2.^[٨]
• الحل:
  • 7س²+3س-2س⁴+8س⁶-7.
    • 7س²، درجته هي (2)، 3س درجته هي (1)، -2س⁴ درجته هي(4)، 8س⁶ درجته هي (6)، -7 درجته هي (0).
    • درجة كثير الحدود هذا هي (6)؛ أي أنه كثير حدود من الدرجة السادسة.
  • 6س³+3س ص +9.
    • 6س³ درجته هي (3)، 3 س ص درجته هي (2)، 9 درجته هي (0).
    • درجة كثير الحدود هذا هي (3)؛ أي أنه كثير حدود من الدرجة الثالثة.
  • 4س²+3س+9.
    • 4س² درجته هي (2)، 3 س درجته هي (1)، 9 درجته هي (0).
    • درجة كثير الحدود هذا هي (2)؛ أي أنه كثير حدود من الدرجة الثانية.
  • 3س⁴-4س³ص+6س²ص³+7ص⁴+2.
    • 3س⁴ درجته هي (4)، 4س³ص درجته هي (4)، +6س²ص³ درجته هي (5)، -7ص⁴ درجته هي (4)، 2 درجته هي (0).
    • درجة كثير الحدود هذا هي (5)؛ أي أنه كثير حدود من الدرجة الخامسة.

• المثال الرابع: كم عدد الحدود المكوّنة لكثير الحدود الآتي: 3س⁵-2س³-4س+7.^[٨]
• الحل: الحدود المكونة له هي:
  • 3س⁵، -2س³، -4س، 7، وعددها هو (4).

• المثال الخامس: اكتب كثير الحدود الآتي بالصورة القياسية: 7س²-4س⁵+12+3س³-2س+2س⁴.
• الحل: -4س⁵+2س⁴+3س³+7س²-2س+12.

• المثال السادس: جد قيمة أ، ب، إذا كان س²+أس+24 = (س-4)(س-ب).^[٩]
• الحل:
  • حساب حاصل ضرب (س-4)(س-ب) = س²-ب س-4س+4ب = س²+أس+24، وعليه:
  • أ = -ب-4 المعادلة الأولى، و 4ب = 24 المعادلة الثانية، ومن المعادلة الثانية: ب =6، وبتعويض قيمتها في المعادلة الأولى ينتج أن: أ= -6-4 = -10.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت} Brenda Meery، Jen Kershaw (11-8-2016)، “Polynomials”، www.ck12.org، Retrieved 22-11-2017. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت ث ج} Andy Hayes، Mehul Arora، Hobart Pao، and others ، “Polynomials”، www.brilliant.org، Retrieved 21-11-2017. Edited.
3. ↑ “Polynomials “، www.wou.edu، Retrieved 22-11-2017. Edited.
4. ↑ “Polynomials”، www.mathsisfun.com، Retrieved 21-11-2017. Edited.
5. ^ ^{أ ب} “Adding and Subtracting Polynomials”، www.mathsisfun.com، Retrieved 21-11-2017. Edited.
6. ^ ^{أ ب} “Here are the steps required for Multiplying Polynomials:”, www.mesacc.edu, Retrieved 13-5-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب} “Adding and Subtracting Polynomials”, www.mathopolis.com, Retrieved 13-5-2020. Edited.
8. ^ ^{أ ب} “Polynomials “, www.mathopolis.com, Retrieved 13-5-2020. Edited.
9. ↑ ” Polynomials”, www.varsitytutors.com, Retrieved 13-5-2020. Edited.