جديد طرق حل المعادلات بالمصفوفات

محتويات

١ طرق حل المعادلات بالمصفوفات
- ١.١ باسخدام معكوس المصفوفة
- ١.٢ باسخدام الحذف (جاوس)
٢ أمثلة متنوعة على حل المعادلات بالمصفوفات
٣ نظرة عامة حول حل المعادلات بالمصفوفات
٤ المراجع

طرق حل المعادلات بالمصفوفات

باسخدام معكوس المصفوفة

يمكن حل نظام من المعادلات الخطية باستخدام هذه الطريقة عن طريق اتباع ما يلي:^[١]

وضع المتغيرات في مصفوفة لوحدها ولنفترض أنها (س)
وضع الثوابت في مصفوفة لوحدها ولنفترض أنها (ب)
وضع معاملات المتغيرات في مصفوفة لوحدها ولنفترض أنها (أ)؛ بحيث تكون معاملات المتغير الأول في العمود الأول، ومعاملات المتغير الثاني في العمود الثاني، وهكذا.
وبالتالي فإن: المصفوفة أ × المصفوفة س = المصفوفة ب.
بضرب طرفي المعادلة بمعكوس المصفوفة أ فإن المصفوفة س = أ ^-1 × ب، وبالتالي فإنه بمعرفة قيمة معكوس المصفوفة أ^-1 يمكن حل هذا النظام، ومعكوس أية مصفوفة (جـ مثلاً) = 1/ (أ×د – ب×جـ)×المصفوفة ل، بحيث:^[٢]

المصفوفة جـ (المصفوفة الأصلية):

|+ أ + ب |

|+جـ + د |

المصفوفة ل:

|+ د −ب |

|−جــ + أ |

حل نظام مكون من معادلتين
يمكن توضيح كيفية حل هذا النظام باستخدام طريقة معكوس المصفوفة بالاستعانة بالمثال الآتي:^[٢]

مثال: ما هو حل المعادلتين الخطيتين الآتيتين: 3س+ص = 5، و 2س-ص = 0.
الحل:
وضع معاملات المتغيرات في المصفوفة أ، ووضع المتغيرات في المصفوفة س، ووضع الثوابت في المصفوفة ب، ثم تطبيق العلاقة: المصفوفة أ × المصفوفة س = المصفوفة ب، وذلك كما يلي:

| +3 +1 | |س| = | 5 |

| +2 −1 | |ص| = | 0 |

إيجاد معكوس المصفوفة أ بتطبيق القاعدة، وذلك كما يلي: أ ^-1 = (1/((3×-1) – (1×2)) × المصفوفة د، وهي:

| 1− 1− |

| 3+ 2− |

ومنه ينتج أن معكوس المصفوفة أ هو: -1/5 × المصفوفة د.
ضرب طرفي العلاقة السابقة بمعكوس المصفوفة أ، وتبسيط الحل لينتج أن:

| +3 +1| |س| = | 5 | ← | 1 0 | |س| = | 1 |

| +2 −1| |ص| = | 0 | ← | 0 1 | |ص| = | 2 |

وهذا يعني أن قيمة س وص تساوي 1، و2.
ملاحظة: يتم ضرب مصفوفة في مصفوفة أخرى كما يلي:

| الصـف الأول×العـمود الأول — الصف الأول× العمود الثاني|

| الصف الثاني×العمود الأول — الصف الثاني×العمود الثاني|

حل نظام مكون من ثلاث معادلات
يمكن توضيح كيفية حل نظام مكون من ثلاث معادلات بالاستعانة بالمثال الآتي:^[٣]

مثال: ما هو حل المعادلات: س+ص+ع = 6، 2ص+5ع = -4، 2س+5ص-ع = 27؟
الحل: يتم وضع جميع معاملات المتغيرات في المصفوفة أ، وجميع الثوابت في المصفوفة ب، والمتغيرات في المصفوفة س، مع ملاحظة أنه لا توجد قيمة لمعامل التغير س في المعادلة الثانية، وبالتالي يتم وضع صفر في مكان معامل المتغير، وذلك كما يلي:
المصفوفة أ: يتم وضع معاملات المتغير في الثلاثة معادلات في العمود الأول، ومعاملات المتغير ص في العمود الثاني، ومعاملات المتغير ع في العمود الثالث، وذلك كما يلي:

| +1 +1 +1 |

|صـفر +2 +5|

| +2 +5 −1 |

المصفوفة س: يتم وضع المتغيرات س، وص، وع في هذه المصفوفة، وذلك كما يلي:

