خصائص الأعداد المركبة

• ذات صلة
• بحث عن الأعداد المركبة
• خصائص الأعداد الحقيقية

من خصائص الأعداد المركبة ما يأتي:^[١]

• إذا كانت أ،ب أعداداً حقيقية، وكان أ+ i.ب = 0؛ فإنّ أ=0، ب=0.
• إذا كانت أ،ب،ج،د أعداداً حقيقية، وكان أ+ i.ب = ج+i د؛ فإنّ: أ=ج، ب=د.
• إذا كانت ع₁، ع₂، ع₃ أعداداً مركبة؛ فإنّها تحقق الخاصيّة التبادلية وخاصيتي التوزيع والتجميع كما يأتي:
  • ع₁+ع₂ = ع₂+ع₁ (الخاصيّة التبادلية للجمع).
  • ع₁×ع₂ = ع₂×ع₁ (الخاصيّة التبادلية للضرب).
  • (ع₁+ع₂)+ع₃ = (ع₂+ع₃)+ع₁ (الخاصيّة التجميعية للجمع).
  • (ع₁×ع₂)×ع₃ = (ع₂×ع₃)×ع₁ (الخاصيّة التجميعية للضرب).
  • ع₁×(ع₂+ع₃) = ع₁×ع₂+ع₁×ع₃. (خاصيّة توزيع الضرب على الجمع).
• الناتج من جمع عدد مركب مع مرافقه (بالإنجليزية: Conjugate) هو عدد حقيقي، فإذا كان (أ+ i.ب) عدداً مركباً وكان مرافقه (أ- i.ب)، فإن نتيجه جمعهما معاً هي: (أ+ i.ب) + (أ- i.ب) = 2.أ؛ حيث أ: عدد حقيقي.
• ناتج ضرب عدد مركب بمرافقه هو عدد حقيقي، فإذا كان (أ+ i.ب) عدداً مركباً وكان مرافقه (أ- i.ب)، فإن نتيجة ضربهما هي: (أ+ i.ب)×(أ- i.ب) = أ²-أ.بi²+أ.بi²-ب².i² = أ²-ب²i.²، وبما أنّ: i²=-1 فإنّ ناتج الضرب هو: أ²+ب² وكلاهما عددان حقيقيان.
• إذا كان ناتج جمع وضرب العددين المركبين هو عدد حقيقي؛ فالعددان مرافقان لبعضهما.
• إذا كان: ع₁، ع₂ عددين مركبين؛ فإنّ القيمة المطلقة لناتج جمعهما تكون أقل أو مساوية للقيمة المطلقة للعدد ع₁ عند جمعها مع القيمة المطلقة للعدد ع₂، أي أنّ: |ع₁+ع₂| ≤ |ع₁|+|ع₂|.
• ناتج جمع أو طرح أو ضرب أي عددين مركبين هو عدد مركب.^[٢]
• عند جمع 0 إلى عدد مركب ينتج نفس العدد؛ أي أنّ: (أ+ i.ب)+0= (أ+ i.ب).^[٢]
• عند جمع عدد مركب مع معكوسه ينتج العدد 0: ع+(-ع)= (أ+ i.ب) +- ((أ+ i.ب))= أ+ i.ب-أ-i.ب)=0.^[٢]
• عند ضرب 1 بعدد مركب ينتج نفس العدد: 1×(أ+ i.ب)=(أ+ i.ب).^[٢]
• عند ضرب العدد المركب (ع) بـ (1/ع)، ينتج العدد 1؛ أي ع×1/ع = 1.^[٢]
• لا يُمكن لعدد حقيقي أن يتساوى مع عدد تخيلي، ويُمكن إثبات ذلك كما يأتي:^[٣]
  • نفترض أن أ،ب عددان حقيقيان لا يساويان الصفر، وكان أ = i.ب؛ حيث: i.ب عدد تخيّلي، ثم بتربيع الطرفين: أ²=(ب².i²)، وتعويض قيمة i² = -1، ينتج أنّ: أ²=-ب²، ثمّ نقل ب² إلى الطرف الآخر لينتج أنّ: أ²+ب²=0، وحتى تتحقق هذه المعادلة يجب لكل من قيمة أ، ب أن تساوي الصفر، ولكن ذلك يُناقض الفرضية الأولى أنّ: أ،ب≠0، وبالتالي لا يُمكن لعدد حقيقي أن يتساوى مع عدد تخيلي.
• يتساوى العددان المركبان إذا تساوى الجزء الحقيقي في كليهما وتساوى الجزء التخيلي في كليهما؛ أي أنّ: (أ+ i.ب) = (ج+ i.د)، إذا كان: أ=ج، ب=د، والأمثلة الآتية توضّح ذلك:^[٣]
  • مثال: ما هي قيم س، ص في: ع = 2س+4.i.ص، ل= -i³.س-ص+3؟
    • مساواة الجزأين الممثلين للعدد الحقيقي معاً: 2س = 3-ص ….. المعادلة الأولى.
    • مساواة الجزأين الممثلين للعدد التخيلي معاً: -i³.س = 4.i.ص، وبالتالي ينتج أنّ: س = 4ص ….. المعادلة الثانية.
    • تعويض قيمة س من المعادلة الثانية في المعادلة الأولى لينتج أنّ: 2×4×ص=3-ص لينتج: 9ص=3، ثمّ ترتيب المعادلة لينتج أنّ: ص=⅓، ثمّ تعويض قيمة ص في: س=4ص، لتنتج قيمة س= 4⁄3.

