تحليل العبارة التربيعية

• ذات صلة
• تحليل المعادلة التربيعية
• طرق حل المعادلة التربيعية

كيفية تحليل العبارة التربيعية

يتم تحليل العبارة التربيعية التي تكون على الصورة أس² + ب س + جـ = 0، باستخدام الطرق الآتية:

طريقة التحليل للعوامل

تعد طريقة التحليل إلى العوامل من الطرق السهلة التي يمكن اعتمادها لتحليل العبارة التربيعية بشرط إيجاد عامل مشترك بين حدودها.^[١]

خطوات التحليل

يمكن حل المعادلة التربيعية بطريقة التحليل إلى العوامل من خلال اتباع الخطوات التالية:

الخطوة الأولى: إيجاد عددين يكون حاصل ضربهما يساوي أ×جـ ومجموعهما يساوي ب، وذلك كما في المثال الآتي:^[١]

مثال: 2س² + 7س + 3، يمكن إيجاد العددين كما يأتي:

• أ×جـ هي 2×3 وتساوي 6، و ب هي 7.
• عوامل العدد 6 هي 1، 2، 3، 6.
• العددان هما 1 و 6، حيث إنّ حاصل ضربهما يساوي 6، ومجموعهما يساوي 7.

الخطوة الثانية: كتابة الحد الأوسط باستخدام الرقمين 1، 6، وذلك على النحو الآتي:^[١]

2س2 + 6س + س +3. 

الخطوة الثالثة: إيجاد عامل مشترك من كل حدين، وذلك على النحو الآتي:^[١]

• أول حدّين: 2س² + 6س فتصبح 2س(س + 3).
• آخر حدّين: س + 3.
• فتصبح المسألة 2س(س + 3) + (س + 3).

الخطوة الرابعة: إذا تمت الخطوة الثالثة بنجاح فإنه ينتج عامل مشترك في كلا الحدين، وهو في هذا السؤال (س + 3)، وبالتالي فإن ناتج التحليل يكون كالآتي:^[١]

=2س(س + 3) + (س + 3) 

=2س(س + 3) + 1(س + 3) 

=(2س + 1)(س + 3) 

للتحقق: (2س + 1)(س + 3)= 2س² + 6س + س + 3= 2س² + 7س + 3، إذاً الحل صحيح.

طريقة إكمال المربع

تتمثّل طريقة إكمال المربع في إيجاد مربع كامل للمعادلة التربيعية بإضافة قيمة معينة وإضافة معكوسها لنفس المعادلة للحفاظ على قيمتها دون تغيير جذري، وترتيب المعادلة التربيعية للصيغة العامة وإيجاد حلها.^[٢]

خطوات التحليل

يُمكن حل المعادلة التربيعية باتباع الخطوات الآتية:^[٢]

• كتابة المعادلة التربيعية لتظهر على الصيغة العامة: أس² + ب س + جـ = 0.
• إيجاد القيمة الذي سيتم إضافته للمعادلة لاحقًا بطريقة إكمال المربع، والقيمة تساوي (ب / 2)²
• إضافة القيمة السابقة (ب / 2)² ومعكوسها -(ب / 2)² للمعادلة التربيعية على النحو الآتي: أس² + ب س – (ب / 2)²+ (ب / 2)² + ج = 0.
• إعادة ترتيب المعادلة التربيعية على صيغة خاصة يتشكل بها “حد المربع الكامل” على النحو الآتي: (س+ ع)² – ج = 0، حيث ع : هو العدد الناتج عن حل الحدود من إضافة المربع الكامل سابقًا.

أمثلة على تحليل العبارة التربيعية

وفيما يأتي بعض الأمثلة على تحليل العبارة التربيعية بالطرق السابقة:

• مثال 1: ما حل العبارة التربيعية الآتية س² + 16 = 10س؟^[٣]
  • الحل: يمكن تحليل العبارة التربيعية الآتية بالخطوات الآتية:
    • كتابة المعادلة بالشكل الصحيح بحيث يكون الطرف الآخر يساوي صفراً، وذلك كما يأتي س² -10س + 16= 0.
    • إيجاد العوامل باستخدام طريقة إيجاد العوامل، للحصول على العوامل (س – 2)(س – 8).
    • إيجاد قيمة العوامل عن طريق المساواة بالصفر، وذلك كما يأتي:
    • س – 2=0، س-8=0.
    • وبالتالي فإن قيمة العوامل هي س=2، س=8.

• مثال 2: ما ناتج تحليل العبارة التربيعية الآتية س² + 5س = 0؟^[٤]
  • الحل: يتم حل المثال الآتي باستخدام الخطوات الآتية:
    • إيجاد عامل مشترك من كلا الحدين، وهو هنا “س”.
    • تصبح المسألة س (س + 5).
    • وبالتالي فإن ناتج التحليل هو س (س+5).

• مثال 3: جد حل المعادلة التربيعية س² + 4 س = 16 بطريقة إكمال المربع.
  • الحل:
    • ترتيب المعادلة التربيعية لتكن على الصيغة العامة (س² + 4 س – 16 = 0).
    • إيجاد قيمة (ب / 2) ² = (4 / 2)² = 4
    • إضافة القيمة السابقة ومعكوسها للمعادلة التربيعية، س² + 4 س + 4 – 4 – 16 = 0
    • بإعادة ترتيب المعادلة التربيعية: (س² + 4 س + 4) + (-16-4) = 0
    • بإعادة ترتيب المعادلة: (س+2)² – 20 = 0
    • ومنه؛ (س+2)² = 20
    • بأخذ الجذر التربيعي للطرفين، ونقل العدد 2 للطرف الآخر ينتج؛ س= -6.47، س= 2.47.

• مثال 4: جد حل المعادلة التربيعية س² + 6 س -2 بطريقة إكمال المربع.
  • الحل:
    • كتابة المعادلة التربيعية لتكن على الصيغة العامة: س² + 6 س -2= 0.
    • إيجاد القيمة (ب / 2) ² = (6 / 2)² = 9.
    • إضافة القيمة السابقة ومعكوسها للمعادلة التربيعية، س² + 6 س + 9 – 9 -2= 0.
    • بإعادة ترتيب المعادلة (س² + 6 س + 9 ) -9 -2= 0.
    • ومنه؛ س² + 6 س + 9 = 11
    • وبتحليل المعادلة إلى عواملها؛ (س+3)² = 11
    • بأخذ الجذر للطرفين، فتصبح س= (11 √)-3، أو س = -(11 √)-3

يُمكن تحليل المعادلة التربيعية بطرق مختلفة كطريقة التحليل إلى العوامل البسيطة والتي يُمكن إيجاد جذورها بسهولة، والطريقة الأخرى طريقة إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية الأكثر تعقيدًا، والقائمة على إضافة قيمة (ب / 2) ² لتشكيل مربع كامل في حل المعادلة التربيعة وإيجاد جذورها.

المراجع

1. ^ ^{أ ب ت ث ج} “Factoring Quadratics”, www.mathsisfun.com, Retrieved 30-4-2019. Edited.
2. ^ ^{أ ب} “Completing the Square”, MATHISFUN, Retrieved 8-9-2021. Edited.
3. ↑ “Solving Quadratics by Factoring”, www.mesacc.edu, Retrieved 30-4-2019. Edited.
4. ↑ “Solving quadratics by factoring”, www.khanacademy.org, Retrieved 30-4-2019. Edited.