|س|

|ص|

| ع |

المصفوفة ب: يتم وضع قيم الثوابت في هذه المصفوفة، وذلك كما يلي:

| +6 |

| −4 |

|+27|

تطبيق العلاقة: المصفوفة أ × المصفوفة س = المصفوفة ب، وذلك كما يلي:

| +1 + 1 +1 | |س| =| +6 |

|صـفر +2 +5 | |ص| =| −4 |

| +2 + 5 −1 | | ع | =|+27|

إيجاد معكوس المصفوفة أ، ويساوي 1/21- × المصفوفة الآتية:

|−27 +6 +3 |

|+10 −3 −5 |

| −4 − 3 +2 |

ضرب طرفي المعادلة بمعكوس المصفوفة أ، وتبسيط الحل لينتج ما يأتي:

|س| = |+5|

|ص| = |+3|

| ع | = |−2|

وبالتالي فإن قيمة كل من س، وص، وع على التوالي تساوي 5، 3، -2.

باسخدام الحذف (جاوس)

حل نظام مكون من معادلتين
يمكن الاستعانة بالمثال الآتي لتوضيح كيفية حل نظام مكون من معادلتين باستخدام طريقة الحذف:^[٤]

مثال: ما هو حل المعادلتين الآتيتين: 5س-2ص = 13، 2س+ص = 7؟
الحل: يتم وضع معاملات المتغير س في العمود الأول، ومعاملات المتغير ص في العمود الثاني، ووضع الثوابت في العمود الثالث، وبالتالي تنتج المصفوفة أ كما يلي:

| +5 −2 : +13 |

| +2 +1 : + 7 |

استخدام عمليات الضرب، وإضافة الصفوف إلى بعضها لتحويل المصفوفة إلى الشكل الآتي في النهاية:

| أ ب : جـ |

| 0 د : ي |

يمكن تحقيق هذه النتيجة عند ضرب الصف الأول بالعدد 2، وضرب الصف الثاني بالعدد (-5)، وجمع الصفين مع بعضهما وكتابة النتيجة في الصف الثاني، وذلك كما يلي:

| +5 −2 :+13 | × +2 ← | +10 −4 : +26 |

| +2 +1 : +7 | × − 5 ← | −10 −5 : −35 |

إعادة كتابة المصفوفة بكتابة الصف الأول كما هو في المصفوفة (أ)، والصف الثاني هو ناتج عملية الجمع، وذلك كما يلي:

| + 5 − 2 : +13|

| صـفر −9 : −9 |

تمثل المصفوفة السابقة معادلتان هما: 5س – 2ص = 13، -9ص = -9، و وبالتالي فإن ص = 1، وبتعويض قيمة ص في المعادلة الثانية فإن قيمة س = 3.

حل نظام مكون من ثلاث معادلات

يمكن الاستعانة بالمثال الآتي لتوضيح كيفية حل نظام مكون من ثلاثة معادلات باستخدام طريقة الحذف.^[٥]

مثال: ما هو حل النظام الذي يتكون من المعادلات: 2س+ص-3ع = -4، 4س-2ص+ع = 9، 3س+5ص-2ع = 5؟
الحل: وضع معاملات المتغير الأول (س) في العمود الأول، ومعاملات المتغير الثاني (ص) في العمود الثاني، ومعاملات المتغير الثالث (ع) في العمود الثالث، وقيمة الثوابت في العمود الرابع، وفي حال عدم وجود قيمة لمعامل المتغير فيتم وضع قيمة صفر مكانه، وذلك كما يلي:

| +2 +1 −3 : −4 | صف (1)

| +4 −2 +1 : +9 | صف (2)

| +3 +5 −2 : +5 | صف (3)

استخدام عمليات الضرب، وإضافة الصفوف إلى بعضها لتحويل المصفوفة إلى الشكل الآتي في النهاية:

| أ ب جــــ : د | صف (1)

| 0 ي ف: ق | صف (2)

| 0 0 هـــ : و | صف (3)

لتحقيق ذلك يجب جعل قيمة س في الصفين الثاني، والثالث تساوي صفر، وذلك بضرب الصف الأول بالعدد (2-) وجمعه للصف الثاني، لتصبح المصفوفة كما يلي:

| +2 + 1 − 3 : − 4 | صف (1)

| صفر −4 +7 : +17 | صف (2)

| + 3 +5 − 2 : + 5 | صف (3)

