جديد العدد النيبيري

نظرة عامة حول العدد النيبيري

يُعرف العدد النيبيري أو ثابت أويلر (Euler’s Number) بأنه من أكثر الثوابت الرياضية شهرةً بعد الثابت باي، ويُرمز له بالرمز (e) باللغة الإنجليزية، وبالعربية بالرمز (هـ)،^[١] ويساوي (………..2.7182818284590452353602874713527)؛ وهو عدد غير نسبي ولا نهائي؛ أي لا يمكن كتابته على صورة كسر عادي، وهو أساس اللوغاريتم الطبيعي الذي ابتكره عالم الرياضيات الاسكتلندي جون نابير (John Napier) ولهذا يُسمّى بالعدد النيبيري، أما بالنسبة لتسميته ثابت أويلر فنسبةً إلى العالم السويسري ليونهارد أويلر (Leonhard Euler)،^[٢] ويُعرف اللوغاريتم الذي أساسه العدد النيبيري باللوغاريتم الطبيعي، ويُكتب على صورة لو_هـ (س)، وبالإنجليزية ln (x).^[٣]

ومن الجدير بالذكر أن الاقترانات التي تضم العدد النيبيري؛ مثل ق(س)= هـ ^س، واللوغاريتم الطبيعي لو_هـ (س) تُستخدم للتعبير عن المتغيرات في الكثير من المسائل العلمية؛ كمعادلات الاضمحلال الإشعاعي في علمي الكيمياء، والفيزياء، وفي معادلات النمو السكاني، ودراسة كيفية تغيّر درجة الحرارة بارتفاع درجة حرارة المادة، وانخفاضها،^[٤] كما أنه يمكن باستخدم اللوغاريتم الطبيعي حل المعادلات الأسية المختلفة، والمثال الآتي يوضّح ذلك:^[٣]

• مثال: ما هو حل المعادلة الأسية الآتية: 3 ^س²-1 = 8؟
  • إدخال اللوغاريتم على طرفي المساواة فإنّ: لو_هـ (3^{س² – 1}) = لو_هـ 8.
  • استخدام قواعد اللوغاريتم، وذلك كما يلي: (س²-1)×لو_هـ 3 = لو_هـ 8
  • س²-1 = لو_هـ 8/لو_هـ 3، وبالتالي فإنّ: س = ((لو_هـ 8 / لو_هـ 3)+1)√

اكتشاف العدد النيبيري

بدأت فكرة العدد النيبيري عام 1618م عندما وضع العالم نابير جدولاً يوضّح اللوغاريتمات الطبيعية لمجموعة من الأعداد، على الرغم من عدم معرفة اللوغريتمات قديماً والتفكير بها بطريقة مماثلة للوقت الحالي، وفعلياً بدأ العلماء التوصّل إلى مفهوم العدد النيبيري عندما حسب سانت فنسنت مساحة المنطقة الواقعة أسفل القطع الزائد القائم، إلا أنه لم يتوصل إلى مفهوم العدد النيبري بشكل صريح، وفي عام 1961م فهم هيجنز (Huygens) العلاقة بين اللوغاريتمات، والقطع الزائد القائم، حيث وضّح أن المساحة أسفل القطع الزائد في المنطقة التي تتراوح بين 1 إلى هـ، تعادل القيمة 1، وهي الحقيقة التي جعلت من العدد النيبيري أساس اللوغاريتم الطبيعي فيما بعد، والتي لم يتوصل إليها العلماء في ذلك الوقت.^[٥]

في عام 1668م استخدم نيكولاس مركاتور (Nicolaus Mercator) مفهوم اللوغاريتم الطبيعي لأول مرة، وعرّفه بأنّه اللوغاريتم الذي أساسه هو العدد النيبيري (هـ)، ولكنه وفي الوقت نفسه فشل في تحديد قيمة الثابت هـ، وفي عام 1683م حاول العالم ياكوب برنولي (Jacob Bernoulli) حلّ مسألة متعلقة بالفائدة المركبة كما حاول حساب قيمة نهاية (1+(1/ن)^ن عندما تقترب ن من المالانهاية، باستخدم مبرهنة ثنائي الحد ( Binomial theorem)، ليتوصل إلى أنّ قيمة هذه النهاية تتراوح بين العددين 2، و3، وهي قيمة العدد النيبيري هـ، وبذلك يظهر أنّ تحديد قيمة العدد النيبيري (هـ) لأول مرة لم تكن عن طريق اللوغاريتمات، وإنما عن طريق حساب الفائدة المركّبة.^[٥]