• • مثال: ما هي قيم س، ص إذا كان (3-4.i)×(س+ص.i.0+1= (i؟
    • بأخذ الجزء الأيسر من المعادلة وفك الأقواس ينتج أنّ: 3س+3ص.i-(4 س.i) -(4.ص.i²).
    • تعويض قيمة i² = -1 لينتج أنّ: 3س+3ص.i-(4 س.i) +(4.ص).
    • أخذ i كعامل مشترك لينتج أنّ: 3س+4ص+i.(3ص -4 س).
    • بما أن العددين المركبين متساويين فإن الجزء الحقيقي متساوٍ في كليهما حسب الخاصيّة السابقة: 3س+4ص=1، والجزء التخيلي متساوِ: i(3ص -4 س)=0.i، وبترتيب المعادلة ينتج أنّ: 3ص=4س، ومنه ص=4/3×س ….. المعادلة الأولى.
    • تعويض قيمة ص من المعادلة الأولى في: 3س+4ص=1 لينتج أنّ: 3س+4(4/3×س)=1، 3س+16⁄3س=1، وبتوحيد المقامات ينتج أنّ: 9⁄3س+16⁄3س=1، 25⁄3س=1، ومنه: س=3⁄25.
    • تعويض قيمة س في المعادلة الأولى: ص=4/3س، لينتج أنّ قيمة ص = 4⁄25.

يُمكن إجراء العمليات الحسابية المختلفة على الأعداد المركبة كما يأتي:^[٤]

• الجمع: تتم عملية جمع عددين مركبين عن طريق جمع كل من الجزء الحقيقي في كليهما على حدة، وجمع الجزء التخيلي على حدة؛ فمثلاً عند جمع العددين المركبين: (أ+ب.i) + (ج+د.i)، ينتج أنّ: (أ+ج)+(ب+د).i.

• الضرب: تتم عملية الضرب بفك الأقواس وتعويض قيمة i²=-1؛ فمثلاً عند ضرب العددين المركبين: (أ+ب i)×(ج+د.i)، ينتج أنّ: أ.ج + أ.د.i + ب.ج.i + ب.د.i²، وتعويض i²=-1 لينتج أنّ: أ.ج+أ.د.i+ب.ج.i-ب.د، ثمّ ترتيب الأجزاء الحقيقية والتخيلية، وتجميعهما معاً لينتج أنّ: أ.ج-ب.د+(أ.د+ب.ج).i.

• مرافق العدد المركب: وينتج عند استبدال i بالعدد المركب بـ : (-i)، ويتم الإشارة إليه عن طريق وضع خط فوق العدد المركب؛ فمثلاً مرافق العدد المركب (أ+ب.i) هو: (أ-ب.i).

• القسمة: تتم عملية قسمة عدد مركب على عدد مركب آخر عن طريق ضرب كل من البسط والمقام بمرافق المقام؛ فمثلاً عند قسمة العدد المركب ز على و: ز/و، يجب أولاً ضرب كل من البسط والمقام بمرافق (و) والذي يساوي: (وَ) فينتج أنّ: (ز×وَ)÷(و×وَ)= (ز×وَ)/|و|².
  • مثال: (1+i) ÷ (i-1).
  • ضرب كلّ من البسط والمقام بمرافق المقام (1+i) لينتج أنّ: (1+i) ÷ (i-1) = i.

