جديد خواص القيمة المطلقة

تعريف القيمة المطلقة

يمكن تعريف القيمة المطلقة (بالإنجليزية: Absolute Value) بأنّها المسافة التي يبعدها العدد الحقيقي بغض النظر عن إشارته عن الصفر على خط الأعداد، فالعدد 6 يبعد عن الصفر بمقدار 6، وكذلك الأمر بالنسبة للعدد (-6)،^[١] وهي تُعنى بقيمة العدد دون النظر إلى إشارته، وتُستخدم عادة عند التكلم عن المسافات، لعدم وجود مسافات سالبة في الواقع والحياة،^[٢] وتُكتب القيمة المطلقة للعدد س مثلاً باستخدام الرمز الآتي: |س|؛ فمثلاً يمكن التعبير عن القيمة المطلقة للعدد (5) على شكل |5| = 5، وكذلك الأمر بالنسبة للعدد (-5): |5-|=5،^[١] وهي تعني عملياً إزالة الإشارة السالبة الموجودة أمام العدد، والتفكير في جميع الأعداد على أنها موجبة دائماً أو مساوية للصفر فقط.^[٣]

خصائص القيمة المطلقة

هناك العديد من خصائص القيمة المطلقة، ومنها ما يلي:^[٤]

• |أ|≥0؛ أي أن القيمة المطلقة للعدد أ لا يمكن لها أن تكون أقل من الصفر؛ حيث أ أي عدد حقيقي.
• |أ|= (أ²)√؛ حيث يساوي جذر العدد عدداً موجباً أو مساوياً للصفر في الأعداد الحقيقية.
• |أ×ب|=|أ|×|ب|، وهذا يعني أن حاصل ضرب القيمة المطلقة للعدد أ بالقيمة المطلقة للعدد ب يساوي القيمة المُطلقة لحاصل ضرب العددين أ و ب.
• |أ|=|-أ|, حيث يمتلك العدد وسالبه القيمة المطلقة ذاتها.^[٥]
• |أ-ب|=|ب-أ|؛ حيث (أ-ب) ≠ (ب-أ)، بينما القيمة المطلقة لهما متساوية.^[٥]
• |أ|=|ب|، فقط إذا كانت أ=ب، أو أ=-ب.^[١]
• |أ|^ن=|أ ^ن|، حيث ن= عدد صحيح موجب.^[١]
• |أ|/|ب|=|أ/ب|، حيث ب لا تساوي صفر.^[١]
• |أ±ب|≤|أ|+|ب|, وتعني أن القيمة المطلقة لمجموع قيمة العددين أ, ب أقل دائماً أو مساوية لناتج جمع أو طرح القيمة المطلقة للعدد أ مع القيمة المطلقة للعدد ب.^[٦]

ملاحظة: يمثل المتغيران أ، ب في الخصائص السابقة أي عددين حقيقيين.

لمزيد من المعلومات حول الأعداد الحقيقية يمكنك قراءة المقالات الآتية: ما هي الأعداد الحقيقية، خصائص الأعداد الحقيقية.

اقتران القيمة المطلقة

يعبّر عن اقتران القيمة المطلقة بالصيغة الآتية: ق(س)=|س|، وهو يحوّل قيمة س إلى القيمة الموجبة دائماً؛ فمثلاً ق(4-)=|4-|=4، وياخذ هذا الاقتران عند تمثيله بياناً شكل حرف (V)، ويمتاز بالمميزات الآتية:^[٧]

• مجاله هو جميع الأعداد الحقيقية.
• مداه هو جميع الأعداد الحقيقية التي تساوي أو تزيد عن الصفر.
• رسمه البياني يقع بالكامل فوق محور السينات.
• رسمه البياني متماثل بالنسبة لمحور الصادات.

أمثلة على القيمة المطلقة

• المثال الأول: ما هو ناتج كل مما يلي:^[١][٣]
  • |3.5|-|2.5-|.
  • |5×6|.
  • |2×(2/3 – 0.5)|.
  • |12-|-.
  • |²(2-)|-.^[٨]
  • |³(-3)+5|.

• الحل:
  • |3.5| – |2.5-| = 3.5 – 2.5=1.
  • |5×6|=|30|=30.
  • |2×(2/3 – 0.5)| = |2×(1/6)| = |1/3| = 1/3.
  • |12-|-= 12-.
  • |²(2-)|- = |4|- = 4-.
  • |³(-3)+5| = |27+5-| =|22-| = 22.

• المثال الثاني: احسب قيمة س في المسألة: |س+2|=5؟^[٤]
  • الحل:
  • س+2=5±، ومنه:
    • س+2=5، ومنها س=3.
    • س+2=5- ، ومنها س=7-.