ظهر الثابت هـ بقيمته الحقيقية لأول مرة عام 1960م عندما كتب العالم لايبنتز رسالة إلى هيجنز، وذكر القيمة الحقييقة للعدد النيبيري فيها، ولكنه لم يرمز له بالرمز (هـ) أو (e) بالإنجليزية، وإنما رمز له بالرمز (b)، وبعد ذلك تم استخدام الرمز (e) أو هـ للعدد النيبري لأول مرة في رسالة كتبها أويلر إلى غولدباج عام 1731م، والذي قام بعد ذلك بالعديد من الاكتشافات المتعلقة به خلال السنوات التالية، وفي عام 1748م نشر أويلر بحثاً علمياً، واستعرض فيه مفهوم العدد النيبيري، وقيمته بالضبط؛ حيث وضّح أنّ قيمته تساوي قيمة نها (ن/1+1)^ن عندما تقترب ن من المالانهاية، وقرّب أويلر هذا العدد إلى 18 منزلة عشرية، لتقدر قيمته منذ ذلك الوقت بالقيمة: 2.718281828459045235.^[٥]

حساب العدد النيبيري

هناك عدة طرق لإيجاد قيمة العدد النيبيري، ولكنّ جميع هذه الطرق لا تعطي قيمة دقيقة لهذا العدد؛ وذلك لأن العدد النيبيري هو عدد غير نسبي، ولا نهائي، وغير دوري، ويحتاج إلى أكثر من تريليون منزلة عشرية للتعبير عنه بدقة، وهذه الطرق بيانها كالآتي:^[٢]

• باستخدام النهاية: نها (1+(1/ن))^ن، وكلما اقتربت قيمة ن من المالانهاية أصبحت قيمة العدد النيبيري أكثر دقة، وذلك كما يلي:

ن	(1+(1/ن))ن
1	2.00000
2	2.25000
5	2.48832
10	2.59374
100	2.70481
1000	2.71692
10000	2.71815
100000	2.71827

• باستخدام المتسلسلة الآتية: قيمة العدد النيبيري = (1/ 0!) + (1 / 1!) + (1 / 2!) + (1 / 3!) + (1 / 4!) + (1 / 5!) + (1 / 6!) + (1 / 7!) + ……؛ حيث إنّ الإشارة (!) تعني مضروب، وبالتالي بإيجاد نتيجة هذه القيم ينتج أنّ:
  • قيمة العدد النيبيري = 1+1+ (1/2) + ( 1/6) + ( 1/24) + ( 1/120) = ……2.71666
  • وتجدر الإشارة هنا إلى أنّ العالم أويلر نفسه استخدم هذه المتسلسلة لإيجاد قيمة العدد النيبيري؛ حيث قدّر قيمته لأقرب 18 منزلة عشرية من خلالها.

خصائص العدد النيبيري

يمكن تلخيص خصائص العدد النيبيري كما يلي:^[٦]

• مقلوب العدد النيبيري يساوي نها_س←∞ (1-(1/س))^س، ويساوي 1/هـ.
• مشتقة العدد النيبيري، ويمكن تقسيمها إلى جزأين:
  • مشتقة العدد النيبيري المرفوع لأس متغير أي: (هـ ^س)َ تساوي هـ ^س.
  • مشتقة اللوغاريتم الطبيعي مثل: لو_هـ س تساوي 1/س.
• تكامل العدد النيبري، ويمكن تقسيمه إلى جزأين، وهما:
  • ∫ هـ ^س ءس = هـ ^س + جـ.
  • ∫ لو_هـ س ءس = (س×لو_هـ س) – س + جـ.
  • التكامل المحدود من 1 إلى هـ للاقتران ∫1/س ءس = 1، ويمكن التوصل إلى هذه النتيجة عن طريق إيجاد المساحة المحصورة بين أسفل الاقتران (1/س)، ومحور السينات في الفترة من 1 إلى هـ، ليتّضح أنها تساوي لو_هـ هـ = 1.^[٧]
• حاول العالم أويلر ربط بعض الثوابت الرياضية المعروفة في علاقة رياضية واحدة؛ فتوصل إلى أنّ: هـ ^(i×π) + 1 = صفر؛ حيث إنّ:^[٨]
  • π: الثابت باي وقيمته التقريبية 3.14.
  • i: الجذر التربيعي للعدد -1، (i =√(-1.
  • هـ: العدد النيبيري وقيمته التقريبية = 2.71828182845.

المراجع

1. ↑ “Calculating Euler’s Constant (e)”, www.mathscareers.org.uk, Retrieved 25-7-2020. Edited.
2. ^ ^{أ ب} “e (Euler’s Number)”, www.mathsisfun.com, Retrieved 25-7-2020. Edited.
3. ^ ^{أ ب} “The Real Number e”, courses.lumenlearning.com, Retrieved 25-7-2020. Edited.
4. ↑ “Calculating Euler’s Constant (e)”, www.mathscareers.org.uk, Retrieved 25-7-2020. Edited.
5. ^ ^{أ ب ت} “E: The Irrationally Essential Euler’s Number”, ifsa.my, Retrieved 25-7-2020. Edited.
6. ↑ “e constant”, www.rapidtables.com, Retrieved 29-7-2020. Edited.
7. ↑ “e”, mathworld.wolfram.com, Retrieved 29-7-2020. Edited.
8. ↑ “Facts About the Number e: 2.7182818284590452…”, www.thoughtco.com. Edited.