جعل قيمة س في الصف الثالث تساوي صفر، بضرب الصف الأول بالعدد (-3)، وضرب الصف الثالث بالعدد (2) وجمع الصفين مع بعضهما، لتصبح المصفوفة كما يلي:

| + 2 + 1 −3 : − 4 | صف (1)

| صفر −4 +7 : +17 | صف (2)

| صفر +7 +5 : +22 | صف (3)

جعل قيمة ص في الصف الثالث تساوي صفر، وذلك بضرب الصف الثاني بالعدد (7) والصف الثالث بالعدد (4)، وجمع الصفين مع بعضهما لتصبح المصفوفة كما يأتي:

| +2 +1 −3 : − 4 | صف (1)

| 0 −4 +7 : + 17 | صف (2)

| 0 0 +69 : +207 | صف (3)

تمثل المصفوفة السابقة ثلاث معادلات، وهي:
- 2س + ص – 3ع = -4 معادلة (1)
- -4ص + 7ع = 17 معادلة (2)
- 69 ع = 207 معادلة (3)
إيجاد قيمة ع من المعادلة الثالثة، وتساوي 3.
تعويض قيمة ع في المعادلة الثانية لإيجاد قيمة ص، وبالتالي ص = 1.
تعويض قيمة ص، وع في المعادلة الأولى لإيجاد قيمة س، وبالتالي س= 2.

أمثلة متنوعة على حل المعادلات بالمصفوفات

المثال الأول: ما هو حل المعادلتين الآتيتين: 7س + 5ص = 3، و 3س – 2ص = 22 باستخدام طريقة معكوس المصفوفة؟^[٦]
الحل: يتم وضع معاملات المتغيرات في المصفوفة أ، والثوابت في المصفوفة ب، والمتغيرات في المصفوفة س، ثم تطبيق العلاقة الآتية المصفوفة أ × المصفوفة س = المصفوفة ب، وذلك كما يلي:

| +7 +5 | |س| = | +3 |

| +3 −2 | |ص| = |+22 |

إيجاد معكوس المصفوفة أ، ويساوي 1/ ((7×-2) – (3×5)) × المصفوفة الآتية:

| −2 −5 |

| −3 +7 |

بتوزيع العدد -1/29 وهو ناتج 1/ ((7×-2) – (3×5)) على المصفوفة السابقة ينتج ما يأتي:

| +2/29 +5/29 |

| +3/29 −7/29 |

بضرب طرفي العلاقة السابقة بمعكوس المصفوفة، ينتج ما يلي:

| 1 0 | × |س| = |+4|

| 0 1 | × |ص| = |−5|

وبالتالي فإن قيمة س، وص على التوالي 4، و-5.

المثال الثاني: ما هو حل المعادلتين الآتيتين: 2س-2ص-3 =0، 8ص = 7س+2 باستخدام طريقة معكوس المصفوفة؟^[٧]
الحل: ترتيب المعادلتين بحيث تصبح المتغيرات على طرف، والثوابت على طرف آخر، وذلك كما يلي:
- 2س -2ص = 3.
- 7س-8ص = -2.
وضع معاملات المتغيرات في المصفوفة أ، والثوابت في المصفوفة ب، والمتغيرات في المصفوفة س ثم تطبيق العلاقة: المصفوفة أ×المصفوفة س = المصفوفة ب، وذلك كما يلي:

| +2 −2 | × |س| = |+3|

| +7 −8 | × |ص| = |−2|

إيجاد معكوس المصفوفة (أ)، ويساوي -1/2× المصفوفة الآتية:

| −8 +2 |

| −7 +2 |

بتوزيع العدد -1/2 على المصفوفة السابقة ينتج ما يلي:

| + 4 −1 |

|+3.5 −1 |

ضرب طرفي العلاقة السابقة بمعكوس المصفوفة أ، لينتج ما يلي:

| 1 0 | × |س| = | +41 |

| 0 1 | × |ص| = |+12.5|

- وبالتالي فإن س =14، وقيمة ص = 12.5.

المثال الثالث: ما هو حل المعادلتين الآتيتين: 3س+4ص = 5، 2س-ص = 7 باستخدام طريقة الحذف؟^[٨]
الحل: ترتيب المعادلتين في المصفوفة بحيث تكون معاملات المتغير س في العمود الأول، ومعاملات المتغير ص في العمود الثاني، والثوابت في العمود الثالث، وذلك كما يلي:

| +3 +4: +5 |

| +2 −1: +7 |

استخدام عمليات الضرب، وإضافة الصفوف إلى بعضها لتحويل المصفوفة إلى الشكل الآتي في النهاية:

| أ ب : جـ |

| 0 د : ي |

بضرب كل عنصر في الصف الثاني بالعدد (-3)، وكل عدد بالصف الأول بالعدد (2) وجمع الصفين معاً تنتج المصفوفة الآتية:

| + 3 + 4 : + 5 |

|صـفر +11 :−11 |

تمثّل المصفوفة السابقة معادلتان هما: 3س +4ص = 5، 11ص = -11، و وبالتالي فإن ص = -1، وبتعويض قيمة ص في المعادلة الأولى فإن قيمة س = 3.