• المثال الثالث: احسب مدى س في المسألة: |س| < 3.^[٣]
  • الحل:
  • يمكن كتابة هذه المسألة على شكل: س< 3±، وعليه:
  • س< 3، أو س>-3؛ أي أن -3<س<3.

• المثال الرابع: احسب مدى س في المسألة: |3س-6| ≤ 12.^[٣]
  • الحل:
  • يمكن كتابة هذه المسألة على شكل: (3س-6)≤ 12±، وبالتالي: 3س-6 ≤ 12، أو 3س-6 ≤ 12-، ومنه:
    • 3س-6≤ 12، تصبح بعد جعل س على طرف لوحدها: س≤ 6.
    • 3س-6 ≤ 12-، تصبح بعد جعل س على طرف لوحدها: 2- ≤ س .
    • وبالتالي: 2- ≤ س ≤ 6

• المثال الخامس: احسب قيمة س في المسألة: |س-2| + |س-3| = 1.^[١]
  • الحل:
  • يمكن كتابة هذه المسألة على شكل: ±(س-2)±(س-3) = 1، وبالتالي هناك عدة حالات على الشكل الآتي:
    • س-2+ س-3= 1، وبالتالي: 2س-5 =1، ومنه: س= 3.
    • -س+2 – س+3 = 1، وبالتالي: -2س+5=1، ومنه: س = 2.
    • س-2- س+3= 1، وهذه المسألة لا حلول لها لأن س تلغي بعضها.
    • -س+2+س-3= 1، وهذه المسألة لا حلول لها لأن س تلغي بعضها.
  • حلول هذه المسألة هي: س= 2،3.

• المثال السادس: احسب قيمة س في المسألة: |3س-2| = |5س+4|.^[٦]
  • الحل:
  • يمكن كتابة هذه المسألة على شكل: (3س-2) = ±(5س+4)، وبالتالي هناك عدة حالات على الشكل الآتي:
    • 3س-2 = 5س+4، ومنه: س= 3-.
    • 3س-2 = -5س-4، ومنه: س= 1/4-.
  • حلول هذه المسألة هي: س=1/4-، 3-.

• المثال السابع: إذا كانت قيمة س=2، جد قيمة ما يلي: |-4س+3| |3س-14|.^[٩]
  • الحل: بتعويض قيمة س ينتج أن: |(-4×2)+3|×|(3×2)-14| = |5-|×|8-| = 5×8 = 40.

• المثال الثامن: إذا كان: |2أ-3| = 5، |3-4ب| = 11، جد قيمة |ب-أ|، علماً أن أ، ب أعداد سالبة.^[١٠]
  • الحل:
  • |2أ-3| = 5، ومنه: 2أ-3 = 5±، وبالتالي: 2أ-3 = 5، وبحلها ينتج أن أ=4، أو 2أ-3 = 5-، وبحلها ينتج أن: أ=1-، وهي القيمة المطلوبة.
  • |3-4ب| = 11، ومنه: 3-4ب = 11±، وبالتالي: 3-4ب = 11، وبحلها ينتج أن: ب= 2-، وهي القيمة المطلوبة، أو 3-4ب = 11-، وبحلها ينتج أن: ب=2.
  • قيمة |ب-أ| هي: |-2-(-1)| = |1-| =1.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت ث ج ح خ} “Absolute Value”, www.brilliant.org, Retrieved 23-10-2017. Edited.
2. ↑ Aiesha Brooks, “What is an Absolute Value?”، www.study.com, Retrieved 23-10-2017. Edited.
3. ^ ^{أ ب ت ث} “Absolute Value”, www.mathsisfun.com, Retrieved 23-10-2017. Edited.
4. ^ ^{أ ب} “Absolute Value in Algebra”, www.mathsisfun.com, Retrieved 23-10-2017. Edited.
5. ^ ^{أ ب} Jerome E. Kaufmann, Karen L. Schwitters, College Algebra, Page 8. Edited.
6. ^ ^{أ ب} “ABSOLUTE VALUE”, www.wiley.com, Retrieved 24-10-2017. Edited.
7. ↑ Laura Pennington, “Absolute Value Function: Definition & Examples”، www.study.com, Retrieved 23-10-2017. Edited.
8. ↑ “Absolute Value”, www.purplemath.com, Retrieved 18-5-2020. Edited.
9. ↑ “How to solve absolute value equations”, www.varsitytutors.com, Retrieved 18-5-2020. Edited.
10. ↑ ” How to find absolute value”, www.varsitytutors.com, Retrieved 18-5-2020. Edited.