بحث عن الأعداد المركبة

نظرة عامة حول الأعداد المركبة

يمكن تعريف الأعداد المركبة (بالإنجليزية: Complex Number) بأنّها الأعداد التي تتكوّن من كل من الأعداد الحقيقية، والأعداد التخيلية (بالإنجليزية: Imaginary Number)، أما الأعداد التخيلية فهي تلك التي تُعطي نتيجة سالبة عند تربيعها، وهي بذلك تختلف عن الأعداد الحقيقية التي يساوي مربع أي عدد فيها قيمة موجبة؛ فتربيع أي عدد حقيقي موجب يُعطي نتيجة موجبة، كما أنّ تربيع أي عدد حقيقي سالب يُعطي نتيجة موجبة أيضاً؛ فمثلاً (-2)² = 4؛ وذلك لأن -2×-2 = 4، وتضم جميع الأعداد التخيلية عادة الرمز (i) الذي يساوي الجذر التربيعي للعدد (-1)؛ أي أنّ: i = √(-1)، ومن الأمثلة على الأعداد التخيّلية: (3i) ،(1.04i)، (4/3i)، (-2.8i)، (1998i).^[١]

وكما ذُكر سابقاً فإنّ الأعداد المركبة هي الأعداد التي تتكون من الأعداد الحقيقية، والأعداد التخيلية معاً، ومن الأمثلة عليها ما يلي: i3+39) ،( 0.8- 2.2i – 2 + iπ) ،(√2 + i/2) )، ويلاحظ من خلال هذه الأمثلة أنّ أي جزء من أجزاء الأعداد المركبة قد يساوي القيمة صفر، وبالتالي فإنّ كلاً من الأعداد الحقيقية، والأعداد التخيلية هي أيضاً أعداد مركبة؛ حيث إن الأعداد الحقيقة هي أعداد مركبة فيها الجزء التخيلي يساوي صفر، وفي المقابل فإن الأعداد التخيلية هي أعداد مركبة فيها الجزء الحقيقي يساوي صفر، ولتقريب الصورة بشكل أكبر إليك المثال الآتي الذي يعطي مثالاً على الأعداد المركبة، ويوضح الجزء الممثل للأعداد الحقيقية، والتخيلية فيها:^[١]

العدد المركب	الجزء الذي يمثل العدد الحقيقي	الجزء الذي يمثل العدد التخيلي	النوع
3 + 2i	3	2i	عدد مركب مكوّن من جزأين: حقيقي، وتخيلي
5	5	0	عدد مركب مكوّن من جزء حقيقي فقط
6i	0	6	عدد مركب مكوّن من جزء تخيلي فقط

يجدر بالذكر هنا كذلك أن مصطلح العدد المركب، أو المعقّد لا يعني بأنه معقد فعلياً، ولكنه يعني أنه يضم نوعين من الأعداد، وهي: الحقيقية، والتخيلية، ويبين الجدول الآتي المزيد من الأمثلة على الأعداد المركبة، والصورة القياسية لها، وذلك كما يلي:^[٢]

العدد المركب	الصورة القياسية ( أ+بi)	الجزء الذي يمثل العدد الحقيقي، والجزء الذي يمثل العدد التخيلي
2 – 7i	(-2) + 7i	العدد الحقيقي يساوي -2، والعدد التخيلي يساوي 7
4 – (3)i	4 + (3-)i	العدد الحقيقي يساوي 4، والعدد التخيلي يساوي -3
9i	0 + 9i	العدد الحقيقي يساوي صفر، والعدد التخيلي يساوي 9.
-2	-2 + 0i	العدد الحقيقي يساوي -2، والعدد التخيلي يساوي 0.

لمزيد من المعلومات حول خصائص الأعداد المركبة يمكنك قراءة المقال الآتي: خصائص الأعداد المركبة.

أهمية دراسة الأعداد المركبة وخصائصها

للأعداد المركبة الكثير من التطبيقات في الحياة العملية فهي تُستخدم بشكل كبير في الهندسة الكهربائية، وفي ميكانيكا الكم، كما أن معرفة الأعداد المركبة تتيح لنا حل أية معادلة كثير حدود مهما كان نوعها؛ فمثلاً المعادلة التربيعية الآتية: س²-2س+5=0 ليس لها حلول من الأعداد الحقيقية؛ وذلك لأن مميزها سالب، ولكن عند استخدام الأعداد المركبة ينتج أن لهذه المعادلة حلان، وهما: 1+2i، و 1-2i،^[٢] ومن الجدير بالذكر هنا أن هناك العديد من الخصائص للأعداد المركبة، وهي:^[٣]

• i تساوي 1-√.
• i² تساوي (1-√)² = -1.
• i³ تساوي iײi، ويساوي i×-1 = -i.
• i⁴ تساوي ²iײi، ويساوي -1×-1 = 1.