المثال الرابع: ما هو حل المعادلات الآتية: س+ص+ع = 3، س+2ص+3ع = 0، س+3ص+2ع = 3 باستخدام طريقة الحذف؟^[٩]
الحل: وضع معاملات المتغير س في العمود الأول، ومعاملات المتغير ص في العمود الثاني، ومعاملات المتغير ع في العمود الثالث، والثوابت في العمود الرابع لتنتج المصفوفة الآتية:

| +1 +1 +1 : + 3 |

| +1 +2 +3 : صـفر|

| +1 +3 +2 : + 3 |

استخدام عمليات الضرب، وإضافة الصفوف إلى بعضها لتحويل المصفوفة إلى الشكل الآتي في النهاية:

| أ ب جــــ : د | صف (1)

| 0 ي ف: ق | صف (2)

| 0 0 هـــ : و | صف (3)

لتحقيق ذلك يجب طرح قيمة كل عنصر في الصف الثاني من الصف الأول، ووضع قيمتها في الصف الثاني، لتنتج المصفوفة الآتية:

| + 1 +1 +1 : +3 |

|صـفر +1 +2 : −3 |

| + 1 +3 +2 : +3 |

طرح قيمة كل عنصر في الصف الثالث من الصف الأول، ووضع قيمته في الصف الثالث، وذلك كما يلي:

| + 1 +1 +1 : + 3 |

|صـــفر +1 +2: − 3 |

|صـفر +2 +1: صـفر |

ضرب كل عنصر في الصف الثاني بالعدد 2، ثم طرح قيمة كل عنصر في الصف الثاني من الصف الثالث، ووضع قيمته في الصف الثالث، وذلك كما يلي:

| + 1 +1 +1 : + 3 |

|صـفر +1 +2 : − 3 |

|صفر صفر −3 : +6 |

من المصفوفة السابقة يتشكل لدينا ثلاثة معادلات، وهي: س+ص+ع = 3، ص+2ع = -3، -3ع = 6.
- وبالتالي فإن ع = -2.
- بتعويض قيمة ع في المعادلة الثانية فإن ص = 1.
- بتعويض قيمة ع، وص في المعادلة الأولى فإن س = 4.

لمزيد من المعلومات حول طرق حل المعادلات يمكنك قراءة المقال الآتي: طرق حل المعادلات الجبرية.

نظرة عامة حول حل المعادلات بالمصفوفات

يمكن تعريف المصفوفة (بالإنجليزية: Matrix) بأنها مجموعة من الأعداد التي تترتب بشكل معين ضمن أعمدة، وصفوف، ومن الأمثلة على المصفوفات ما يأتي:^[٣]

| 4+ 5− 1+ |

| 5+ 1+ 4+ |

| 5+ 2+ 5+ |

ويمكن استخدام المصفوفات لحل نظام من المعادلات الخطية التي يمكن حلها كذلك باستخدام مجموعة من الطرق الأخرى؛ كالحذف، والتعويض،^[١] وقبل البدء في حل المعادلات عن طريق المصفوفات، فإنه يجب مراعاة الأمور الآتية:^[١]

أن تكون جميع المعادلات مكتوبة بنفس الطريقة؛ أي يجب أن يكون ترتيب المتغيرات متماثلاً في المعادلتين.
كتابة المعادلة عن طريق وضع جميع المتغيرات على طرف، والثوابت على طرف آخر.
يمكن تمثيل نظام المعادلات عند حلها بطريقة المصفوفات في عدة أشكال، وهي:^[١٠]
- الشكل الأول: يتم فيه وضع معاملات المتغيرات، والثوابت، والمتغيرات في ثلاثة مصفوفات مختلفة ومنفصلة.
- الشكل الثاني: يتم فيه وضع معاملات المتغيرات، والمتغيرات، والثوابت في نفس المصفوفة فيما يعرف بالمصفوفة المُدمجة؛ أي:
- 2س+4ص+7ع =4.
- 3س+3ص+2ع =8.
- 5س+6ص+3ع =0.