تكمن أهمية الأعداد المركبة في التطبيقات والاستخدامات التي تدخل فيها، ومنها ما يأتي:

• حل المعادلات متعددة الحدود،^[٥] إذ تستخدم في حل المعادلات التربيعية.^[٦]
• تستخدم في الهندسة الكهربائية، وميكانيكا الكم.^[٧]
• تستخدم في الإلكترونيات والمجالات الكهرومغناطيسية.^[٨]
• تستخدم في ديناميكا السوائل.^[٩]
• تتميز بأنه يمكن تمثيلها بيانياً.^[١٠]
• تتميز بأنها تحقق الخاصية التبديلية والتجميعية لعملية الجمع.^[١١]
• تتميز بأنها تحقق الخاصية التبديلية والتجميعية والتوزيعية لعملية الضرب.^[١٢]

من المعروف أنه عند تربيع أي عدد من الأعداد الحقيقيّة ما عدا الصفر فإنّ الناتج يكون دائماً عدداً موجباً، وبالتالي لا يُمكن لأيّ عدد حقيقي أن يُحقق المعادلة: س²+1=0، لأنه من المُستحيل أن تكون قيمة س² سالبة، لذلك تم استحداث مجموعة جديدة من الأعداد وإضافتها إلى مجموعات الأعداد المعروفة وهي الأعداد المركبة (بالإنجليزية: Complex Numbers)، ومن أهم ميزاتها هو احتواؤها على العدد i، وهو عدد مربعه يساوي سالب واحد؛ أي أنّ: ²i = -1، وتُكتب عادة على الشكل أو الصورة العامة الآتية:

• ك = أ+ب.i، حيث؛ (ك): عدد مركب، (أ، ب) أعداد حقيقية، أمّا (i² = -1، ومنه: i = √-1)، ومن الأمثلة على الأعداد المركبة ما يلي: 3+2i ،3i.^[١٣][١٤]

تجدر الإشارة هنا إلى أنه يُمكن اعتبار كلّ عدد حقيقي على أنّه عدد مركب؛ فإذا كان ح هو عدد حقيقي؛ فإنّه يمكن كتابته على شكل: ح = ح+0×i.^[١٣][١٤]

1. ↑ “Properties of Complex Numbers”, www.math-only-math.com, Retrieved 19/7/2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب ت ث ج} “Operations on Complex Numbers”, www.toppr.com, Retrieved 19/7/2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب} O.P. Malhotra , S.K. Gupta , Anubhuti Gangal (1965), ISC Maths XI, New Delhi: S Chand school, Page 188. Edited.
4. ↑ Dan Margalit, Joseph Rabinoff, “AComplex Numbers”، www.textbooks.math.gatech.edu, Retrieved 19/7/2020. Edited.
5. ↑ ” Intro to complex numbers”, Khan academy, Retrieved 11/9/2021. Edited.
6. ↑ Elaine J. Hom (30/1/2014), “What Are Complex Numbers?”, Live science, Retrieved 11/9/2021. Edited.
7. ↑ “Complex Numbers and their Applications”, UK Essays, 29/7/2021, Retrieved 11/9/2021. Edited.
8. ↑ Elaine J. Hom (30/1/2014), “What Are Complex Numbers?”, Live science, Retrieved 11/9/2021. Edited.
9. ↑ “Application And Use Of Complex Numbers”, Uk Essays , 24/4/2017, Retrieved 11/9/2021. Edited.
10. ↑ “Complex number”, WhatIs.com, 12/5/2008, Retrieved 12/9/2021. Edited.
11. ↑ “Properties of Complex Numbers”, Math-only-math, Retrieved 11/9/2021. Edited.
12. ↑ “Properties of Complex Numbers”, Math-only-math, Retrieved 11/9/2021. Edited.
13. ^ ^{أ ب} “1.3 REAL NUMBER PROPERTIES; COMPLEX NUMBERS”, www.math.usu.edu, Retrieved 19/7/2020. Edited.
14. ^ ^{أ ب} “Complex Numbers”, www.byjus.com, Retrieved 19/7/2020. Edited.