العمليات الحسابية على الأعداد المركبة

هناك العديد من العمليات الحسابية التي يمكن إجراؤها على الأعداد المركبة، وفيما يلي توضيح لكل منها:

• جمع الأعداد المركبة: عند جمع عددين مركبين فإنه يجب جمع العددين التخيلين مع بعضهما أولاً ووضع الناتج، ثم جمع العددين الحقيقين مع بعضهما ووضع الناتج بجانب الناتج الأوّل، والمثال الآتي يوضّح ذلك:
  • مثال: يمكن جمع العددين المركبين (4+3i) و العدد المركب (2+2i) كما يلي:
  • (4+2) + (3i+2i)، ويساوي (6) + (3+2)i، وهذا يساوي 6 + 5i.

• ضرب الأعداد المركبة: إن عملية ضرب الأعداد المركبة تشبه إلى حد ما عملية ضرب الاقتران كثير الحدود، كما أنّ نتيجة ضرب العدد التخيلي بعدد تخيلي آخر تُعطي دائماً عدداً حقيقياً، وبالتالي يمكن إيجاد حاصل ضرب (أ+ بi) × (جـ+دi) كما يلي:^[٤]
  • أ ×(جـ+دi) + بi×(جـ+دi) =
  • (أ×جـ) + (أ×د)×i + (ب×جـ)×i + (ب×د)×i² =
  • (أ×جـ) + ((أ×د) + (ب×جـ)) i + (ب×د)×(-1)
  • وبالتالي فإن حاصل ضرب (أ+بi) × (جـ+دi) يساوي (أ×جـ – ب×د) + (أ×د + ب×جـ)×i.

• مثال: ما هو حاصل ضرب (3+2i) في (4-2i)؟^[١]
  • الحل:
  • يمكن باستخدام القانون الموجود في الأعلى حل هذا السؤال بخطوة واحدة كما يلي:
    • أ=3، ب=2، جـ=4، د=-2.
    • وبالتالي وبتطبيق القانون فإنّ حاصل الضرب يساوي: ((3×4) – (2×-2)) + ((3×-2) + (2×4))i ، ويساوي 16+2i.

• قسمة الأعداد المركبة: يجب لقسمة الأعداد المركبة الحصول أولاً على العدد المرافق للعدد المركب، والذي يُعرف بأنّه نفس العدد المركب، مع عكس الإشارة في الوسط؛ فمثلاً العدد المرافق للعدد (أ+بi) هو (أ-بi)، وهذا يعني أن الجزء الذي يمثّل العدد الحقيقي يبقى كما هو، أما الجزء الذي يمثّل العدد التخيلي فهو الذي تتغير إشارته، وعادة ما يتم وضع إشارة (ـــــــــــ) فوق العدد المرافق لتمييزه عن العدد المركب.^[١]

يمكن باستخدام العدد المرافق للعدد المركب قسمة الأعداد المركبة على بعضها، عن طريق كتابة العددين المركبين المطلوب قسمتهما على بعضهما فوق بعضهما البعض على شكل كسر مكوّن من بسط ومقام، ثم ضرب كل من البسط والمقام بمرافق العدد الموجود في المقام؛ أي المقسوم عليه، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[١]

• مثال: ما هو ناتج قسمة 2+3i على 4-5i؟
  • الحل:
  • بضرب البسط، والمقام بالعدد (4+5i)، وتجميع الحدود ينتج أنّ ناتج عملية القسمة هذه يساوي (-7+22i)/41، ويمكن كذلك كتابة هذا العدد على صورة: أ+بi كما يلي: (-7/41) + (22/41) i.

تمثيل الأعداد المركبة بيانياً

يمكن تمثيل الأعداد المركبة عن طريق رسمها على المستوى الإحداثي البياني ذي البعدين؛ أي باستخدام المحورين السيني، والصادي؛ حيث يتم تمثيل الجزء المتعلق بالعدد التخيلي من العدد المركب على المحور الصادي (أي المحور العمودي)، والجزء المتعلق بالعدد الحقيقي على المحور السيني (أي المحور الأفقي)، لتتشكل لدينا مجموعة من النقاط في المستوى، وكل نقطة منها تشير إلى عدد مركب معين.^[٥]

أمثلة متنوعة حول الأعداد المركبة

• المثال الأول: ما هو الجزء الذي يمثل العدد التخيلي، والجزء الذي يمثل العدد الحقيقي في العدد المركب الآتي: i19-14؟^[٦]
  • الحل:
  • الجزء الذي يمثل العدد التخيلي هو -19.
  • الجزي الذي يمثل العدد الحقيقي هو 14.

• المثال الثاني: ما هو ناتج ضرب العددين 3i في 4i ؟^[٧]
  • الحل:
  • من المعروف أن قيمة i² تساوي -1.
  • وبالتالي فإنه وبتعويض قيمتها في المسألة السابقة ينتج ما يلي: (3×4)×i²، ويساوي 12×-1 = -12.

• المثال الثالث: اكتب كلاً من القيم الآتية باستخدام رمز العدد التخيلي (i): أ) -1√ ب) -9√؟^[٧]
  • الحل:
  • بما أن -1√ يساوي i فإن:
    • أ) -1√ تساوي i.
    • ب) -9√ تساوي -1√×9√ = 3i.

• المثال الرابع: ما هو ناتج العدد المركب الآتي: i+ i² + i³ + i⁴؟^[٤]
  • الحل:
  • بما أن i² تساوي -1، و i⁴ تساوي +1، و i³ تساوي i-.
  • فإنّه وبتعويض هذه القيم في المسألة السابقة ينتج أنّ: i-1-i+1 يساوي 0.

• المثال الخامس: إذا كانت س = 1+2i، فما هي قيمة س³+2س²+4س+25؟^[٤]
  • الحل:
  • س³ تساوي ³(1+2i) يساوي -11-2i.
  • 2س² يساوي 2ײ(1+2i) يساوي 2×(-3 + 4i) يساوي -6+8i.
  • 4س يساوي 4×(1+2i) يساوي 4+8i.
  • بتجميع ما سبق ينتج أنّ: (-11-2i) + (6+8i-) + (4+8i) + 25 ويساوي 12+i14.

• المثال السادس: ما هو ناتج جمع العددين الآتيين (3+2i)، و (1+7i) ؟^[١]
  • الحل:
  • يتم جمع الجزأين اللذين يمثلان العددين الحقيقيين مع بعضهما، والجزأين اللذين يمثلان العددين التخيليين مع بعضهما، وذلك كما يلي:
    • (3+1)+ (2+7)i، وهذا يساوي 4 + 9i .

• المثال السابع: ما هو ناتج جمع الأعداد المركبة الآتية: أ) (-4+7i ) و (5-10i) ب) (4+12i) و -(3-15i ) جـ) 5i و -(-9 + i)؟^[٨]
  • الحل:
  • يتم جمع الجزأين اللذين يمثلان العددين الحقيقيين مع بعضهما، والجزأين اللذين يمثلان العددين التخيليين مع بعضهما، لينتج ما يلي:
    • أ) (5-4) + (-10+7)i، ويساوي 1 – 3i
    • ب) (4-3) + (12+15)i، ويساوي 1 + 27i.
    • جـ) (9+0) + (5-1)i، ويساوي 9 + 4i.

• المثال الثامن: ما هو ناتج ضرب كل مما يأتي: أ) (1-5i) في (-9+2i) ب) (1-8i) في (1+8i)؟^[٨]
  • الحل:
  • بتطبيق قاعدة ضرب الأعداد المركبة ينتج ما يلي:
    • أ) -9 – 2i + i45 + ²i10 يساوي -9 – (47i + (10×-1 يساوي 1+47i
    • ب) 1-8i-i8+ ²i 64 يساوي 1+64، ويساوي 65.

• المثال التاسع: بسّط القيم الآتية إلى أبسط صورة: أ) 5i – i16 ب) ⁽¹⁷⁾i جـ) ⁽¹²⁰⁾i؟^[٩]
  • الحل:
  • أ) يتم تجميع الحدود المتشابهة كما يلي (16-5)i يساوي 11i.
  • ب) i ¹⁷ تساوي i ¹⁶⁺¹، ويساوي ^(4×4+1) i، ويساوي i.
  • جـ) i ¹²⁰ تساوي i ^4×30+0، ويساوي i ⁰، ويساوي 1.

• المثال العاشر: ما هو العدد المرافق للأعداد المركبة الآتية: أ) 2+5√i ب) -1/2i ؟^[١٠]
  • الحل:
  • إن العدد المرافق للعدد المركب يمكن الحصول عليه عن طريق إبقاء نفس العدد الحقيقي، وعكس إشارة العدد التخيلي، وبالتالي فإن العدد المرافق للأعداد السابقة يساوي:
    • أ) 2-5√i.
    • ب) 1/2i.

فيديو تعريفي عن مجموعات الاعداد

للتعرف على المزيد تابع الفيديو الآتي:^[١١]

1. ^ ^{أ ب ت ث ج ح} “Complex Numbers”, www.mathsisfun.com, Retrieved 19-7-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب} “Intro to complex numbers”, www.khanacademy.org, Retrieved 20-7-2020. Edited.
3. ↑ “The Imaginary Unit “, brilliant.org, Retrieved 20-7-2020. Edited.
4. ^ ^{أ ب ت} “Complex Numbers”, brilliant.org, Retrieved 24-7-2020. Edited.
5. ↑ “complex number”, whatis.techtarget.com, Retrieved 24-7-2020. Edited.
6. ↑ “Parts of complex numbers”, www.khanacademy.org, Retrieved 24-7-2020. Edited.
7. ^ ^{أ ب} “COMPLEX OR IMAGINARY NUMBERS”, themathpage.com, Retrieved 24-7-2020. Edited.
8. ^ ^{أ ب} “Complex Numbers”, tutorial.math.lamar.edu, Retrieved 24-7-2020. Edited.
9. ↑ “Complex Numbers: Introduction”, www.purplemath.com, Retrieved 24-7-2020. Edited.
10. ↑ ” Complex Numbers”, openstax.org, Retrieved 24-7-2020. Edited.
11. ↑ فيديو تعريفي عن مجموعات الاعداد.